Livro Matemática - Pré Calculo, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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Universidade Federal do Rio Grande - FURG

Instituto de Matemática Estatística e Física - IMEF

Apostila de Pré-Cálculo- Parte 1

Alessandro da Silva Saadi

Felipe Morais da Silva

Sumário

• 1 Conjuntos Numéricos
  • 1.1 Conjunto dos Números Naturais
    • 1.1.1 MDC e MMC de Números Naturais
  • 1.2 Conjunto dos Números Inteiros
    • 1.2.1 Números Inteiros Positivos e Números Inteiros Negativos
    • 1.2.2 Subconjuntos de Z
    • 1.2.3 A Reta Numérica Inteira
  • 1.3 Conjunto dos Números Racionais
    • 1.3.1 Números Racionais Positivos e Negativos
    • 1.3.2 Números Decimais
    • 1.3.3 Representação Geométrica dos Números Racionais
    • 1.3.4 O Conjunto Q e Seus Subconjuntos
  • 1.4 Módulo ou Valor Absoluto
  • 1.5 Números Opostos ou Simétricos
  • 1.6 Operações com Números Inteiros
    • 1.6.1 Adição
    • 1.6.2 Subtração
    • 1.6.3 Adição Algébrica
    • 1.6.4 Multiplicação
    • 1.6.5 Divisão
  • 1.7 As Frações
    • 1.7.1 Tipos de Frações
    • 1.7.2 Frações Equivalentes
    • 1.7.3 Simplicação de Frações
    • 1.7.4 Redução de Frações a um Mesmo Denominador
    • 1.7.5 Operações com Frações
    • 1.7.6 Multiplicação
    • 1.7.7 Divisão de Números Racionais
  • 1.8 Operações com Números Decimais
    • 1.8.1 Adição
    • 1.8.2 Substração
    • 1.8.3 Multiplicação
    • 1.8.4 Divisão
  • 1.9 Potenciação e Radiciação
    • 1.9.1 Potenciação de Números Inteiros e Racionais
    • 1.9.2 Raiz Quadrada Exata
• SUMÁRIO - 1.9.3 Raiz Quadrada de Números Racionais
  • 1.10 Expressões Numéricas
• 2 Equações do 1o Grau
  • 2.1 Sentenças Matemáticas
  • 2.2 Sentenças Matemáticas Abertas
  • 2.3 Igualdade
    • 2.3.1 Princípios de Equivalência
  • 2.4 Equação
  • 2.5 Variável ou Incógnita de uma Equação
  • 2.6 Conjunto-Universo e Conjunto-Solução de uma Equação
  • 2.7 Como Vericar se um Número é Raiz de uma Equação
  • 2.8 Equações Equivalentes
  • 2.9 Princípios de Equivalência das Equações
    • 2.9.1 Princípio Aditivo
    • 2.9.2 Princípio Multiplicativo
  • 2.10 Resolução de uma Equação do 1o Grau com uma Variável
    • 2.10.1 Método Prático para Resolver Equações
  • 2.11 Casos Particulares de Equações do 1o Grau
• 3 Sistemas de Equações do 1o Grau
  • 3.1 Introdução
  • 3.2 Resolução de Sistema pelo Processo da Substituição
  • 3.3 Resolução de Sistema pelo Processo da Adição
  • 3.4 Resolução de Sistema pelo Processo da Comparação
  • 3.5 Problemas Envolvendo Sistemas de Equações de 1o Grau
• 4 Razão, Proporção e Regra de Três
  • 4.1 Razão
    • 4.1.1 Denição
    • 4.1.2 Termos de uma Razão
    • 4.1.3 Aplicações e Razões Especiais
    • 4.1.4 Mais Exemplos sobre Razões
  • 4.2 Proporção
    • 4.2.1 Denição
    • 4.2.2 Propriedade Fundamental das Proporções
    • 4.2.3 Cálculo do Termo Desconhecido Numa Proporção
    • 4.2.4 Propriedade da Soma
    • 4.2.5 Propriedade da Diferença
    • 4.2.6 Aplicação das Propriedades
  • 4.3 Regra de Três
    • 4.3.1 Grandezas Diretamente Proporcionais
    • 4.3.2 Grandezas Inversamente Proporcionais
    • 4.3.3 Regra de Três Simples
    • 4.3.4 Regra de Três Composta
  • 4.4 Porcentagem
    • 4.4.1 Problemas de Porcentagem
• 5 Polinômios 6 SUMÁRIO
  • 5.1 Monômios
    • 5.1.1 Denição
    • 5.1.2 Grau do Monômio:
    • 5.1.3 Monômios Semelhantes
    • 5.1.4 Operações com Monômios
  • 5.2 Polinômios
    • 5.2.1 Classicação:
    • 5.2.2 Operações com Polinômios
• 6 Produtos Notáveis
  • 6.1 Quadrado da Soma de Dois Termos
  • 6.2 Quadrado da Diferença de Dois Termos
  • 6.3 Produto da Soma Pela Diferença de Dois Termos
  • 6.4 Produtos da Forma:(x − p)(x − q)
  • 6.5 Outros Produtos Notáveis
• 7 Fatoração de Polinômios
  • 7.1 Colocação de um Fator Comum em Evidencia:
  • 7.2 Por Agrupamento
  • 7.3 Trinômio Quadrado Perfeito (TQP)
  • 7.4 Diferença de Dois Quadrados
  • 7.5 Trinômio do 2o Grau do tipo x^2 − Sx + P
  • 7.6 Fatoração de expressões combinadas
  • 7.7 Soma ou Diferença de Dois Cubos
• 8 Frações Algébricas
  • 8.1 M.d.c e M.m.c de Polinômios
    • 8.1.1 M.d.c e M.m.c de Números Naturais
    • 8.1.2 M.d.c e M.m.c de Monômios
    • 8.1.3 M.d.c e M.m.c de Polinômios
  • 8.2 Frações Algébricas
    • 8.2.1 Simplicação de Frações Algébricas
    • 8.2.2 Operações com Frações Algébricas
• 9 Potenciação e Radiciação
  • 9.1 Potenciação
    • 9.1.1 Denição
    • 9.1.2 Propriedades da Potenciação
  • 9.2 Radiciação
    • 9.2.1 Denição
    • 9.2.2 Raiz de Um Número Real
    • 9.2.3 Propriedades da Radiciação
    • 9.2.4 Simplicação de Radicais
    • 9.2.5 Potenciação com Expoente Racional
    • 9.2.6 Introdução de um Fator no Radical
    • 9.2.7 Redução de Radicais ao Mesmo Índice
    • 9.2.8 Operações com Radicais
    • 9.2.9 Racionalização de Denominadores
• SUMÁRIO
• 10 Equações de 2o Grau
  • 10.1 Equações de 2o Grau
    • 10.1.1 Denição
    • 10.1.2 Coecientes da Equação do 2o Grau
  • 10.2 Equações Completas e Equações Incompletas
    • 10.2.1 Forma Normal
  • 10.3 Raízes de uma Equação do 2◦ Grau
  • 10.4 Resolução de Equações Incompletas
  • 10.5 Resolução de Equações Completas
    • 10.5.1 Fórmula Resolutiva e Discriminante
      • lutiva 10.5.2 Resolução de Equações Completas por Meio da Fórmula Reso-
    • 10.5.3 Equação Literal Completa
    • 10.5.4 Relações Entre os Coecientes e as Raízes da Equação do 2o Grau
  • 10.6 Equações Irracionais
    • 10.6.1 Introdução
    • 10.6.2 Denição
    • 10.6.3 Resolução

