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170 ÁLGEBRA LINFAR Para responder a isto basta utilizar a matriz de 5.5.1 com é -< para à primeira reflexão e 9 = a para a segunda. Temos então (verifique): e 1 Sai 3 ! 1+V3 RE “Cao 3d ya | 13 d 2 2 do - 2 + 1-43 Concluímos, então, que o feixe estará na direção de (US , 3, O mesmo raciocínio poderá ser feito quando estamos com espelhos planos no espaço. Façamos um exemplo. Vamos mostrar que se tivermos 3 espelhos colocados dois a dois perpendiculares, qualquer feixe de luz de raios paralelos que incide sobre o conjunto sairá paralelo à direção de incidência após as refle- xões (veja a Figura 5.5.4). Figura 5.5.4 As matrizes associadas a cada espelho podem ser obtidas observando o que ele faz com cada um dos vetores da base canônica. Obtemos então: 100 1 00 Lo O M,= o 1 0),M=|0 1 0]/,M=|0 1 o 001 o 01 9 0 «1 para os espelhos [, Il e IN respectivamente (verifique). Se o feixe de luz incidente está nu direção (a, b, c) a direção do feixe refletido pelo conjunto será d a -a el=MeM-Melb|=|5 f c -€ O mesmo resultado será obtido se as reflexões se derem em outra ordem (M,MaM,, MiM2Ma etc.) Podemos concluir, portanto, que a direção de saída é paralela e contrária à de entrada. A reflexão da luz (ou som) feita em espelhos não planos não é descrita por transformações lineares. Você verá alguns exemplos de espelhos não planos em 11.7. Aguarde! Transformações Lineares 171 5.6 EXERCICIOS 1. Seja T:V > W uma função, Mostre que: q) Se T é uma transformação linear, entã s o T(0) = b) Se T(0) O, então T não é uma traraornação Tea 2. Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: a fRoR? pretty x-y) b)g:Rê>R Ge spray e) 4:M,>R a(o] dj kiP>Ps ut tbrters ox! + bx! 4 ex e M:RISR? 12 (Dr (x y, ap | ra A NR->R all 3. 2) Ache a transformação linear 7:R? > R? tal : que T(1,0, 0) = (2, 0), T(O, 1,0) =(1,1)e T(0,0,1)=(0, -1). ) b) Encontre v de Rê tal que T(v) = (3, 2). 4.4) Qual é à transformação linear TIRZ>R? tal : que T(L, ND) =(3 T(0, -2) = (0,1, 0)? = Be b) Ache T(1, 0) e T(O, 1). <) Qual é à transformação linear S:R3—>R? tal que S(3, 2, 1) : » 3, 1) =(1, 1), S(0, 1,0) = (0, 2) e S(0,0, 1) = (0,03? 61) d) Ache a transformação linear P:R?>R? tal que P = soT, 5. a) Ache a transformação 7 do plano no plano que é uma reflexão em torno da teta x =). b) Escreva-a em forma matricial. 6. No plano, uma rotação antihorária de 45º é seguida por uma dilatação de "2, Ache a aplicação À que representa esta transformação do plano. 
