Lógica Matemática, Manuais, Projetos, Pesquisas de Pesquisas Operacionais

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FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 1 SUMÁRIO

LÓGICA MATEMÁTICA

2 SUMÁRIO Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD

A Faculdade Multivix está presente de norte a sul do Estado do Espírito Santo, com unidades em Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. Desde 1999 atua no mercado capixaba, des- tacando-se pela oferta de cursos de gradua- ção, técnico, pós-graduação e extensão, com qualidade nas quatro áreas do conhecimen- to: Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, sem- pre primando pela qualidade de seu ensino e pela formação de profissionais com cons- ciência cidadã para o mercado de trabalho. Atualmente, a Multivix está entre o seleto grupo de Instituições de Ensino Superior que possuem conceito de excelência junto ao Ministério da Educação (MEC). Das 2109 institui- ções avaliadas no Brasil, apenas 15% conquistaram notas 4 e 5, que são consideradas conceitos de excelência em ensino. Estes resultados acadêmicos colocam todas as unidades da Multivix entre as melhores do Estado do Espírito Santo e entre as 50 melhores do país.

MISSÃO Formar profissionais com consciência cida- dã para o mercado de trabalho, com ele- vado padrão de qualidade, sempre mantendo a credibilidade, segurança e modernidade, visando à satisfação dos clientes e colaboradores.

VISÃO Ser uma Instituição de Ensino Superior reconheci- da nacionalmente como referência em qualidade educacional.

GRUPO

MULTIVIX

4 SUMÁRIO Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD

Aluno (a) Multivix, Estamos muito felizes por você agora fazer parte do maior grupo educacional de Ensino Superior do Espírito Santo e principalmente por ter escolhido a Multivix para fazer parte da sua trajetória profissional. A Faculdade Multivix possui unidades em Cachoei- ro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. Desde 1999, no mercado capixaba, destaca-se pela oferta de cursos de graduação, pós-graduação e extensão de qualidade nas quatro áreas do conhecimento: Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, tanto na mo- dalidade presencial quanto a distância. Além da qualidade de ensino já comprova- da pelo MEC, que coloca todas as unidades do Grupo Multivix como parte do seleto grupo das Instituições de Ensino Superior de excelência no Brasil, contando com sete unidades do Grupo en- tre as 100 melhores do País, a Multivix preocupa- se bastante com o contexto da realidade local e com o desenvolvimento do país. E para isso, pro- cura fazer a sua parte, investindo em projetos so- ciais, ambientais e na promoção de oportunida- des para os que sonham em fazer uma faculdade de qualidade mas que precisam superar alguns obstáculos. Buscamos a cada dia cumprir nossa missão que é: “Formar profissionais com consciência cidadã para o mercado de trabalho, com elevado padrão de quali- dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança e modernidade, visando à satisfação dos clientes e colaboradores.” Entendemos que a educação de qualidade sempre foi a melhor resposta para um país crescer. Para a Multivix, educar é mais que ensinar. É transformar o mundo à sua volta. Seja bem-vindo!

APRESENTAÇÃO

DA DIREÇÃO

EXECUTIVA

Prof. Tadeu Antônio de Oliveira Penina Diretor Executivo do Grupo Multivix

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Bem-vindos à disciplina de Lógica Matemática na qual iremos estudar os princípios lógicos utilizados na matemática. O principal objetivo será a aquisição dos principais conceitos lógicos inerentes à matemáti- ca, para posteriormente realizar sua utilização ao longo do curso de Matemática da Faculdade Multivix Ensino a Distância.

Para que seu estudo se torne proveitoso e prazeroso, esta disciplina foi organizada em 06 unidades, com temas e subtemas que, por sua vez, são subdivididos em tópicos, atendendo aos objetivos do processo de ensino-aprendizagem.

De forma geral na disciplina Lógica Matemática, que trata sobre a inerente utilização da lógica como base dos estudos matemáticos, procuraremos compreender seus principais conceitos e utilização. Des- creveremos o que são conjuntos, principalmente os conjuntos numéricos e quais as relações existentes entre diferentes conjuntos e seus elementos. Detalharemos os estudos de funções, suas propriedades e representações gráficas, além dos estudos de proposições lógicas. Ao longo da disciplina lógica máte- mática, promoveremos uma discussão partindo a contextualização de situações reais as quais os tópicos podem ser aplicados, destacando situações práticas do dia a dia, para assim realizar um bom curso.

Esperamos que, até o final da disciplina vocês possam:

• Ampliar a compreensão sobre interpretação lógica matemática;
• Conhecer os conceitos e propriedades das funções e dos conjuntos numéricos;
• Compreender a importância do uso de argumentos lógicos na resolução de problemas.

Para tanto, fiquem atentos aos conteúdos disponíveis nesse material e nas outras plataformas de conhe- cimento ofertados pela Faculdade Multivix Ensino a Distância.

