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Finan¸cas

Matem´atica

Teoria e Pr´atica

Marco A. P. Cabral

ii

Primeira Edição. Versão de 26 de Julho de 2020 Para Tela do Computador

AUTOR: Marco Aurélio Palumbo Cabral é PhD em Matemática pela Indiana University (EUA). Fez o Bacharelado em Informática na UFRJ e o Mestrado em Matemática Aplicada na UFRJ. É professor no Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro desde 1996.

CAPA: Inação no Brasil desde 1981 até os dias de hoje em escala logarítmica em y para que possamos entender o que ocorreu ao longo do tempo. Mais detalhes na página162.

LICENÇA: Este trabalho está licenciado sob a Licença Creative Commons Atribuição - Não Comercial - Sem Derivações 4.0 Internacional. Veja cópia desta licença em https: //creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.pt. Em resumo você tem o di- reito de copiar e redistribuir o material, desde que respeite os seguintes termos: (a) Atribuição

• Você deve atribuir o devido crédito. (b) Não Comercial - Você não pode usar o material para ns comerciais. (c) Sem Derivações - Se você remixar, transformar, ou criar a partir do material, não pode distribuir o material modicado.

Disponível em www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros.

Instituto de Matemática

Departamento de Matemática Aplicada

iv PREF ACIO´

Sum´ario

• 1 Introdução Prefácio iii
  • 1.1 História das Finanças
  • 1.2 Mercado Financeiro
  • 1.3 Ações
  • 1.4 Bolsa de Valores
  • 1.5 Animais e o Mercado
  • 1.6 Ativos e Derivativos
  • 1.7 Precicando Contratos
  • 1.8 Matemática nas Finanças
  • 1.9 Finanças e Filosoa
  • 1.10 Exercícios
• 2 Opções Europeias
  • 2.1 Modelo de Um Período
  • 2.2 Conceitos de Finanças Matemática
  • 2.3 Opções no Modelo de Um Período
  • 2.4 Modelo de Vários Períodos
  • 2.5 Generalizando o Modelo
  • 2.6 Greeks
  • 2.7 Exercícios
• 3 Probabilidade e Finanças
  • 3.1 Denições Básicas
  • 3.2 Momentos de uma v.a.
  • 3.3 Esperança Condicional
  • 3.4 Esperança Condicional: Caso Geral
  • 3.5 Martingal
  • 3.6 Teoremas Fundamentais
  • 3.7 Exercícios
• 4 Esquemas Numéricos em Finanças vi PREF ACIO´
  • 4.1 Calibrando
    • 4.1.1 Média e Desvio-Padrão dos Saltos
    • 4.1.2 Escala Temporal e Parâmetros no Modelo JR
  • 4.2 Simulando
  • 4.3 Precicando
    • 4.3.1 Conceitos de Métodos Numéricos
    • 4.3.2 Método Explícito para Opção Europeia Vanilla
    • 4.3.3 Método de Monte Carlo para Opções Europeias
  • 4.4 Teoria: Mudança de Escala e Método JR
    • 4.4.1 Introdução à Mudança de Escala
    • 4.4.2 Teoria da Mudança de Escala
    • 4.4.3 Teoria dos Métodos
  • 4.5 Comentários Finais
  • 4.6 Código em Júlia
  • 4.7 Exercícios
  • 4.8 Projetos Computacionais
• 5 Opções Americanas
  • 5.1 Precicação e Hedge
  • 5.2 Opções Americanas são Submartingais
  • 5.3 Precicação Numérica: Método Explícito
  • 5.4 Funções Convexas e Desigualdade de Jensen
  • 5.5 Tempo de parada
  • 5.6 Código em Júlia
  • 5.7 Exercícios
  • 5.8 Projetos Computacionais
• 6 Otimização de Carteiras
  • 6.1 Introdução
  • 6.2 Risco e Retorno
  • 6.3 Índice Sharpe
  • 6.4 Covariância e Correlação
  • 6.5 Teoria de Markowitz
  • 6.6 Modelo CAPM
  • 6.7 Comentários Finais
  • 6.8 Exercícios
  • 6.9 Projetos Computacionais
• 7 Gestão de Risco e Análise VaR
  • 7.1 Introdução
  • 7.2 Método Histórico
  • 7.3 Método da Variância
  • 7.4 Método de Monte Carlo
  • 7.5 Exercícios
  • 7.6 Projetos Computacionais
• 8 Modelos de Taxas de Juros vii
  • 8.1 Juros e Inação
  • 8.2 Modelo de Taxa de Juros
  • 8.3 Estrutura a Termo
  • 8.4 Exercícios
  • 8.5 Projetos Computacionais
• Bibliograa

