Algebra linear, Exercícios de Matemática

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ALGEBRA LINEAR´

Francisco Oliveira de Lima

27 de abril de 2013

Algebra Linear´

Sum´ario

• Pref´acio
• 1 Espa¸cos Vetoriais
  • 1.1 Introdu¸c˜ao
  • 1.2 Subcorpos
  • 1.3 Espa¸co Vetorial
  • 1.4 Subespa¸co Vetorial
  • 1.5 Combina¸c˜ao Linear
  • 1.6 Espa¸co gerado
  • 1.7 Dependˆencia Linear
  • 1.8 Base e dimens˜ao
  • 1.9 Interse¸c˜ao e soma de subespa¸cos
  • 1.10 Coordenadas
  • 1.11 Mudan¸ca de base
  • 1.12 Exerc´ıcios
  • 1.13 Respostas dos Exerc´ıcios
  • 1.14 Teste Sobre Espa¸cos Vetoriais
  • 1.15 Gabarito do Teste
• 2 Transforma¸c˜oes Lineares
  • 2.1 Introdu¸c˜ao
  • 2.2 Transforma¸c˜ao Linear
  • 2.3 Adi¸c˜ao de Transforma¸c˜oes
  • 2.4 Produto de constante por Transforma¸c˜oes
  • 2.5 Composta de Transforma¸c˜oes
  • 2.6 N´ucleo e Imagem
  • 2.7 Isomorfismos
  • 2.8 Matriz de uma transforma¸c˜ao linear
  • 2.9 Exerc´ıcios
  • 2.10 Respostas dos Exerc´ıcios
  • 2.11 Teste Sobre Transforma¸c˜oes Lineares
  • 2.12 Gabarito do Teste
• SUM ARIO´
• 3 Autovetores e Autovalores
  • 3.1 Introdu¸c˜ao
  • 3.2 Polinˆomio Caracter´ıstico
  • 3.3 Semelhan¸ca
  • 3.4 Diagonaliza¸c˜ao
  • 3.5 Exerc´ıcios
  • 3.6 Respostas dos Exerc´ıcios
  • 3.7 Teste Sobre Autovalores e Autovetores
  • 3.8 Gabarito do Teste
• 4 Produto Interno
  • 4.1 Introdu¸c˜ao
  • 4.2 Norma
  • 4.3 Angulo entre vetoresˆ
  • 4.4 Ortogonalidade
  • 4.5 Processo de Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt
  • 4.6 Complemento Ortogonal
  • 4.7 Proje¸c˜ao Ortogonal
  • 4.8 Exerc´ıcios
  • 4.9 Respostas dos Exerc´ıcios
  • 4.10 Teste Sobre Produto Interno
  • 4.11 Gabarito do Teste
• 5 Parte Extra
  • 5.1 Introdu¸c˜ao
  • 5.2 Primeira Avalia¸c˜ao
  • 5.3 Segunda Avalia¸c˜ao
  • 5.4 Terceira Avalia¸c˜ao
  • 5.5 Quarta Avalia¸c˜ao
  • 5.6 Exame Final
• Referˆencias Bibliogr´aficas

1.2 Subcorpos

Defini¸c˜ao 1.2.1. Seja N um subconjunto n˜ao vazio de um corpo K. Dizemos que N ´e um subcorpo de K quando satisfazer as seguintes condi¸c˜oes:

(1) 0 , 1 ∈ N.

(2) se a, b ∈ N ent˜ao a − b ∈ N.

(3) se a, b ∈ N e b 6 = 0 ent˜ao a.b−^1 ∈ N.

Exemplo 1.2.1. Prove que A = {x + y.

3 | x, y ∈ Q} ´e um subcorpo de R.

Solu¸c˜ao: De fato, pois 0 = 0 + 0.

3 e 1 = 1 + 0.

1. Logo 0, 1 ∈ A. Portanto, A ´e diferente do vazio. Sejam os elementos a = x + y.

3 e b = z + w.

3 de A. Logo a − b = (x − z) + (y − w).

1. Assim, temos a − b ∈ A. Agora, supondo b 6 = 0, temos

a.b−^1 = (x + y.