Porém, antes de iniciar a leitura, gostaríamos que vocês parassem um instante para refletir sobre al- gumas questões tais como: se o prefeito de uma cidade afirmasse que nenhum serviço público de sua cidade possui déficit de funcionarios, e você como usuário dos serviços da cidade e se deparasse com uma situação que contráriasse a afirmação do prefeito, poderia afirma que “A quantidade de funcioná-

SUMÁRIO

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• FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
• UNIDADE SUMÁRIO
• UNIDADE 1 1 CONJUNTOS - 1.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE - 1.2 CONJUNTOS - 1.2.1 TIPOS DE CONJUNTO - 1.2.2 CONJUNTOS NUMÉRICOS - 1.2.3 ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS - 1.2.4 PRODUTO CARTESIANO - 2 UNIDADE 02 – RELAÇÕES - 2.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE - 2.2 RELAÇÕES - 2.2.1 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA - 3 FUNÇÕES - 3.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE - 3.2 FUNÇÕES - 3.2.1 LEI Y = F(X) - DE UM GRÁFICO 3.2.2 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ATRAVÉS - 3.2.3 ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO - 3.2.4 ANÁLISE GRÁFICA - CONSTANTE, CRESCENTE E DECRESCENTE 3.2.5 RAIZ DE UMA FUNÇÃO E FUNÇÕES - 4 PROPOSIÇÕES - 4.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE - 4.2 PROPOSIÇÃO - 4.2.1 PRINCÍPIOS BÁSICOS DAS PROPOSIÇÕES - 4.2.2 NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO - 4.2.3 PROPOSIÇÃO SIMPLES E COMPOSTA - 4.2.4 CONECTIVOS - 4.2.5 PADRONIZAÇÃO
• UNIDADE
• UNIDADE
• UNIDADE SUMÁRIO Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD
  • 5 TABELA-VERDADE
  • 5.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE
  • 5.2 TABELA-VERDADE
  • 5.2.1 TABELA-VERDADE – CONJUNÇÃO
  • 5.2.2 TABELA-VERDADE – DISJUNÇÃO INCLUSIVA
  • 5.2.3 TABELA-VERDADE – DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
  • 5.2.4 TABELA-VERDADE – CONDICIONAL
  • 5.2.5 TABELA-VERDADE – BICONDICIONAL
  • 5.2.6 NEGAÇÃO
  • 5.2.7 TAUTOLOGIA
  • 5.2.8 CONTRADIÇÃO
  • 5.2.9 LEIS DE DE MORGAN
    • 0 NEGAÇÃO CONDICIONAL
  • 6 LÓGICA DEDUTIVA
  • 6.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE
  • 6.2 LÓGICA DEDUTIVA
  • 6.2.1 TERMO E PREDICADO
  • 6.2.2 QUANTIFICADORES
  • 6.2.3 DOMÍNIO DE INTERPRETAÇÃO
  • REFERÊNCIA
• UNIDADE

10 SUMÁRIO Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD

OBJETIVO

Ao final dessa

unidade o aluno

será capaz de:

Avaliar as diferentes

formas de representar um conjunto numérico;

Relacionar matemáticamente diferentes conjuntos;

Absorver os conteúdos existentes nessa unidade para utilização nas unidades seguites.

UNIDADE 1

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1 CONJUNTOS

1.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE

Nesta unidade iremos aprender sobre um dos princípios básicos na matemática que é o de conjuntos, além dos principais conceitos e representações que permeiam essa área que serve como ponto de par- tida para os próximos conteúdos dessa disciplina.

1.2 CONJUNTOS

A matemática é uma ciência cuja representação numérica acompanhou sua evolução ao longo dos anos, de forma que a grande maioria das representações matemáticas são feitas por meio de números. Quan- do os números estão juntos e possuem alguma relação entre eles, estes formam conjuntos. Em outras palavras, conjunto nada mais é que um grupo ou uma coleção de itens. Na matemática nos referimos a estes itens como elementos os quais são representados por algarismos numéricos, formando assim conjuntos numéricos. Veja os exemplos a seguir.

{segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo} é um conjunto não numérico.

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} é um conjunto numérico.

é o conjunto dos números pares de 0 até o 14.

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1.2.1.1 CONJUNTO VAZIO

O conjunto vazio consiste naquele que não possui nenhum nenhum elemento, como seu próprio nome diz. Pode ser representado pelo símbolo Ø ou simplesmente na forma tradicional { }.