Apresentação

Sobre o Programa de Incentivo à Matemática

O Programa de Incentivo à Matemática - PRIMA é um programa que tem o intuito de colaborar com os estudantes de graduação da FURG, incentivando as ações que contribuam no aprendizado da Matemática. O curso de Pré-Cálculo é um curso de Matemática básica modalidade à distância com duração de até 10 semanas, onde o próprio estudante organiza seus horários de estudos. Objetivos: Retomar os conteúdos de Matemática Básica de nível fundamental e médio indispensáveis para as disciplinas que envolvem Ma- temática em nível superior a m de promover as condições necessárias à formação acadêmica do(a) estudante. Contato:

• Site: www.prima.furg.br
• E-mail: [email protected]
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10 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.1.1 MDC e MMC de Números Naturais

Denição MDC: O máximo di- visor comum MDC de dois ou mais números é igual ao produto dos fatores comuns a esses nú- meros, cada um deles elevado ao menor de seus expoentes.

Denição MMC: O mínimo múltiplo comum MMC de dois ou mais números é igual ao pro- duto dos fatores comuns e não comuns, cada um deles elevado ao maior de seus expoentes. Para calcular o MDC e o MMC de dois ou mais números naturais, aplicamos as seguintes técnicas:

1 o) Decompõem-se os números em fatores primos (pode-se utilizar o al- goritmo prático).

2 o) Aplicam-se as denições de MDC e MMC.

Exemplo: Calcular o MDC e o MMC dos números 24 , 36 e 60.

99K Algoritmo prático: divide-se o número pelo menor número primo possível 99K O resultado da divisão é colocado na próxima linha 99K Repete-se o procedimento até chegar ao quociente 1 99K A forma fatorada do número é o produto dos fatores primos que estão à direita 24 = 2^3 · 3 36 = 2^2 · 32 60 = 2^2 · 3 · 5 Aplicando as denições de MDC e MMC, temos:

MDC(24; 36; 60) = 2^2 · 3 = 12 MMC(24; 36; 60)= 2^3 · 32 ·5 = 360

As mesmas regras se aplicam para determinação do MDC ou MMC de monômios e de polinômios.