viii PREF ACIO´

2 CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ AO˜

O movimento Browniano foi observado pelo botânico Robert Brown em 1827 em seu microscópio. Ele observou que o pólen em água fazia um movimento irregular, aparentemente aleatório, mas não soube explicar o que causava este movimento. Em 1905^1 Einstein publicou um artigo onde explicava a natureza do movimento browniano. Somente em torno de 1923 o matemático Norbert Wiener estabeleceu bases matemáticas sólidas para modelar o movimento browniano. Este modelo matemático é conhecido como processo de Wiener. Por esta razão se usam até hoje como sinônimos o movimento browniano e o processo de Wiener e se representa por B ou W este processo. Mais tarde, na década de 1960, Paul Samuelson corrigiu o modelo original de Bachelier para o preço da ação e observou que pode-se modelar utilizando o processo de Wiener os retornos  o percentual de ganho e perda  de cada ação e não o valor em si. Em 1954 chegamos ao segundo marco fundamental das Finanças Matemática: a Tese de Doutorado de H. Markowitz defendida na Universidade de Chicago sobre a teoria das cartei- ras (portfolio theory ). Baseado neste trabalho, Sharpe introduziu o chamado modelo CAPM, Capital Asset Pricing Model, para determinar como alocar de forma ótima recursos nanceiros entre diversos ativos. Dedicamos um capítulo inteiro ao assunto. Em 1990 Markowitz, Sharpe e Miller ganharam o premio Nobel por este trabalho. Em 1973 chegamos ao terceiro marco fundamental das Finanças Matemática: as equações e a fórmula de Black-Scholes^2 , usada para calcular o valor de contratos importantes do mercado nanceiros, como por exemplo os chamados calls e puts (mais adiante no livro falaremos deles). Hoje são tão comuns que são uma função interna em todos programas de planilha eletrônica. Estas equações e a fórmula são tão importantes que zeram com que Merton and Scholes (Black morreu em 1995) recebessem o prêmio Nobel de Economia em

Na mesma década de 1970 começa a abertura de empregos no mercado nanceiro para Físicos e Matemáticos, além dos Engenheiros. Nos EUA é comum ainda se referir aos rocket scientists from Wall Street, em referência à rua de Nova Iorque (Wall Street) que concentra o mercado nanceiro e aos Físicos (e Matemáticos), que em linguagem popular são chamados de cientistas de foguete, associando principalmente a Werner Von Braun, cientista alemão que depois da guerra foi para NASA, a agência espacial americana, projetar os foguetes que levaram o homem a lua em 1969. Este movimento continua até hoje, com Doutores e Mestres em Física, Matemática ou Estatística, ou graduados em Matemática, Estatística, Economia e Engenharia e similares recebendo ofertas de trabalho no mercado nanceiro. Quais são as habilidades esperadas pelo mercado destes prossionais?

1. Conhecimento de teoria, modelos e métodos numéricos da Matemática e Estatística.
2. Ter boa base em Computação para saber implementar estes modelos.
3. Ter conhecimentos de Finanças, sabendo aplicar 1 e 2 nos problemas de Finanças.

Estas habilidades são o esqueleto invisível por trás deste texto.

