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Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica - IMECC
Geometria Hiperb´olica: uma proposta
para o desenvolvimento de atividades
utilizando o software livre NonEuclid
Armando Staib
[email protected] Disserta¸c˜ao de Mestrado
Orientador: Prof. Dr. Edson Agustini - UFU
Novembro de 2010
Campinas - SP
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Agradecimentos
A Deus por mais esta gra¸ca alcan¸cada. A minha esposa por compartilhar de todos os momentos em minha vida. Aos meus filhos: Leonardo, Frederico e Lu´ısa. Amigos que me deram muito incentivo e apoio. A minha linda netinha Sofia que deu um upgrade na vida do vovˆo. Ao meu orientador professor Dr Edson Agustini que desde o primeiro contato, su- geriu e opinou, contribuindo para a concretiza¸c˜ao deste trabalho, disponibilizando seu precioso tempo para a confec¸c˜ao dessa disserta¸c˜ao. Sou muito grato. Ao corpo docente do IMECC que nos embeveceram com suas excelentes aulas. Aos amigos da Cadeira de Matem´atica: Cel Malebranche, Cel Daltro, Cel Ber- nardelli, Ten Cel Cipriano, Maj Cleidinei, Cap Denilson e Cap T´ulio. Por terem me proporcionado as condi¸c˜oes para a execu¸c˜ao deste trabalho. Ao Comando da Academia Militar das Agulhas Negras, pela oportunidade. Aos colegas do mestrado pela convivˆencia enriquecedora durante nosso curso. Ao Cel T´ercio da AMAN e `a Profa. Dra. Sueli da UNICAMP por terem tornado poss´ıvel um de meus sonhos, ser Mestre em Matem´atica. Obrigado.
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As abelhas... em virtude de uma certa intui¸c˜ao geom´etrica... sabem que o hex´agono ´e maior que o quadrado e o triˆangulo, e conter´a mais mel com o mesmo gasto de material. Papus de Alexandria
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Abstract
This work deals with the teaching of Euclidian and Hyperbolic Geometry using software in the Dynamic Geometry area, especially the software by the name of “No- nEuclid”. The objective of this work is to be a proposal for activities in Hyperbolic Geometry using this software. The computer introduces a dynamic diversity to the study, allowing students to examine, investigate and conjecture in this area. The plane figures can be manipulated and processed in different ways while maintaining their geometric properties. We can prepare some activities in Hyperbolic Geometry using the software NonEuclid for graduate students in mathematics and related activities that we also both geometries. Future teachers need to know more than material they present to their students, the use of Dynamic Geometry software contributes to the gra- dual evolution of learning of geometry, both Euclidean and Hyperbolic. This increases the students’ abilities to visualize and experiment and therefore their understanding of geometric properties. ( Keywords:) Hyperbolic Geometry; Dynamic Geometry; Euclidean Geometry; Soft- ware NonEuclid.
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Lista de Figuras
- 1.1 Her´odoto - Historiador grego.
- 1.2 Euclides de Alexandria - Geˆometra.
- 1.3 Folha de rosto da primeira vers˜ao inglesa de Os Elementos.
- 1.4 O Quinto Postulado: duas retas cortadas por uma terceira.
- 1.5 Axioma de Pasch.
- 1.6 Reta paralela por Playfair.
- 1.7 Possidˆonio.
- 1.8 Claudio Ptolomeu.
- 1.9 Demonstra¸c˜ao de Ptolomeu para o Quinto Postulado.
- 1.10 Proclus.
- 1.11 Nasiredin.
- 1.12 Axioma de Nasir.
- 1.13 Quadril´atero usado por Nasir.
- 1.14 John Wallis.
- 1.15 Tentativa de demonstra¸c˜ao do Quinto Postulado por Wallis.
- 1.16 Quadril´atero de Saccheri.
- 1.17 John Playfair e G.S. Klugel.
- 1.18 Johann Heinrich Lambert.
- 1.19 Quadril´atero de Lambert.
- 1.20 Adrien Marie Legendre.
- 1.21 Carl Friedrich Gauss.
- 1.22 Johann (Janos) Bolyai.