1.2 Conjunto dos Números Inteiros

Observe que, no conjunto dos números naturais N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...}, a operação de subtração nem sempre é possível. Exemplos:

1.2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 11

a) 5 − 3 = 2 (é possível: 2 ∈ N)

b) 9 − 8 = 1 (é possível: 1 ∈ N)

c) 3 − 5 =? (é impossível em N)

Para tornar possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros negativos.

1.2.1 Números Inteiros Positivos e Números Inteiros

Negativos

Para todo número natural n, foi criado:

• Um número +n (lê-se: mais n) chamado número inteiro positivo. Exemplo: +1, +2, +3, +4, +5,... são números inteiros positivos.
• Um número −n (lê-se: menos n) chamado número inteiro nega- tivo. Exemplo: − 1 , − 2 , − 3 , − 4 , − 5 ,... são números inteiros negativos. Reunindo os números inteiros negativos, o número zero e os núme- ros inteiros positivos obtém-se o conjunto dos números inteiros, que se representa pela letra Z e é escrito: Z = {... − 5 , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , +1, +2, +3, +4, +5, ...}

1.2.2 Subconjuntos de Z

Sabemos que o conjunto dos números naturais N é subconjunto dos nú- meros inteiros Z. Existem outros subconjuntos importantes:

• Conjunto dos números inteiros diferentes de zero = Z − { 0 } = Z∗^ = {..., − 3 , − 2 , − 1 , +1, +2, +3, ...}.
• Conjunto dos números inteiros não negativos = Z+ = { 0 , +1, +2, +3, ...}
• Conjunto dos números inteiros não positivos = Z− = { 0 , − 1 , − 2 , − 3 , ...}
• Conjunto dos números inteiros positivos = Z∗ + = {+1, +2, +3, ...}
• Conjunto dos números inteiros negativos = Z∗− = {− 1 , − 2 , − 3 , ...}

1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 13

• Os números fracionários positivos. Exemplos:

a)

b)

• Os números fracionários negativos. Exemplos:

a) −

b) −

• O número 0 também é racional pois 0 =

Os números 1 , 2 , 3 , 4 ,

, ... são chamados números racionais positivos. Os números − 1 , − 2 , − 3 , − 4 , −

, ... são chamados números racionais negativos.

1.3.2 Números Decimais

Um número racional também pode ser representado por um número de- cimal exato ou periódico. Exemplos:

a)

= 3, 5 99K divide-se o numerador pelo denominador da fração e obtém-se o número na forma decimal.

b) −

c)

d)

e)

Os itens c, d e e são chamados de dízimas periódicas e podem ser representados ainda por: 0 , 3; 0, 4 e 0 , 23 respectivamente.

14 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.3.3 Representação Geométrica dos Números Raci-

onais

Observe que os números inteiros e racionais podem ser representados por pontos de uma reta.

• Os pontos que estão à direita do zero chamam-se positivos. Os pontos negativos estão à esquerda do zero.
• Dados dois números quaisquer, o que está mais à direita é o maior deles, e o que está mais à esquerda, o menor deles.

Exemplos:

a) +2 > − 3 99K (+2 está à direita de − 3 ).

b) − 2 < +1 99K (− 2 está à esquerda de +1).

c) −

99K (−

3 2 está à esquerda de 1 5 ).

d)

99K (

5 3 está à direita de − 5 2 ).

1.3.4 O Conjunto Q e Seus Subconjuntos

O conjunto formado pelos números racionais positivos, pelo número zero e pelos números racionais negativos chama-se conjunto dos números racionais, que se representa pela letra Q.

Subconjuntos de Q

• Q∗^ = Q - { 0 };
• Q+ = conjunto dos números racionais não negativos (formado por zero e por todos os positivos);
• Q− = conjunto dos números racionais nao positivos (formado pelo zero e por todos os negativos);

16 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.5 Números Opostos ou Simétricos

Observe os seguintes números:

a) 5 e − 5 possuem módulos iguais e sinais diferentes.

b) − 8 e 8 possuem módulos iguais e sinais diferentes.

c) +

e −

possuem módulos iguais e sinais diferentes.

d) −

e +

possuem módulos iguais e sinais diferentes.

Dois números (inteiros ou racionais) que possuem módulos iguais e sinais diferentes são chamados números opostos ou simétricos.

Assim, o oposto de − 3 é +3, o oposto de +9 é − 9 , o oposto de +

é

−

e o oposto de −

é +

Observação: O oposto de zero é o próprio zero.