1.2 Mercado Financeiro

Mercados, originalmente, eram locais públicos  praças ou prédios usualmente no centro das cidades  onde produtores e consumidores se encontravam com regularidade, em dias pré-

(^1) Conhecido como o annus mirabilis (em latim, ano miraculoso) da sua vida cient´ıfica pois produziu 5 artigos importantes, um deles onde apresenta sua tese que E = mc^2. (^2) Alguns dizem Black-Scholes-Morton

1.2. MERCADO FINANCEIRO 3

determinados para fazer negócios. A vantagem de um mercado em relação a negócios diretos são óbvias: ao invés de percorrer a cidade de forma aleatória para encontrar um comprador, o vendedor sabe que lá os compradores poderão se encontrar com os vendedores. Todos ganham ao nal com a maior concorrência, pois nem o vendedor nem o comprador cam a mercê de um único operador. Esse esquema original evoluiu para mercados virtuais, acessados através de aplicativos e plataformas digitais onde se compra e vende não somente ações e mercadorias como também se oferece serviços (conserto, transporte de pessoas e mercadorias, aluguel). A bolsa de valores, que era um local físico onde os operadores de compra e venda se encontravam, são hoje totalmente eletrônicas.

Defini¸c˜ao 1.1: Mercado Financeiro

O mercado nanceiro é o conjunto dos locais, físicos e virtuais, onde são negociados produtos do mercado nanceiro: ações, moedas, ouro, mercadorias  os chamados ativos nanceiros e contratos cujo valor é baseado no preço destes ativos em certas datas futuras, os chamados derivativos.

Em mercados nanceiros são negociados produtos nanceiros. Ele existe pela mesma razão que os mercados onde se negociam mercadorias: para facilitar o encontro de comprador com vendedor. Pela natureza do produto oferecido em um mercado nanceiro  capital (recursos nan- ceiros)  ele promove o encontro entre:

• Os que precisam de capital: Empresas que querem expandir seus negócios, inventores e empreendedores, com ideias novas para produtos e serviços mas sem capital para montar seus negócios. Pessoas que precisam adquirir bens de maior valor e não podem pagar à vista, tipicamente imóveis e veículos.
• Os que possuem capital: Pequenos e grandes investidores, buscando maior renta- bilidade para seu capital disponível; fundos de pensão e seguradoras, investindo para preservar e/ou crescer os valores acumulados pelos futuros pensionistas ou querendo provisionar para possíveis despesas futuras.

Tradicionalmente esta atividade era mediada por bancos. Assim quem quisesse montar um novo negócio pegava empréstimo no banco para compra de estoque, equipamento etc. Mais tarde surgiram alternativas como as sociedades nas empresas, que possuem um ou mais sócios que entram com o capital na sociedade, ou as ações, onde ao invés buscar alguns poucos sócios para o negócio você pulveriza o capital entre milhares de sócios, pois quem possui ações é proprietário de parte da empresa. A importância de possuir um mercado nanceiro desenvolvido é a possibilidade de gerar ainda mais riquezas e prosperidade para um país. O mercado nanceiro conecta: (a) o recurso poupado por uns com (b) o espírito empreendedor de outros. Nem sempre quem poupa tem disposição, saúde ou tempo para utilizar os recursos extras para montar um negócio. Cada nova empresa contribui para o prosperidade da nação pois:

• gera empregos de forma direta, que vão melhorar a vida dos seus funcionários bem como dos seus acionistas ou proprietários;
• paga impostos que vão nanciar as atividades de um governo  entre outras segurança, educação, saúde  que vão melhorar vida da população como um todo;

1.3. AC¸ OES˜ 5

Defini¸c˜ao 1.2: Empresa de Capital Aberto, A¸c˜oes, IPO

Empresas cujo capital total é fracionado em cotas e cada cota, chamada de ação, é oferecida de forma aberta para todos no mercado nanceiro, com suas ações negociadas posteriormente em uma bolsa de valores, são conhecidas como empresas de capital aberto ou SA'a (Sociedades Anônimas). A abertura de capital de uma empresa, ocasião em que são oferecidas ações ao público, é feita numa oferta pública inicial de ações, chamada de IPO  Initial Public Oering.

