MEC / UFRGS / IPH / DHH 22/03/04
IPH01-107 - MECÂNICA DOS FLUÍDOS
LISTA DE EXERCÍCIOS IX - EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES
Profa Nara M. Luzzi Rosauro
Soluções simplificadas das equações de Navier-Stokes
1) Um fluído viscoso e incompressível escoa entre duas placas planas verticais conforme mostra a figura 1.
Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme.
a) determine, usando as equações de Navier-Stokes, uma expressão para o gradiente de pressões na
direção do escoamento. Expresse dp/dy como uma função da vazão por unidade de largura (q).
b) diga qual seria a vazão se dp/dy = 0 ?
Resp: a) dp/dy = -[γ +(3 q µ / 2 h3 )]; b) q = - 2h3 γ / (3 µ)
2) Na instalação da figura 2, a esteira móvel tem uma velocidade periférica U. Sendo o peso a única força de
campo que atua no escoamento, determine a vazão (q) em função: da espessura de fluído entre a esteira
móvel e o plano inclinado (e), da diferença de altura entre a entrada e a saída (h) e do comprimento total
(L).
Resp:
3
e
L
h
12
e
2
U
q
µ
γ
−
=
3) Uma esteira larga movendo-se com velocidade vertical, passa através de um recipiente que contém um
líquido viscoso (figura 3). Devido às forças viscosas a esteira "pega" uma lâmina de fluído de espessura h. A
gravidade tende a drenar o fluído para baixo. Use as equações de Navier-Stokes para determinar uma
expressão para a velocidade média da lâmina de fluído à medida que ela é arrastada para cima pela esteira.
Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme.
Resp: V = Vo - (γ h2 / 3 µ)
Solução:
1) Neste problema temos apenas a componente em y da velocidade e esta é uma função apenas de x para
escoamento plenamente desenvolvido. Assim, temos:
u = w = 0
v = v (x)
Para que haja escoamento devemos ter um gradiente de pressão na direção y, ou seja, devemos ter
0
y
p
≠
∂
∂
.
As equações de Navier-Stokes ficam:
2
2
y
z
z
x
x
x
v
y
p
g
0
:
y
em
0
g
que
já
0
z
p
z
p
g
0
:
z
em
0
g
que
já
0
x
p
x
p
g
0
:
x
em
∂
∂
µ
+
∂
∂
−
ρ
=
=
=
∂
∂
⇒
∂
∂
−
ρ
=
=
=
∂
∂
⇒
∂
∂
−
ρ
=
(1.1)
a) Substituindo gy = -g em (1), e sendo v = v(y) :
dy
dp
1
dx
v
d
2
2
µ
+
µ
γ
=
(1.2)