(z + w.

(x + y.

(z + w.

(z − w.

(z − w.

(xz − xw.

3 + yz.

3 − 3 yw) (z^2 − 3 w^2 )

xz − 3 yw z^2 − 3 w^2

yz − xw z^2 − 3 w^2

Portanto, a.b−^1 ∈ A. Assim, conclu´ımos que A ´e um subcorpo.

Exemplo 1.2.2. Seja B = {x + y. 3

5 /x, y ∈ Q}. Vamos verificar se B ´e um sub- corpo de R.

Solu¸c˜ao: Com efeito, sendo 0 = 0 + 0. 3

5 e 1 = 1 + 0. 3

1. Logo 0, 1 ∈ B. Ou seja, B ´e diferente do vazio. Agora, sejam a = x + y. 3

5 e b = p + q. 3

5 em B. Logo, a − b = (x − p) + (y − q). 3

1. Ou seja, a − b ∈ B. Al´em disso, supondo b 6 = 0, temos

a.b−^1 = (x + y. 3

(p + q. 3

(x + y. 3

(p + q. 3

(p^2 − pq. 3

5 + q^2. 3

(p^2 − pq. 3

5 + q^2. 3

xp^2 + 5yq^2 p^3 + 5q^3

yp^2 − xpq p^3 + 5q^3

xq^2 − ypq p^3 + 5q^3

Ou seja, a.b−^1 6 ∈ B. Desse modo B n˜ao ´e um subcorpo.

Exemplo 1.2.3. Seja o subconjunto F = {x + y.

2 /x, y ∈ Z}. E poss´´ ıvel verificar que esse conjunto n˜ao ´e um subcorpo de R, tal verifica¸c˜ao ´e deixado a crit´erio do leitor.

Exemplo 1.2.4. Seja o subconjunto G = {x + y.

5 /x, y ∈ Q}. Verifique se G ´e um subcorpo de R.

1.3 Espa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao 1.3.1. Seja V um conjunto n˜ao vazio, munido com duas opera¸c˜oes: a soma de vetores, onde a cada par de vetores u, v ∈ V fazem corresponder o vetor u + v ∈ V , e a multiplica¸c˜ao por escalar, onde o vetor v ∈ V e k ∈ R fazem corresponder o vetor kv ∈ V. Dizemos que V ´e um espa¸co vetorial se essas opera¸c˜oes satisfazem os axiomas:

(P1) u + v = v + u para todo u, v ∈ V.

(P2) (u + v) + w = u + (v + w) para todo u, v, w ∈ V.

(P3) Para todo u ∈ V , existe o vetor nulo 0 ∈ V , tal que 0 + u = u.

(P4) Para todo u ∈ V , existe o sim´etrico −u ∈ V , tal que u + (−u) = 0.

(P5) a(u + v) = au + av para todo u, v ∈ V e a ∈ R.

(P6) (a + b)u = au + bu para todo a, b ∈ R e u ∈ V.

(P7) a(bu) = (ab)u para todo a, b ∈ R e u ∈ V.

(P8) Existe o elemento 1 ∈ R tal que 1u = u, para todo u ∈ V.

Exemplo 1.3.1. Seja V um espa¸co vetorial real. Mostre que: (a) o vetor nulo de V ´e ´unico. (b) o inverso de um elemento de V ´e ´unico. Solu¸c˜ao: Para provar (a), suponhamos que 0 1 e 0 2 sejam vetores nulos de V. Por- tanto, usando o axioma (P1) temos 0 1 = 0 2 + 0 1 = 0 1 + 0 2 = 0 2. Logo, conclu´ımos que 0 1 = 0 2. Para provar (b), seja v ∈ V e suponha que existem −v 1 e −v 2 em V tais que v + (−v 1 ) = 0 e v + (−v 2 ) = 0. Assim, usando os axiomas (P1) e (P2) temos

(−v 1 ) = (−v 1 ) + 0 = (−v 1 ) + [ v + (−v 2 ) ] = [ (−v 1 ) + v ] + (−v 2 ) = [ v + (−v 1 ) ] + (−v 2 ) = 0 + (−v 2 ) = (−v 2 )

Portanto, mostramos a unicidade.

