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Lugar das raizes UTFPR, lugar das raizes
Tipologia: Resumos
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Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala
Cristiano Quevedo Andrea^1
(^1) UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
Curitiba, Outubro de 2011.
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala
(^1) Introdução - Lugar das Raízes
(^2) Método do Lugar das Raízes (Root-Locus)
(^3) As Regras do Método do Lugar das Raízes
(^4) Exercício em Sala
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala
O princípio do método está baseado na realimentação mostrada a seguir:
U ( s ) K G ( s )^
Y ( s )
H ( s )
Método do Lugar das Raízes
Deseja-se determinar a influência do ganho K ( 0 < K < +∞) sobre os pólos do sistema em malha fechada. A função de transferência de malha fechada do sistema da figura acima é: Y ( s ) U ( s )
KG ( s ) 1 + KG ( s ) H ( s )
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala
O objetivo do método é estabelecer regras simples para traçar o lugar geométrico formado pelas raízes de 1 + G ( s ) H ( s ) quando K variar de 0 a +∞, sem o conhecimento explícito das raízes. Deseja-se estudar a seguinte equação:
1 + KG ( s ) H ( s ) = 0 , para 0 < K < +∞. (1) EXEMPLO Considere o seguinte sistema de controle,
U ( s ) Ka s ( s +^520 )
Y ( s )
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala
Variando-se o valor de Ka em (2), podemos montar a seguinte tabela.
Ka s 1 s 2 0 -20 0 1 -19,75 -0, 5 -18,66 -1, 10 -17,07 -2, 20 -10 - 30 − 10 + j 7 , 07 − 10 − j 7 , 07 40 − 10 + j 14 , 14 − 10 − j 14 , 14 → ∞ − 10 + j ∞ − 10 − j ∞
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
-20 0
Ka = 0 Ka = 0
Imag ( s )
Re ( s )
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
-20 0
Ka = 0 Ka = 0
Imag ( s )
Re ( s )
Ka = 1
Ka = 5
Ka = 5
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
-20 0
Ka = 0 Ka = 0
Imag ( s )
Re ( s )
Ka = 1
Ka = 5
Ka = 5
Ka = 10
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
-20 (^) -10^0
Ka = 0 Ka = 0
Imag ( s )
Re ( s )
Ka = 1
Ka = 5
Ka = 5
Ka = 10
Ka = 20
Ka = 30
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
-20 (^) -10^0
Ka = 0 Ka = 0
Imag ( s )
Re ( s )
Ka = 1
Ka = 5
Ka = 5
Ka = 10
Ka = 20
Ka = 30
Ka = 40
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala
Os ramos do root-locus começam nos pólos de G ( s ) H ( s ), nos quais K = 0. Os ramos terminam nos zeros de G ( s ) H ( s ), inclusive nos zeros no infinito. O número de zeros no infinito é igual a: Nz ∞ = Np − Nz sendo, Np : número de pólos de G ( s ) H ( s ) Nz : número de zeros de G ( s ) H ( s ) EXEMPLO Suponha que G ( s ) e H ( s ) são:
G ( s ) = s + 2 s^2
e H ( s ) = s + 5 s + 4
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala
As raízes de 1 + KG ( s ) H ( s ) serão determinadas por:
( s + 2 )( s + 5 ) s^2 ( s + 4 )
ou ainda,
s^2 ( s + 4 ) + K ( s + 2 )( s + 5 ) = 0 (3)
i) se K = 0, a equação acima ficará:
s^2 ( s + 4 ) = 0 s 1 = s 2 = 0 ; s 3 = − 4
Note que esses são os pólos de G ( s ) H ( s ).
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala
As regiões do eixo real à esquerda de um número ímpar de pólos mais zeros de KG ( s ) H ( s ) pertencem ao lugar das raízes. EXEMPLO Para os valores do exemplo anterior teremos,
KG ( s ) H ( s ) = K ( s + 2 )( s + 5 ) s^2 ( s + 4 ) ⇒ Os zeros são: s 1 = −2 e s 2 = − 5 ⇒ Os pólos são: p 1 = p 2 = 0 e p 3 = − 4
No plano imaginário os pólos são representados por ( x ) e os zeros por (◦).
Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) As Regras do Método do Lugar das Raízes Exercício em Sala
A aplicação da regra 2 neste caso será:
-5 -4 -3 -2^ -1^0
Imag ( s )
Re ( s )