- 1.23 Nicolai Ivanovich Lobachevsky.
- 1.24 Eugenio Beltrami.
- 1.25 Pseudo-esfera: superf´ıcie de curvatura gaussiana constante negativa.
- 1.26 Esfera com c´ırculo m´aximo. xvi LISTA DE FIGURAS
- 1.27 Felix Christian Klein.
- 1.28 O modelo plano de Klein.
- 1.29 Jules Henri Poincar´e.
- 1.30 Modelo de Disco de Poincar´e.
- 1.31 Modelo do semiplano de Poincar´e.
- 1.32 David Hilbert.
- 1.33 Triˆangulo equil´atero.
- 2.1 Esquema dos axiomas.
- 2.2 Figura de apoio ao Axioma II
- 2.3 Segmento AB.
- 2.4 Triˆangulo ABC.
- 2.5 semirreta SAB
- 2.6 Apoio ao Axioma II
- 2.7 Angulo de v´ˆ ertice V
- 2.8 Angulo raso. .ˆ
- 2.9 Medi¸c˜ao de ˆangulo com um transferidor.
- 2.10 Apoio ao Axioma III
- 2.11 Os ˆangulos B OAˆ e A OCˆ s˜ao suplementares.
- 2.12 Angulos complementares na Geometria Euclidiana.ˆ
- 2.13 Angulos opostos pelo v´ˆ ertice.
- 2.14 Retas perpendiculares no plano euclidiano.
- 2.15 Figuras planas congruentes.
- 2.16 Triˆangulos congruentes.
- 2.17 Apoio ao Axioma IV.
- 2.18 Triˆangulo is´osceles.
- 2.19 Apoio ao caso ALA.
- 2.20 Mediana relativa ao lado BC de um triˆangulo.
- 2.21 Bissetriz relativa ao lado BC de um triˆangulo.
- 2.22 Altura relativa ao lado BC de um triˆangulo.
- 2.23 Apoio a Proposi¸c˜ao 2.10. LISTA DE FIGURAS xvii
- 2.24 Apoio a Proposi¸c˜ao 2.11.
- 2.25 Apoio a Proposi¸c˜ao 2.12.
- 2.26 Apoio a Proposi¸c˜ao 2.13.
- 2.27 Apoio ao Exerc´ıcio 2.5.
- 2.28 Angulo externo de um triˆˆ angulo.
- 2.29 Apoio `a demonstra¸c˜ao do Teorema do Angulo Externo.ˆ
- 2.30 Apoio ao Corol´ario 2.3.
- 2.31 Apoio a Proposi¸c˜ao 2.16.
- 2.32 Apoio `a Proposi¸c˜ao 2.17.
- 2.33 Apoio `a Proposi¸c˜ao 2.18
- 2.34 Apoio `a Proposi¸c˜ao 2.19.
- 2.35 Triˆangulo retˆangulo.
- 2.36 Apoio `a Proposi¸c˜ao 2.20.
- 2.37 Apoio `a Proposi¸c˜ao 2.21.
- 2.38 Apoio `a demonstra¸c˜ao (iii).
- 3.1 Conte´udo do menu Help do NonEuclid.
- 3.2 A janela principal do NonEuclid.
- 3.3 Os modelos hiperb´olicos suportados pelo NonEuclid.
- 3.4 A Caixa de Descri¸c˜ao do Comando Ativo. No exemplo MOVE POINT.
- 3.5 Caixa de Informa¸c˜ao das Medidas.
- 3.6 O menu principal do NonEuclid.
- 3.7 Menu File.
- 3.8 Menu Edit.
- 3.9 Menu View.
- 3.10 Menu Constructions.
- 3.11 Os pontos A, B, C, D e E.
- 3.12 O ponto C ´e ponto m´edio de AB.
- 3.13 Os pontos F e E s˜ao pontos de interse¸c˜ao da reta com a circunferˆencia.
- 3.14 O ponto C pertence ao segmento AB.
- 3.15 Segmento AB. xviii LISTA DE FIGURAS
- 3.16 semirreta CD.
- 3.17 A reta CD.