Teorema 1.3.1. (Lei do cancelamento) Seja V um espa¸co vetorial sobre R. Assim, se p + u = p + w ent˜ao u = w para todo u, w, p ∈ V.

Demonstra¸c˜ao. De fato, seja p ∈ V ent˜ao existe −p ∈ V tal que −p + p = 0. Logo

u = 0 + u = (−p + p) + u = −p + (p + u) = −p + (p + w) = (−p + p) + w = 0 + w = w

Proposi¸c˜ao 1.3.3. Seja V um espa¸co vetorial sobre R. Ent˜ao, as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao v´alidas:

(1) (α − β)v = αv − βv, onde α, β ∈ R e v ∈ V.

(2) α(v − w) = αv − αw, onde α ∈ R e v, w ∈ V.

Demonstra¸c˜ao.

(1)

(α − β)v = (α + (−β))v = αv + (−β)v = αv + (−(βv)) = αv − βv

(2)

α(v − w) = α(v + (−w)) = αv + α(−w) = αv + (−(αw)) = αv − αw

Exemplo 1.3.2. Seja V um espa¸co vetorial real. Mostre que se αu = 0, ent˜ao α = 0 ou u = 0, onde u ∈ V e α ∈ R. Solu¸c˜ao: De fato, suponhamos que α 6 = 0. Logo, temos

u = 1u = (α−^1 α)u = α−^1 (αu) = α−^1 0 = 0.

Exemplo 1.3.3. Seja o conjunto V = R^3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} onde os elemen- tos s˜ao da forma u = (x 1 , y 1 , z 1 ) e v = (x 2 , y 2 , z 2 ). Nesse conjunto est˜ao definidas duas opera¸c˜oes: a soma de vetores e a multiplica¸c˜ao por escalar, fornecidas por

u + v = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )

e kv = (kx 1 , ky 1 , kz 1 ),

respectivamente. Mostre que esse conjunto ´e um espa¸co vetorial. Solu¸c˜ao: Vamos mostrar apenas o item (2). Os demais ficam a cargo do leitor. Agora, sejam u = (x 1 , y 1 , z 1 ), v = (x 2 , y 2 , z 2 ) e w = (x 3 , y 3 , z 3 ) em R^3. Logo, temos

(u + v) + w = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) + (x 3 , y 3 , z 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 , y 1 + y 2 + y 3 , z 1 + z 2 + z 3 ) = (x 1 , y 1 , z 1 ) + (x 2 + x 3 , y 2 + y 3 , z 2 + z 3 ) = u + (v + w)

Portanto, conclu´ımos que R^3 ´e um espa¸co vetorial.

Exemplo 1.3.4. De uma forma mais geral o conjunto Rn, onde seus elementos s˜ao vetores da forma u = (x 1 , x 2 , · · · , xn) e v = (y 1 , y 2 , · · · , yn). Quando nesse conjunto s˜ao definidas as opera¸c˜oes

u + v = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , · · · , xn + yn)

e k.u = (k.x 1 , k.x 2 , · · · , k.xn),

ele se transforma no espa¸co vetorial Rn. Lembrando que o vetor nulo possui todas as coordenadas iguais a zero, ou seja, 0 = (0, 0 , · · · , 0) e o inverso aditivo de u ´e dado por −u = (−x 1 , −x 2 , · · · , −xn).

Exemplo 1.3.5. Seja o conjunto W = M 3 × 2 (R) formado pelas matrizes reais de ordem 3 × 2, que significa matrizes com 3 linhas e 2 colunas. Quando nesse conjunto definimos a opera¸c˜ao de soma de matrizes e multiplica¸c˜ao por escalar, por

 

a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32

b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32

a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 31 + b 31 a 32 + b 32

e

λ

a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32

λa 11 λa 12 λa 21 λa 22 λa 31 λa 32

respectivamente. Mostre que esse conjunto define um espa¸co vetorial. Solu¸c˜ao: Vamos mostrar apenas os itens (1) e (2). Os demais ficam a cargo do leitor. Agora, sejam as matrizes A = (aij ) 3 × 2 , B = (bij ) 3 × 2 e C = (cij ) 3 × 2 em W. Logo, (1)

