Calculo de Limites: Cálculo de Limites Indeterminados usando a Regra de L'Hopital, Exercícios de Cálculo

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-A-

Quest˜ao 3. (1,0) (I) Calcule o seguinte limite: (^) x lim→ 1 − ( 2 − x ) tg(^ π^2 x ).

Resolu¸c˜ao:

x^ lim→ 1 −^ (^2 −^ x )^ tg(^ π^2 x )^ =^ x lim→ 1 −^ e^ tg(^ π^2 x )^ ln(^2 − x )^ =^ e

x^ lim→ 1 −^ ln cotg(^2 (− π^ x ) 2 x )^ ,

pois a Exponencial ´e uma func¸ ˜ao cont´ınua. Note que (^) x lim→ 1 −^ ln cotg(^2 (− π^ x ) 2 x )^

e uma indeterminac´ ¸ ˜ao da forma^00 ,

ent˜ao aplicando a regra de L’ Hospital obtemos que

x lim→ 1 −^ ln^ cotg(^2 (−^ π^ x ) 2 x )

= (^) x lim→ 1 − 2 −^1 x ·^ (−^1 ) − cossec^2 ( π 2 x ) · π 2 =^ x lim→ 1 −

sen^2 ( π 2 x ) 2 − x ·^

π =^

π.

Logo, lim x → 1 − ( 2 − x ) tg(^ π^2 x )^ = e^2^ π^.

(2,0) (II) Para ir de um ponto A a um ponto B diametralmente oposto de uma piscina circular de 10m de diˆametro, uma pessoa pode caminhar (com velocidade constante) pela borda da piscina at´e um ponto C e nadar (com velocidade constante) em linha reta at´e o ponto B (veja a figura). Sabendo que ela pode caminhar 2 vezes mais r´apido do que pode nadar, determine, em termos de α , as trajet ´orias que o levam ao seu destino no maior e no menor tempo. (Obs.: Considere que ela pode somente caminhar ou somente nadar.)

C

B

A

α

Resolu¸c˜ao:

A distˆancia caminhando ´e dada por d 1 = 5 α , pois ´e o comprimento do arco AB. Como o triˆangulo OBC ´e is ´osceles, temos que medida( B ˆ) =medida( C ˆ) = α 2 e que BM = MC , onde OM e altura. Logo a distˆ´ ancia nadando ´e dada por d 2 = 2 · 5 cos α 2.

Se V e a velocidade nadando, ent˜´ ao a velocidade caminhando ´e 2 V. Assim, o tempo total gasto em termos de α ´e

T ( α ) = (^25) Vα + 2 · 5 cos α 2 V =^

V

( (^) α 2 +^ 2 cos^

α 2

, α ∈ [0, π ].

-A-

(4,0) Quest˜ao 1. Dada a func¸ ˜ao f ( x ) = x − 5 ln( x + 2 ) − (^) x +^6 2 , determine:

a) o dom´ınio, os limites pertinentes ao estudo (justifique os seus c´alculos) e as ass´ıntotas (caso existam e justifique se n˜ao existirem); Df = { x ∈ R / x > − 2 }

i) (^) x →lim+∞ f ( x ) = (^) x lim→+∞

x − 5 ln( x + 2 ) − (^) x +^6

= (^) x lim→+∞

x

1 − 5 ln( x x^ +^2 )

− (^) x +^6

Como (^) x →lim+∞^ 5 ln( x x^ +^2 )

∞ ∞ L^ =′^ H x →lim+∞

x +^52 1 =^ 0 e^^ x →lim+∞ x +^62 =^ 0, temos que^ lim x →+∞ f^ ( x ) = +∞.^ ⇒ N˜ao f n˜ao admite ass´ıntota horizontal. ii) (^) x →−lim 2 + f ( x ) = (^) x →−lim 2 +

x − 5 ln( x + 2 ) − (^) x +^6

= (^) x →−lim 2 +

[

x −

( (^5) ( x + 2 ) ln( x + 2 ) + 6 x + 2

)]

Como (^) x →−lim 2 + ( x + 2 ) ln( x + 2 ) = (^) x →−lim 2 +^ ln( x^ 1 +^2 ) x + 2

∞ ∞ L^ =′^ H x →−lim 2 +

x +^12 − (^) ( x +^12 ) 2 = (^) x →−lim 2 + −( x + 2 ) = 0,

temos que (^) x →−lim 2 +

( (^5) ( x + 2 ) ln( x )+ 6 x + 2

= +∞, assim (^) x →−lim 2 + f ( x ) = −∞. ⇒ x = −2 ´e uma ass´ıntota vertical. iii) (^) x →lim+∞^ f^ ( xx )= (^) x →lim+∞

1 − 5 ln( x x^ +^2 )− (^) x ( x^6 + 2 )

= 1 = m. Por´em (^) x →lim+∞ ( f ( x ) − 1 x ) = (^) x →lim+∞

x − 5 ln( x + 2 ) − (^) x +^6 2 − x

= −∞. Portanto, f n˜ao admite ass´ıntota obl´ıqua.

b) os intervalos de crescimento e de decrescimento de f ; f ′( x ) = 1 − (^) x +^5 2 + (^) ( x +^6 2 ) 2 = ( x^ +^2 )

(^2) − 5 ( x + 2 ) + 6 ( x + 2 )^2 =^

x ( x − 1 ) ( x + 2 )^2 ·

ր ց ր f | − | + | + x | − | − | + ( x − 1 ) | + | − | + f ′ − 2 0 1 x = 0 ´e um ponto de m´aximo local e x = 1 ´e um ponto de m´ınimo local de f.

c) a concavidade e os pontos de inflex˜ao de f ; f ′′( x ) = (^2 x^ −^1 )( x^ +^2 )

(^2) − ( x (^2) − x ) 2 ( x + 2 ) ( x + 2 )^4 =^

5 x − 2 ( x + 2 )^3 ·

∩ ∪ f | − | + ( 5 x − 2 ) | + | + ( x + 2 ) | − | + f ′ − (^2 )

x = 25 ´e o ´unico ponto de inflex˜ao de f.

d) o esboc¸o do gr´afico de f.

−10 10 20 30 40 50

−

−

−

−

10

20

x

y