- 3.18 O segmento BA ´e perpendicular `a reta CD.
- 3.19 C´ırculo de centro A e raio de medida AB.
- 3.20 A bissetriz AD do ˆangulo B ACˆ
- 3.21 O ponto D ´e a reflex˜ao do ponto C com rela¸c˜ao `a reta AB.
- 3.22 Os segmentos AB e CD possuem uma unidade de comprimento.
- 3.23 O ˆangulo B ACˆ mede 45o.
- 3.24 Menu Measurements.
- 3.25 Coordenadas polares dos pontos A, B e C.
- 3.26 Medida da distˆancia entre os pontos A e B.
- 3.27 Medida do ˆangulo A BCˆ
- 3.28 As medidas do triˆangulo ABC.
- 3.29 Menu Gallery.
- 3.30 Apoio ao Exerc´ıcio (19).
- 3.31 Contra-exemplo de (01) na Geometria Hiperb´olica
- 4.1 Potˆencia de ponto.
- 4.2 Generaliza¸c˜ao da potˆencia de ponto.
- 4.3 Inverso de um ponto.
- 4.4 Inverso de P exterior `a circunferˆencia.
- 4.5 Inverso de P interior `a circunferˆencia.
- 4.6 Circunferˆencias ortogonais.
- 4.7 Apoio `a Proposi¸c˜ao 4.2.
- 4.8 Apoio `a Proposi¸c˜ao 4.2.
- 4.9 Apoio `a Proposi¸c˜ao 4.3.
- 4.10 Os pontos do plano hiperb´olico.
- 4.11 As retas do plano hiperb´olico.
- 4.12 Angulos entre duas semirretas hiperb´ˆ olicas.
- 4.13 Comprimento hiperb´olico do segmento T U
- 4.14 Constru¸c˜ao de reta, semirreta ou segmento. LISTA DE FIGURAS xix
- 4.15 Constru¸c˜ao de reta perpendicular com ponto na reta.
- 4.16 Constru¸c˜ao de reta perpendicular por um ponto fora da reta.
- 4.17 Constru¸c˜ao de reta bissetriz.
- 4.18 Constru¸c˜ao do ponto m´edio.
- 4.19 Constru¸c˜ao da circunferˆencia Hiperb´olica.
- dada. 4.20 Constru¸c˜ao do reflexo de um segmento em rela¸c˜ao `a uma reta hiperb´olica
- 5.1 Axioma V.
- 5.2 Infinitas paralelas a uma reta dada.
- 5.3 Apoio para a demonstra¸c˜ao de infinitas retas paralelas.
- 5.4 Apoio `a Proposi¸c˜ao 5.2.
- 5.5 Apoio `a Proposi¸c˜ao 5.4. As retas AB e CD s˜ao hiperparalelas.
- 5.6 Os triˆangulos P QΩ, AΩ 1 Ω 2 e Ω 3 Ω 4 Ω 5 , s˜ao triˆangulos generalizados.
- 5.7 Apoio `a Proposi¸c˜ao 5.5.
- 5.8 Reta r intersectando AΩ ou BΩ.
- 5.9 Reta r intersectando AB.
- 5.10 O ponto D no exterior de ABΩ.
- 5.11 O ponto D sobre a semirreta BΩ.
- 5.12 Apoio ao 1o Caso de Congruˆencia de Triˆangulos Generalizados.
- 5.13 Apoio ao 2o Caso de Congruˆencia de Triˆangulos Generalizados.
- 5.14 Apoio ao 3o Caso de Congruˆencia de Triˆangulos Generalizados.
- ˆangulo-ˆangulo). 5.15 Apoio a demonstra¸c˜ao de triˆangulos congruentes caso AAA (ˆangulo-
- 5.16 Apoio a demonstra¸c˜ao, AE > AC.
- 5.17 Fun¸c˜ao Angulo de Paralelismo .ˆ
- 5.18 Extens˜ao da Fun¸c˜ao Angulo de Paralelismo .ˆ
- 5.19 Constru¸c˜ao de triˆangulo retˆangulo
- 5.20 Lado a
- 5.21 Lado b