A + B =

a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32

b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32

a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 31 + b 31 a 32 + b 32

b 11 + a 11 b 12 + a 12 b 21 + a 21 b 22 + a 22 b 31 + a 31 b 32 + a 32

b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32

a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32

= B + A

(f + g) + h = (f + g)(x) + h(x) = f (x) + g(x) + h(x) = f (x) + (g + h)(x) = f + (g + h)

λ(f + g) = λ(f + g)(x) = λ(f (x) + g(x)) = λf (x) + λg(x) = (λf )(x) + (λg)(x) = λf + λg

(λ + β)f = (λ + β)f (x) = λf (x) + βf (x) = (λf )(x) + (βf )(x) = λf + βf

Logo, F (X; R) ´e um espa¸co vetorial.

Exemplo 1.3.8. Seja o conjunto Pn(R) formado pelos polinˆomios de grau menor ou igual a n, com coeficientes reais e n um natural diferente de zero. Considere os elementos p(x) = a 0 + a 1 x + · · · + anxn^ e q(x) = b 0 + b 1 x + · · · + bnxn. Assim, em rela¸c˜ao `a soma de polinˆomios e a multipli¸c˜ao por escalar, definidas por

(p + q)(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + · · · + (an + bn)xn

e (λp)(x) = (λa 0 ) + (λa 1 )x + · · · + (λan)xn,

respectivamente. Logo, Pn(R) se transforma num espa¸co vetorial.

Exemplo 1.3.9. Seja o espa¸co W = R^2 formado pelos pares ordenados (x, y) tais que x, y ∈ R. Nesse espa¸co definimos as opera¸c˜oes de soma e a multiplica¸c˜ao por escalar

(a, b) ⊕ (x, y) = (a + x, y) e k (x, y) = (x, ky),

respectivamente. Verifique se (W, ⊕, ) ´e um espa¸co vetorial. Solu¸c˜ao: Sejam os elementos u = (x, y) e v = (p, q) no espa¸co R^2. Logo, segue que

u ⊕ v = (x, y) ⊕ (p, q) = (x + p, q) e v ⊕ u = (p, q) ⊕ (x, y) = (p + x, y).

Portanto, conclu´ımos que u ⊕ v 6 = v ⊕ u. Logo, (W, ⊕, ) n˜ao forma um espa¸co vetorial.

1.4 Subespa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao 1.4.1. Sejam V um espa¸co vetorial e W um subconjunto n˜ao vazio de V. Diremos que W ´e um subespa¸co vetorial de V, se satisfaz as condi¸c˜oes:

(S1) 0 ∈ W ;

(S2) Se u, v ∈ W ent˜ao u + v ∈ W ;

(S3) Se u ∈ W e k ∈ R ent˜ao kv ∈ W.

Exemplo 1.4.1. Seja o subconjunto W = {(x, − 2 x) | x ∈ R} do R^2. Verifique se W ´e um subespa¸co vetorial. Solu¸c˜ao: Vamos verificar as condi¸c˜oes acima, observamos que W 6 = ∅, pois (0, 0) ∈ W. Agora, suponha (x, − 2 x) e (y, − 2 y) em W , ent˜ao a soma (x, − 2 x) + (y, − 2 y) = (x + y, −2(x + y)) ∈ W. Por outro lado, seja k ∈ R e (x, − 2 x) em W , logo k(x, − 2 x) = (kx, −2(kx)) ∈ W. Portanto, W ´e subespa¸co.

Exemplo 1.4.2. Considere o subconjunto W = {(x, x^2 ) | x ∈ R} do R^2. Verifique se W ´e um subespa¸co vetorial. Solu¸c˜ao: Inicialmente percebemos que W 6 = ∅ pois (0, 0) ∈ W. Agora, suponha que (x, x^2 ) e (y, y^2 ) em W , assim a soma (x, x^2 ) + (y, y^2 ) = (x + y, x^2 + y^2 ) ´e diferente de (x + y, (x + y)^2 ). Logo, a soma de vetores n˜ao pertence a W. Assim, conclu´ımos que W n˜ao ´e um subespa¸co.