Exemplos:

a) A = {x │ x, onde x ∙ 0 = 1}

b) B = {y │ y é número par que não é divisível por 2}

1.2.1.2 CONJUNTO UNITÁRIO

O conjunto unitário como o próprio nome diz, é aquela que possui apenas um elemento, veja os exem- plos abaixo.

a. { 10 } b. A = {x │ x onde x = 1} c. B = {y │ y é seleção de futebol pentacampeã mundial}

1.2.1.3 CONJUNTO FINITO

O conjunto finito é aquele cuja quantidade de elementos pode ser quantificada, ou seja, existe uma quantidade finita de elementos dentro do conjunto. Exemplos:

a. a) A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} b. b) B = {x │ x é aluno da Faculdade Multivix} c. c) C = Ø

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1.2.1.4 CONJUNTO INFINITO

O conjunto infinito é aquele que, ao contrário do finito, possuí uma quantidade ilimitada de elementos, de forma que ao se realizar a contagem da quantidade de elementos essa contagem jamais terminaria.

d. A = {0 , 2 , 4, 6, 8, 10...} neste exemplo, A é o conjunto dos números pares positivos. a. B = {...-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} neste exemplo, B é o conjunto dos números inteiros.

1.2.1.5 SUBCONJUNTO

Denomina-se como subconjunto aquele conjunto o qual todos os seus elementos pertencem ao outro conjunto. Os exemplos abaixo deixam isso de forma mais clara.

a. A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5,6,7}, pode-se afirmar que A é subconjunto de B. Pode-se simbolizar como A ⊂ B (Lê-se A está contido em B), ou então B ⊂ A (lê-se B contém A) b. C = {a, e,i ,o ,u} e D = {x │ x é letra do alfabeto}, pode-se afirmar que C é subconjunto de D já que todos os seus elementos, neste caso as vogais, são letras do alfabeto e logo estão dentro do con- junto D. Podendo, como no exemplo anterior, simbolizar C ⊂ D ou D ⊂ C.

1.2.2 CONJUNTOS NUMÉRICOS

Na matemática existem diversos conjuntos numérios cuja utilização é bastante comum.

1.2.2.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

O conjunto dos números naturais é aquele composto por todos os números inteiros positivos, seu sim- bolo é o N.

N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11…}

Pode-se também fazer uso do conjunto dos números naturais não nulos, cuja simbologia acrescenta-se um asterísco (N*).

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1.2.2.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

Por último existe o conjunto que engloba os números racionais e irracionais. Seu símbolo é o.

1.2.2.6 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

O conjunto dos números complexos é composto por todos os números provenientes de raizes com expoentes pares de números negativos. Uma vez que esse tipo de resolução não é possível de ser realizada com o uso dos números reais, foi criado os números complexos pela inserção da letra i, de forma que i² = -1. Seu simbolo é.

A forma mais clara de verificar as relações existentes entre os diferentes conjuntos numéricos é pelo diagrama de Venn.

1.2.3 ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS

Os conjuntos podem ser submetidos a algumas interações algébricas.

1.2.3.1 UNIÃO DE CONJUNTOS

Defini-se como união de conjuntos quando soma-se os conjuntos pertencentes aos conjuntos em que se realiza a união. O simbolo da união é U. Logo temos: A U B ={x │x ⊂A ou x ⊂ B}.

={ a , b }

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Exemplo:

A = {0,2,4,6,8} e B = {1,3,5,7,9}, logo A U B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Uma das propriedades da união de conjuntos é que se temos C c A, logo C U A = A. Outra propriedade é que A U B = B U A uma vez que a ordem dos elementos não é importante dentro de um conjunto, as- sim como (A U B) U C = A U (B U C). No diagrama de Venn abaixo, a parte rachurada representa A U B.

1.2.3.2 INTERSEÇÃO DE CONJUNTO

Defini-se como intersecção entre conjuntos todos os elementos que pertençam aos conjuntos em questão. O simbolo da interseção é ∩. Logo temos:

A ∩ B ={x │x E A e x E B}

Exemplo:

A = {1,2,3,4,5} e B = {0,2,4,6,8}, logo A ∩ B = {2,4}

Nas propriedades da interseção de conjunto temos B c A, logo B ∩ A = B. Semelhante a propriedade da união, na interseção A ∩ B = B ∩ A e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). No diagrama abaixo a região rachurada corresponde a A ∩ B.

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As propriedades do complementar são:. Outra forma de se representar o complemento é através do uso de ‘ quando já se possui um universo fixado ou então pelo superescrito C, por exemplo (A∩B)C que seria o complemento da interseção de A e B.

1.2.4 PRODUTO CARTESIANO

O produto cartesiano é a relação entre todos os elementos de dois conjuntos, A e B, formando pares ordenados, (x,y), de modo que x E A e y E B. Representa-se da forma A X B.

A X B = {(x,y) │x E A e y E B}

Exemplo:

A = {1,2,3} B = {4,5,6}

A X B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}

A representação de produto cartesiano é feita por meio de gráficos cartesianos ou diagramas de venn. Veja o exemplo dessas representações nas figuras abaixo.

= Ø; =

20 SUMÁRIO Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD

OBJETIVO

Ao final dessa

unidade o aluno

será capaz de:

Gerar relações entre diferentes conjuntos;

Relacionar as diferentes propriedades de um conjunto com outro;

Absorver os conteúdos existentes nessa unidade para utilização nas unidades seguites.

UNIDADE 2