Por contraste, uma empresa de capital fechado possui um certo número de sócios que se escolheram mutualmente. Quem possui ações de uma empresa é sócio de certo percentual da empresa correspondente à proporção que possui com relação ao total de ações emitidas. Daremos um exemplo. Uma empresa será formada com capital inicial de R$ 100 mil que será dividido em 10 mil cotas de R$10 cada. Cada cota é chamada de ação, que no caso seria oferecida inicialmente a R$10 cada uma das 10 mil ações. Assim um indivíduo que possua 500 ações será dono de 5% da empresa (500/10000). No dia seguinte ao IPO as ações passam a ser negociadas em bolsa, podendo ocorrer queda ou alta dependendo das expectativas do mercado quanto ao futuro da empresa. Empresas de capital aberto possuem ainda vários diferenciais em relação às de capital fechado. Uma delas é que separa os bens do dono da empresa da situação da empresa. Basicamente dívidas geradas pelo empresa não serão cobrada dos seus sócios na pessoa física, ao contrário de empresas de capital fechado cujas dívidas podem ser cobradas da pessoa física, os donos da empresa. As regras para abertura e scalização do funcionamento de empresas de capital aberto e de todo mercado de ações e nanceiro são feitas no Brasil pela CVM (Comissão de Valores Mobiliários). Mais sobre a CVM na próxima seção. Estas regras são importantes, entre outras coisas, para garantir os sócios minoritários, os pequenos investidores que possuem poucas ações e poderiam ser prejudicados pelos controladores da empresa, que possuem mais da metade das ações. Algumas vantagens de levantar o capital por meio de ações: não pagar juros ao banco (forma barata de ter capital disponível), não depender de uma única pessoa ou poucas (2 ou 3 sócios) que tenham o capital inicial necessário para se abrir a empresa e deixá-la funcionando até que comece a dar retorno, e nalmente, pulverizar o capital, de modo que cada um que compra algumas ações não ca totalmente dependente do desempenho desta empresa em particular, podendo diluir o risco entre várias empresas distintas. Existem empresas cujas ações proporcionam a distribuição de parte do lucro, semestral ou anual, para seus acionistas, em relação proporcional direta com o número de ações que se possui. Os donos das ações ordinárias possuem o direito à voto em decisões estratégicas sobre o futuro da empresa, enquanto as ações preferenciais não proporcionam este direito. Quando construímos modelos matemáticos em nanças é importante utilizar números ne- gativos. Assim se temos na carteira um certo valor A e gastamos B, caremos com A − B na carteira. Ora, caso B > A possuiremos um valor negativo na carteira. Qual o signicado no mundo real disso? É que temos agora uma dívida. Na prática teríamos que pegar emprestado este valor. O mesmo ocorrerá em nossa modelagem envolvendo ações. Podemos comprar ações ou tomar emprestado ações. Matematicamente podemos possuir 3 ações ou − 4 ações, com o possuir ou comprar − 4 ações signicando que pegamos emprestado 4 ações, e tere- mos que devolver, em alguma data futura, as 4 ações. É uma operação que existe no mercado real, como se fosse alugar uma ação para se devolver depois.

6 CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ AO˜

Defini¸c˜ao 1.3: Ficar Vendido ou Venda a Descoberto ou Sell Short

Pode-se comprar (ou possuir) uma quantidade negativa de ações, que em termos de mercado é dito car vendido ou vender a descoberto ou sell short uma ação, que signica na prática car devendo certa quantidade de ações.

Esta estratégia de short selling é uma aposta que o preço da ação vai cair no futuro e assim quando se for devolver a ação se pagará menos do que o que foi gasto no início. Por outro lado quem está na outra ponta ganhará em caso de subida da ação e, além disso, continuará dono da mesma. Existem limitações para o máximo que você pode estar vendido em ações, de forma similar ao máximo possível de dívida que alguém pode ter. Pode-se ter que pagar juros enquanto estiver nesta situação e manter uma conta com certo valor que sirva de garantia para o empréstimo. Os detalhes variam de mercado a mercado, sendo que em alguns deles é proibida a venda a descoberto. Finalizamos com uma frase clássica do mercado acionário: o valor das ações sobe de escada e desce de elevador. O signicado é que as altas no valor das ações são tipicamente pequenas, mas quando existe movimento grande no preço é de baixa: ocorre pelo efeito manada ou, na analogia marítima (ver Seção 1.5) do mercado nanceiro, efeito cardume: após algumas vendas todos começam a seguir o movimento de venda, fazendo com que o preço de queda se acelere por certo pânico. Note que por esta razão pode-se ganhar muito em uma estratégia de short selling uma ação.