Exemplo 1.4.3. Sendo o conjunto W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x − 8 y + z = 0}. Verifique se W ´e um subespa¸co vetorial de R^3. Solu¸c˜ao: Primeiramente percebemos que (0, 0 , 0) ∈ W , logo W 6 = ∅. Agora, con- sidere os vetores (x, y, z) e (a, b, c) em W. Assim, atrav´es da soma (x, y, z)+(a, b, c) = (x + a, y + b, z + c) temos que (x + a) − 8(y + b) + (z + c) = (x − 8 y + z) + (a − 8 b + c) = 0 + 0 = 0. Logo, a soma pertence a W. Agora, considere a constante real k e o vetor (x, y, z) e fazendo k(x, y, z) = (kx, ky, kz) temos que (kx) − 8(ky) + (kz) = k(x − 8 y + z) = k0 = 0. Logo, a multiplica¸c˜ao por escalar pertence a W. Portanto, W ´e subespa¸co vetorial.

Exemplo 1.4.4. Seja o subconjunto W =

a − b b 3 b a + b

| a, b ∈ R

de M 2 (R).

Prove que W ´e um subespa¸co vetorial.

Solu¸c˜ao: Com efeito, percebemos que a matriz

∈ W. Logo W 6 = ∅. Agora,

sejam os elementos

a − b b 3 b a + b

e

x − y y 3 y x + y

. Ent˜ao, obtemos

( a − b b 3 b a + b

x − y y 3 y x + y

(a + x) − (b + y) (b + y) 3(b + y) (a + x) + (b + y)

Proposi¸c˜ao 1.4.1. Sejam V um espa¸co vetorial e W um subconjunto n˜ao vazio de V. Dizemos que W ´e um subespa¸co vetorial de V se, e somente se, av + bw ∈ W para a, b ∈ R e v, w ∈ W.

Demonstra¸c˜ao. Com efeito, suponhamos que W seja um subespa¸co de V e consi- deremos a, b ∈ R e v, w ∈ W. Logo, podemos concluir que av ∈ W e bw ∈ W. Portanto, resulta que av + bw ∈ W. Reciprocamente, se W ´e um subconjunto que satisfaz a condi¸c˜ao av + bw ∈ W. Ent˜ao, fazendo a = b = 0 temos que 0 ∈ W. Ou seja, o vetor nulo pertence a W. Agora, fazendo a = 0 e b = 1 obtemos bw ∈ W e finalmente fazendo a = b = 1, obtemos v + w ∈ W. Portanto, segue que W ´e um subespa¸co vetorial.

Exemplo 1.4.9. Mostre que o subconjunto U do espa¸co vetorial M 2 (R) definido por

U =

{[

a + 2b 0 0 7 a − b

]

| a, b ∈ R

´e um subespa¸co vetorial.

Solu¸c˜ao: De fato, consideremos os elementos M =

[

a + 2b 0 0 7 a − b

]

e N = [ c + 2d 0 0 7 c − d

]

de U e as constantes α, β ∈ R. Portanto, segue que

αM + βN = α

[

a + 2b 0 0 7 a − b

]

• β

[

c + 2d 0 0 7 c − d

]

[

αa + 2αb 0 0 7 αa − αb

]

[

βc + 2βd 0 0 7 βc − βd

]

[

(αa + βc) + 2(αb + βd) 0 0 7(αa + βc) − (αb + βd)

]

Logo, αM + βN ∈ U. Assim, conclu´ımos que U ´e um subespa¸co de M 2 (R).

1.5 Combina¸c˜ao Linear

Defini¸c˜ao 1.5.1. Dado um espa¸co vetorial V e considere os elementos v 1 , · · · , vn de V. Assim, dado um elemento v em V , dizemos que v ´e uma combina¸c˜ao linear dos elementos v 1 , · · · , vn quando satisfaz a igualdade

v = a 1 v 1 + · · · + anvn (1.1)

onde ai s˜ao constantes reais e i ∈ { 1 , · · · , n}. Observemos que se n˜ao ocorrer a igualdade (1.1) diremos que v n˜ao ´e combina¸c˜ao linear dos elementos de V.

