Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matem´atica
Departamento de M´etodos Matem´aticos
Lista 6 - C´alculo III - 2008/01
Integral de Superf´ıcie Escalar e ´
Area, com Parametriza¸c˜ao de Superf´ıcies
Integral de Superf´ıcie Vetorial
Parte 1: Integral de Superf´ıcie Escalar e ´
Area de Superf´ıcies que s˜ao gr´aficos de fun¸c˜ao
1. (Exerc´ıcio 6, se¸c˜ao 15.6 do Stewart, Vol. 2, 5aEdi¸c˜ao) Determine a ´area da parte do
parabol´oide z= 4 −x2−y2que est´a acima do plano xy.
2. Determine as ´areas, nos Exerc´ıcios 4b, 4f e 4e da se¸c˜ao 7.4 do livro texto (Diomara e
Cˆandida)
3. Determine o valor da integral de superf´ıcie escalar, no exerc´ıcio 1b, se¸c˜ao 7.6, do livro
texto (Diomara e Cˆandida).
4. Determine a ´area, no Exerc´ıcio 3, da se¸c˜ao 7.4, do livro texto (Diomara e Cˆandida).
Parte 2: Parametriza¸c˜ao de Superf´ıcies que n˜ao s˜ao gr´aficos
1. Parametrize a por¸c˜ao do cilindro x2+y2=a2compreendida entre os planos z= 2x
ez= 4x.
2. Considere o arco γda par´abola z= 3 −y2, no plano yz, compreendido entre as
semi-retas z= 2yez=11y
2, com y≥0. Seja Sa superf´ıcie obtida girando-se γem
torno do eixo z. Parametrize S.
3. Seja Sa superf´ıcie obtida girando-se a curva z=x2, 0 ≤x≤4, em torno do eixo z.
•parametrize S.
•parametrize a superf´ıcie S1, que ´e a por¸c˜ao de Scompreendida entre os cilindros
x2+y2= 1 e x2+y2= 4.
4. Parametrize a parte da superf´ıcie x2+y2= 2xlimitada pelas superf´ıcies z= 0 e
z=px2+y2.
5. Parametrize a por¸c˜ao da esfera x2+y2+z2= 12 que n˜ao se encontra no interior do
parabol´oide z=x2+y2.
6. Parametrize a superf´ıcie x2+y2= 1, limitada pelos planos z= 1 e x+z= 4.
7. Parametrize a superf´ıcie obtida girando-se a curva z= 1 −x2, 0 ≤x≤1, em torno
do eixo x.
8. Seja S=S1∪S2, onde S1obtida rodando-se em torno do eixo za curva C1:z= 1−x,
0≤x≤1 e S2´e obtida girando-se a curva z= 0, 0 ≤x≤1, em torno de z.
Parametrize S1eS2.
9. Parametrize a por¸c˜ao de (x−1)2+ (y−1)2= 1 entre as superf´ıcies z= 0 e z= 4.
10. Parametrize a superf´ıcie de revolu¸c˜ao Sobtida girando-se o segmento de reta que liga
(1,0,1) a (0,0,3), em torno do eixo Oz.
11. Parametrize a superf´ıcie Sobtida girando-se o c´ırculo (x−a)2+z2=b2, 0 < b < a,
em torno de Oz e encontre um vetor normal a Sem cada ponto, utilizando-se esta
parametriza¸c˜ao.