1.4 Bolsa de Valores

Começamos com uma brevíssima história das bolsas no Brasil.^4 O Brasil possui hoje uma única bolsa de valores, a B3, cujo logotipo é [B]^3 = Brasil, Bolsa, Balcão. Ela surgiu em 2017 após a fusão da Bolsa de Valores, Mercadorias e Futuros de São Paulo (BM&FBOVESPA) com a Central de Custódia e de Liquidação Financeira de Títulos (CETIP). Veja [B3]. A origem destas instituições é do tempo do império e do início da república. A Bolsa de Valores do Rio de Janeiro (BVRJ) foi fundada 1845, e foi a primeira bolsa de valores a entrar em operação no Brasil. A BOVESPA foi fundada em 1890, a BM&F em 1917. A BVRJ teve sua operação do mercado de ações assumida pela BOVESPA em 2000 e a parte de títulos do governo pela BM&F em 2002. A BM&FBOVESPA surgiu em 2008 após a fusão da BOVESPA com a BM&F. A CETIP começou a operar em 1986 com títulos públicos (dívidas de governo federal, estadual, municipal) e privados até ser fundida em 2017 com a BM&FBOVESPA. O órgão que supervisiona o funcionamento de todo mercado nanceiro no Brasil é a Comissão de Valores Mobiliários (CVM), autarquia vinculada ao Ministério da Economia do Brasil mas independente, sem subordinação hierárquica e com mandato xo e estabilidade de seus dirigentes, nomeados pelo Presidente da República e aprovados pelo Senado Federal. A CVM tem competência para apurar, julgar e punir irregularidades eventualmente cometidas no mercado. Sua fonte de recursos vêm de taxas pagas por companhias abertas (com ação em bolsa), bancos, corretoras e fundos. É a versão brasileira da Securities and Exchange Commission (SEC) dos EUA. Começamos por um conceito importante. (^4) Mais detalhes na Wikipedia por exemplo.

8 CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ AO˜

Defini¸c˜ao 1.6: ´Indice IBRX

O objetivo do IBrX 100 é ser o indicador do desempenho médio das cotações dos 100 ativos de maior negociabilidade e representatividade do mercado de ações brasileiro.

Hoje em dias todas as bolsas do mundo são eletrônicas. Existem corretoras credenciadas que cam ligadas diretamente ao banco de dados da bolsa e tem acesso ao chamado BOOK de ofertas, o livro eletrônico que registra todas as transações ocorridas na bolsa. Abaixo destas corretoras credenciadas vão existir outras corretoras e abaixo destas (ou ainda mais abaixo) os investidores individuais. Durante o horário de funcionamento da bolsa pode-se colocar no BOOK uma:

1. Oferta de compra de XX ações da empresa XPTO pagando CC por cada ação.
2. Oferta de venda de ZZ ações da empresa XPTO vendendo por VV cada ação.

Explicaremos o algoritmo utilizado pelo sistema da bolsa após uma oferta de compra, sendo o caso da oferta de venda similar. A cada nova oferta de compra de XX ações da empresa XPTO pagando CC por cada ação o sistema verica se existem uma ou mais ofertas de venda da mesma ação com preço de venda VV menor ou igual a CC. Caso exista:

1. O sistema selecionará a oferta com maior preço de venda VV de ZZ ações (se der empate vale a oferta mais antiga) e lançará no BOOK que ocorreu uma operação de venda de MIN(XX,ZZ) ações da empresa XPTO pelo preço CC (que é maior que VV).
2. Caso XX < ZZ as ofertas de compra e venda serão retiradas e lançada uma oferta de venda do restante ZZ − XX de ações (a sobra).
3. Caso ZZ < XX as ofertas também serão retiradas e colocada oferta de compra do restante XX − ZZ de ações (a sobra).
4. Esta oferta restante que acabou de entrar no BOOK vai rodar pelo algoritmo buscando fechar um negócio.