Exemplo 1.5.1. Escreva os vetores (2, −3) e (x, y) do R^2 como combina¸c˜ao linear dos vetores (3, −1) e (− 2 , 7). Solu¸c˜ao: Inicialmente, vamos escrever (2, −3) como combina¸c˜ao linear de (3, −1) e (− 2 , 7). Ou seja, devemos encontrar as constantes reais a e b de modo que satisfa¸ca a seguinte igualdade (2, −3) = a(3, −1) + b(− 2 , 7). Logo, obtemos o sistema linear

{ 3 a − 2 b = 2 −a + 7 b = − 3.

Resolvendo o sistema (1.2), obtemos a = 198 e b = − 197. Assim, substituindo esses valores, encontramos a combina¸c˜ao linear desejada

Finalmente, para escrever o vetor (x, y) como combina¸c˜ao linear dos vetores (3, −1) e (− 2 , 7), devemos encontrar constantes reais p e q de modo que a seguinte igualdade (x, y) = p(3, −1) + q(− 2 , 7) seja verdadeira. Portanto, encontramos o sistema { 3 p − 2 q = x −p + 7 q = y.

Resolvendo o sistema (1.3), obtemos p = 7 x 19 +2 y e q = x+3 19 y. Ap´os, a substitui¸c˜ao desses valores na combina¸c˜ao acima. Resulta que a combina¸c˜ao linear ser´a dada por

(x, y) =

7 x + 2y 19

x + 3y 19

Exemplo 1.5.2. Escreva o elemento (1, − 2 , 3) ∈ R^3 como combina¸c˜ao linear dos vetores (3, 1 , −1), (1, − 2 , 4) e (1, − 5 , 1) em R^3. Solu¸c˜ao: Para resolver essa quest˜ao, devemos obter as constantes a, b e c reais, de modo que a igualdade (1, − 2 , 3) = a(3, 1 , −1) + b(1, − 2 , 4) + c(1, − 5 , 1) seja verdadeira. Isso equivale a resolver o sistema linear  



3 a + b + c = 1 a − 2 b − 5 c = − 2 −a + 4 b + c = 3.

Resolvendo esse sistema, encontramos a = 201 , b = 1115 e c = 607. Em seguida substi- tuimos na combina¸c˜ao acima. Portanto, o resultado desejado ´e dado por

Exemplo 1.5.3. Determine as constantes reais x, y, z, e w na combina¸c˜ao linear [ 2 − 3 − 5 4

]

= x

[

]

• y

[

]

• z

[

]

• w

[

]

Exemplo 1.5.6. Encontre as constantes reais x e y tal que aconte¸ca a igualdade

(1, − 5 , 2) = x(1, − 1 , 4) + y(2, 1 , 3) (F )

Solu¸c˜ao: Primeiramente, observamos que obter x e y em (F ) ´e equivalente a resolver  



x + 2 y = 1 −x + y = − 5 4 x + 3 y = 2.

Para resolver o sistema acima, vamos encontrar inicialmente a solu¸c˜ao do sistema formado pelas duas primeiras equa¸c˜oes. Dessa forma, temos { x + 2 y = 1 −x + y = − 5.

Resolvendo, obtemos a solu¸c˜ao x = 113 e y = − 34. Agora, substituindo esses valores na terceira equa¸c˜ao obtemos o resultado

Portanto, o sistema ´e imposs´ıvel. Ou seja, n˜ao ´e poss´ıvel encontrar as constantes x e y que satisfa¸ca a condi¸c˜ao (F ). Assim, conclu´ımos que o vetor (1, − 5 , 2) n˜ao ´e combina¸c˜ao linear dos vetores (1, − 1 , 4) e (2, 1 , 3).

1.6 Espa¸co gerado

Defini¸c˜ao 1.6.1. Dado um espa¸co vetorial V e seja o subconjunto S = {v 1 , · · · , vn} de V. Denotamos por [S] o conjunto formado por todas as combina¸c˜oes lineares de elementos de S. Assim, diremos que [S] ´e o espa¸co gerado por S. Ou seja, os elementos de S s˜ao os geradores de [S].