1.6 Operações com Números Inteiros

1.6.1 Adição

1 o^ caso: As parcelas tem o mesmo sinal

A soma de dois números positivos é um número positivo e a soma de dois números negativos é um número negativo. Com parênteses Simplicando a maneira de escrever (+13) + (+10) = +23 +13 + 10 = +23 = 23 (−3) + (−6) = − 9 − 3 − 6 = − 9 Observação: Escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e eliminamos os parênteses das parcelas.

Na adição de números inteiros com sinais iguais, conserva-se os sinais e soma-se os módulos. 2 o^ caso: As parcelas tem sinais diferentes

1.6. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 17

A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo- se os valores absolutos (módulos), dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto. Com parênteses Simplicando a maneira de escrever (+23) + (−9) = +14 +23 − 9 = + (+7) + (−25) = − 18 +7 − 25 = − 18 Observação: Escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e eliminamos os parênteses das parcelas.

Na adição de números inteiros com sinais diferentes, subtrai-se os módulos, dando-se o sinal da parcela que tiver maior módulo.

3 o^ caso: As parcelas são números opostos

Quando as parcelas são números opostos, a soma é igual a zero. Com parênteses Simplicando a maneira de escrever (+8) + (−8) = 0 +8 − 8 = 0 (−20) + (+20) = 0 −20 + 20 = 0 4 o^ caso: Uma das parcelas é zero

Quando um dos números dados é zero, a soma é igual ao outro número. Com parênteses Simplicando a maneira de escrever (+8) + 0 = +8 +8 + 0 = + (−12) + 0 = − 12 −12 + 0 = − 12

5 o^ caso: Soma de três ou mais números inteiros

Calcula-se:

• a soma de todas as parcelas positivas;
• a soma de todas as parcelas negativas;
• a soma dos resultados obtidos conforme os casos anteriores.

Exemplos:

a) +10 − 7 − 1 = +10 + (− 7 − 1) ︸ ︷︷ ︸ − 8

b) −6 + 3 + 9 − 10 = (+3 + 9) ︸ ︷︷ ︸

− 16

1.6. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 19

b) (−6) − (+9) = (−6) + (−9) = − 6 − 9 = − 15

c) (+5) − (−2) = (+5) + (+2) = 5 + 2 = 7

Para subtrairmos dois números inteiros, basta que adicionemos ao primeiro o oposto do segundo. Observação: A subtração no conjunto Z goza apenas da propriedade do fechamento.

Eliminação de Parênteses Precedidos de Sinal Negativo

Para facilitar o cálculo, eliminamos os parênteses usando o signicado do oposto. Exemplos:

a) −(+8) = − 8 (signica:o oposto de +8 é − 8 )

b) −(−3) = 3 (signica:o oposto de − 3 é +3)

Mais exemplos:

a) −(+8) − (−3) = −8 + 3 = − 5

b) (+10) − (−3) − (+3) = 10 + 3 − 3 = 10

c) (−10) − (−5) = −10 + 5 = − 5

1.6.3 Adição Algébrica

Podemos reprensentar de modo mais simples uma adição de números in- teiros. Para isso:

1 o) Eliminam-se o sinal de + da operação e os parênteses das parcelas.

2 o) Escrevem-se as parcelas, uma em seguida à outra, cada qual com o próprio sinal.

Exemplos:

a) (+5) + (−8) = 5 − 8 = − 3

b) (+3) + (−9) + (+10) = 3 − 9 + 10 = 3 + 10 ︸ ︷︷ ︸

− 9

c) (−2) + (+3) − (+8) − (−6) = −2 + 3 − 8 + 6 = − ︸ ︷︷ 2 − 8 ︸ − 10

20 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Cálculo da Adição Algébrica

Observe os exemplos:

a) 12 − 20 = − 8

b) − 4 − 6 = − 10

c) 12 − 9 = 3

d) −5 + 8 + 1 = (^) ︸︷︷︸− 5 − 5

e) 6 − 10 − 5 + 8 = 6 + 8 ︸ ︷︷ ︸

− 15

Regras para Eliminação de Parênteses

Vale a pena LEMBRAR!!!

1 o^ caso:

Um parêntese precedido pelo sinal + pode ser eliminado, junta- mente com o sinal + que o precede, escrevendo-se os números contidos no seu interior com o mesmo sinal. Exemplos:

• +(+6) = 6
• +(−5) = − 5
• +(+2 − 3) = 2 − 3 = − 1

2 o^ caso:

Um parêntese precedido pelo sinal − pode ser eliminado, junta- mente com o sinal − que o precede, escrevendo-se os números contidos no seu interior com os sinais trocados. Exemplos:

• −(+6) = − 6
• −(−5) = +5 = 5
• −(+2 − 3) = −2 + 3 = 1