Assim o sistema fechará um negócio parcial caso a oferta de compra seja de um número de ações inferior ao oferecido na venda ou vice-versa. Todas as informações, este log completo de ofertas (negócios potenciais) de compra e venda e dos negócios fechados, são disponíveis para todos. O BOOK pode ser acessado pelos investidores. A imprensa divulga o preço ao nal do dia, dizendo que a bolsa fechou em alta ou baixa. Em consultas mais detalhadas é fornecido o preço de abertura, fechamento, o mais alto e o mais baixo e nalmente o médio. Outra informação que costuma ser noticiada é o volume de negócios do dia. O BOOK traz esta riqueza de informações que não são publicadas: negócios fechados e potenciais. Digamos que observamos uma grande volume de ofertas de compra com poucas ofertas de venda. Isto poderia indicar que em breve a ação vai subir. Este tipo de informação é fundamental em estratégias de Day Trade, pois são muito mais sutis que simplesmente o valor negociado. O leilão de pré-abertura (ou pré-market) é assim chamado por corresponder ao período de 15 minutos que antecede a abertura do pregão. Esse é um período no qual o sistema da bolsa apenas aceita o registro de ofertas de compra e ofertas de venda, mas não registra o negócio, de fato. O leilão de pré-abertura serve para que as pessoas que queiram negociar ao preço de

1.5. ANIMAIS E O MERCADO 9

abertura, que é um preço importante em um dia de negociação, tenham condições de fazê-lo de forma equilibrada, transparente e equânime.

Quando se investe é comum colocar oferta de compra ou venda para limitar perda, chamado de estratégia de stop loss. Um exemplo é colocar (e deixar no book) uma ordem de venda de ações caso seu valor que abaixo de certa barreira. Com ela no BOOK o investidor pode car tranquilo sem ter que car acompanhando direto o mercado. O problema, no entanto, é que numa queda brusca (preço da ação desce de elevador) do preço da ação o mercado pode passar desta barreira sem que ela tenha tempo de ser executada pois o preço que era baixo como oferta de venda, depois da queda brusca cou, relativamente, alto. Uma outra estratégia padrão de stop loss é a de escada: colocar oferta de venda em preços cada vez mais baixo com certos intervalos xos entre estes valores, evitando que o preço pule uma barreira. De tão comum, softwares de corretoras costumam ter esta opção para ser feita de forma mais prática.

1.5 Animais e o Mercado

Existem algumas analogias marítimas relacionadas a diferentes tipos de investidores da bolsa:

• Tubarão: os grandes investidores, poucos, com muito dinheiro e experiência.
• Sardinhas: os pequenos investidores, muitos, alguns bem inexperientes, que serão engolidos pelos tubarões.
• Baleia: mega investidores, com tanto dinheiro que um movimento deles pode afetar o valor do próprio ativo. Analogia é que por seu tamanho o movimento de uma baleia afetaria as correntes marítimas. É comum no mundo das moedas virtuais (bitcoins e similares).
• Efeito cardume ou manada: Movimento igual de todas sardinhas na mesma direção, como por exemplo a venda de uma ação por alguns que gera um movimento ainda maior de queda por este efeito.

Ainda outros animais da bolsa de valores:

• Bear Market: (Mercado Urso) Quando existe tendência de queda generalizada no valor das ações. A lógica é que o urso ataca cando em pé e dando patadas de cima para baixo.
• Bull Market: (Mercado Touro) Quando existe tendência de subida generalizada no valor das ações. A lógica é que o touro ataca lançando os chifres para cima.

1.6 Ativos e Derivativos

Já falamos sobre ações e sua importância para o desenvolvimento da economia de um país. Fa- laremos agora de outros ativos nanceiros básicos (basic equities) de uma economia.

1.6. ATIVOS E DERIVATIVOS 11

Defini¸c˜ao 1.10: Derivativos

Um derivativo é um contrato cujo valor deriva (depende) da performance durante certo período de algum ativo básico (ação, dólar, petróleo, taxa de juros)  em inglês depende do underlying  de forma direta ou indireta, através de algum outro derivativo. Estes contratos possuem um tempo T de vigência, expirando após este tempo. Dividem-se em dois tipos: (a) Opções (em inglês Options ou Contingent Claims), que permitem ao proprietário executar ou não o contrato durante a vigência do mesmo. Uma opção pode expirar (chegar no tempo nal de vigência de contrato) sem valer nada. Exemplos: Call e Put. (b) Obrigações Futuras (em inglês Forward Commitments), por contraste, obrigam o pagamento de valores, em datas pré-determinadas, que dependem da performance de ativos. Alguns exemplos: forwards, futures, swaps.