Proposi¸c˜ao 1.6.1. Seja S = {v 1 , · · · , vn} um subconjunto de um espa¸co vetorial V. Ent˜ao [S] ´e um subespa¸co vetorial de V.

Demonstra¸c˜ao. Com efeito, observamos que o vetor nulo pertence a [S], pois temos

0 = 0v 1 + · · · + 0vn.

Agora, sejam u, v ∈ [S]. Logo, u = a 1 v 1 +· · ·+anvn e v = b 1 v 1 +· · ·+bnvn. Portanto,

u + v = a 1 v 1 + · · · + anvn + b 1 v 1 + · · · + bnvn = (a 1 + b 1 )v 1 + · · · + (an + bn)vn.

Logo, u + v ∈ [S]. Agora, seja u ∈ [S] ent˜ao u = a 1 v 1 + · · · + anvn e uma constante k ∈ R. Assim, obtemos

ku = k(a 1 v 1 + · · · + anvn) = (ka 1 )v 1 + · · · + (kan)vn.

Ou seja, ku ∈ [S]. Assim, conclu´ımos que ele forma um subespa¸co de V.

Proposi¸c˜ao 1.6.2. Seja V um espa¸co vetorial gerado pelos vetores v 1 , · · · , vn e sabendo que vn ´e uma combina¸c˜ao linear dos demais vetores. Ent˜ao, os vetores v 1 , · · · , vn− 1 geram V.

Demonstra¸c˜ao. De fato, considerando o elemento v ∈ V e sabendo que o conjunto v 1 , · · · , vn gera V. Logo, existem constantes reais a 1 , · · · , an tais que

v = a 1 v 1 + · · · + anvn. (1.4)

Por outro lado, sabemos que vn ´e combina¸c˜ao linear dos demais vetores. Logo, existem constantes reais b 1 , · · · , bn− 1 de modo que

vn = b 1 v 1 + · · · + bn− 1 vn− 1. (1.5)

Assim, substituindo (1.5) em (1.4), obtemos

v = a 1 v 1 + · · · + an[b 1 v 1 + · · · + bn− 1 vn− 1 ] = (a 1 + anb 1 )v 1 + · · · + (an− 1 + anbn− 1 )vn− 1.

Portanto, os vetores v 1 , · · · , vn− 1 geram V.

Exemplo 1.6.1. Mostre que os vetores (1, 0 , 0), (0, 1 , 0) e (0, 0 , 1) geram o R^3. Solu¸c˜ao: De fato, consideremos um elemento (x, y, z) ∈ R^3. Assim, podemos escrever

(x, y, z) = x(1, 0 , 0) + y(0, 1 , 0) + z(0, 0 , 1)

e como n˜ao existe nenhuma restri¸c˜ao para as constantes x, y, z ∈ R. Ent˜ao, os vetores geram o R^3 e escrevemos da seguinte forma [(1, 0 , 0)(0, 1 , 0)(0, 0 , 1)] = R^3.

Exemplo 1.6.2. Ache o subespa¸co gerado pelos vetores v = (1, 2) e w = (− 3 , 1) em R^2. Solu¸c˜ao: Inicialmente consideremos (x, y) ∈ R^2 e as constantes a, b ∈ R. Agora, vamos analisar a combina¸c˜ao linear a(1, 2) + b(− 3 , 1) = (x, y). Assim, obtemos

{ a − 3 b = x 2 a + b = y.

Resolvendo o sistema (1.6) obtemos a solu¸c˜ao ´unica a = x+3 7 y e b = −^2 x 7 + y. Desse modo podemos concluir que qualquer vetor do R^2 pode ser escrito como combina¸c˜ao linear de u e w. Assim, esses vetores geram todo o espa¸co R^2. Logo, podemos representar por [(1, 2), (− 3 , 1)] = R^2.

Exemplo 1.6.3. Ache o subespa¸co gerado pelos vetores v = (1, 1 , 2) e w = (3, 2 , −4) em R^3.