Exemplo importante de derivativo (tipo opção) são as opções de compra de algum ativo  você não é obrigado a comprar, tem a opção de fazê-lo caso valha a pena  por um determinado valor em uma certa data. Para explicar qual seu uso supomos que você queira se proteger do aumento na cotação do dólar numa data futura T quando você vai precisar comprar dólares. Você pode fazer isso comprando dólar antecipadamente, onde você se protege da subida mas vai perder na queda. Utilizando opções podemos nos proteger contra um movimento unilateral: a subida ou queda excessiva no preço de um ativo. São os chamados calls e puts, que apresentamos agora.

Defini¸c˜ao 1.11: Call

Um call com strike K e tempo de expiração (ou vencimento) T baseado no ativo XPTO é um contrato que dá a opção (mas não a obrigação!) de quem possui este contrato de, no momento T , comprar o ativo XPTO pelo valor K.

Assim se S(T ) é o valor de XPTO no momento T :

• se S(T ) > K o proprietário do call vai querer exercer a opção de compra pelo valor K e receber S(T ) − K;
• se S(T ) ≤ K o proprietário do call não vai querer exercer a opção de compra que o contrato possibilita, mas não obriga, e deixará o contrato expirar sem valor.

Assim o valor do call na data em que o contrato expira  o payo do call no tempo T  é dado por (S(T ) − K)+, onde

x+^ =

x; se x ≥ 0 , 0; caso contrário.

Ou seja, (x)+^ é a parte positiva, valendo zero caso x < 0. Note que quem adquire um call ganha quando o valor do ativo sobe. De forma análoga temos o put, um contrato onde se ganha na queda do valor do ativo.

12 CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ AO˜

Defini¸c˜ao 1.12: Put

Um put com strike K e tempo de expiração T baseado no ativo XPTO é um contrato que dá a opção de quem possui este contrato de, no momento T , vender o ativo XPTO pelo valor K. Assim se o ativo vale S(T ) no momento T , o payo do put é (K −S(T ))+.

Denimos agora alguns derivativos que são do tipo obrigações futuras (não são op- ções).

Defini¸c˜ao 1.13: Futuros

Futuros são derivativos que obrigam ao pagamento de certo valor pré-determinado por um ativo em certa data. O payo é S(T ) − K, com uma parte obrigada a pagar a outra dependendo do valor relativo.

Defini¸c˜ao 1.14: Swaps

Swaps são derivativos em que durante a vigência do contrato, diariamente (ou sema- nalmente, etc.) troca-se um valor xo por um variável baseado no valor de um ativo, gerando a obrigação de uma parte pagar para outra a diferença entre os valores. A ideia é trocar a incerteza do valor do câmbio ou juros, por exemplo, ao longo do tempo de vigência do contrato por um valor xo K e ser recompensado pela perda ou compensar a outra parte. Os mais comuns são o swap cambial e o swap de juros, que permite a uma parte ter assegurada uma taxa de câmbio ou juros xa. É oferecido pelo Banco Cen- tral do Brasil frequentemente para conter movimentos grandes no valor do dólar frente ao real.

Por serem comuns, calls e puts são conhecidos como vanilla options pois baunilha é o sabor mais comum de sorvete em lanchonetes. São amplamente negociados nos mercados, incluindo o brasileiro, sendo fácil encontrar a cotação para diversos strikes e datas de ven- cimento para ações de grandes empresas como a Petrobras. Focamos agora em Tipos de Opções:

• call: payo do tipo ( S˜ − K)+, onde S˜ = S(T ) ou alguma função (média) de S(t).
• put: payo do tipo (K − S˜)+, onde S˜ como denida acima.
• americanos: podem ser exercidos a qualquer momento antes do tempo nal.
• europeus: somente podem ser exercidos no tempo nal.
• vanilla (baunilha): calls e puts europeus.
• bermudianos: podem ser exercidos em datas pré-determinadas antes do tempo nal. Um exemplo é uma opção que pode ser exercida a cada 15 dias até o m do contrato. Está entre o europeu, que permite execução somente ao nal, e a ameri- cana, que permite execução a qualquer momento. De fato as (ilhas) Bermudas estão, geogracamente, entre EUA e Europa.