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Assunto da aula “adição de números relativos”
O público: cerca de 40 garotos de 11 a 12 anos.
Na classe, 5 fileiras de 8 carteiras.
No início da aula o professor pediu um pequeno deslocamento das carteiras para que a cada fileira correspondesse um corredor, como no esquema ao lado. Em seguida, pediu que uma reta numerada fos- se desenhada, com giz, no chão de cada corredor e nela se representassem os números de –10 a +10. O primeiro jogo que o professor ensinou foi o seguinte:
- Um aluno coloca-se na marca do “0”,
- Outro aluno dá uma instrução do tipo “ande – 3”, o aluno que estava no “0” anda até “ – 3”.
- Outro aluno vai para o “0”, a ordem “ande 5” faz com que ele se desloque até +5.
- Rapidamente todos aprenderam o jogo. A brincadeira seguinte envolvia 3 alunos de cada fileira (os outros controlavam) e consistia no seguinte:
- um 1 o^ aluno se colocava na marca do zero,
- um 2 o^ aluno dava as ordens,
A primeira atividade “concre- tiza” a noção de número ne- gativo e a operação de adi- ção com esses números. É interessante para ser propos- ta logo que os números ne- gativos forem introduzidos. A segunda pode ser propos- ta desde a 5 a^ série, como um desafio. Ao longo do ano pode-se propor aos es- tudantes que tragam novas soluções, discutam os casos mais difíceis...
Números
- um 3o^ aluno registrava no quadro negro, dividido em 5 colunas, o que esta- va sendo feito. O 2 o^ aluno dava ordens do tipo: “ande – 2 e depois ande – 4 e diga onde parou”.
O 1o^ aluno executava as ordens e dizia: “– 6”. O 3o^ aluno escrevia:
(–2) + (–4) = (–6). Isto era repetido:
“ande – 3, depois + 5 e diga onde parou” – resposta: +2 – registrava-se:
(–3) + (+5) = (+2) A brincadeira continuou bastante tempo, com envolvimento total da classe. (Disse-me o professor que, às vezes, dividia cada fileira em 2 times: um time dando as ordens, e o outro executando e registrando os resultados. Quando al- guém errava, os times trocavam de papel).
Uns 10 minutos antes de terminar a aula, o professor pediu silêncio, dizen- do que agora era a vez de ele entrar na brincadeira.Desenhou no quadro negro a reta numerada.
e perguntou à classe:
“Quanto é – 4 + 7?” Foi muito interessante observar o movimento que os garotos faziam com os dedos:
e o grito: +3.
Disse-me o professor que nas aulas seguintes sempre desenhava a reta numerada no quadro negro mas, cada vez menos alunos precisavam mover o dedo para chegar ao resultado de uma adição. Aparentemente, os alunos vão percebendo como efetuar as adições, sem que jamais o professor preci- se dar a receita: “sinais iguais, soma e dá o sinal comum; sinais diferentes...”
Como e quando osComo e quando os Como e quando osComo e quando osComo e quando os
alunos utilizamalunos utilizamalunos utilizamalunos utilizamalunos utilizam
o conceito deo conceito deo conceito deo conceito deo conceito de
proporcionalidadeproporcionalidadeproporcionalidadeproporcionalidadeproporcionalidade
A seguir temos o relato de uma experiência rea-
lizada com alunos da 7a^ série trabalhando a noção de proporção e apresentando as dúvidas, inter- pretações e modos de resolver que ocorreram aos alunos envolvidos. A proporcionalidade é um dos conceitos matemáticos mais presentes na vida, todas as pessoas passam por experiências que possibilitam o contacto com algumas noções des- se conceito ou, pelo menos, a constatação da não aquisição de tais noções. A partir da observação de medidas de grande- zas proporcionais, que variam em situações do quotidiano dos alunos, o grupo do Setor Matemá- tico do Projeto Fundão acredita que o conceito de proporcionalidade pode ser construído. O trabalho dessa equipe envolve atividades com escala, receitas, merenda e outras coisas, ba- seadas na vida real, todas orientadas no sentido de levar o aluno a detectar os dados do problema e organizá-los, de preferência em tabelas, para melhor observar suas relações. A experiência foi feita com turmas da 7a^ série do ensino fundamental (12 a 14 anos).
Lúcia A. de A. Tinoco
Um primeiro exemplo de tais atividades
Entregar a cada aluno uma folha em branco a ser colocada num certo canto da carteira.
Entregar outra folha na qual estejam desenhadas quatro figuras: A, B, C e D (ver Figura abaixo). Destas, apenas duas, B e D , representam o tampo da carteira com a folha no canto, em escalas, por exemplo, de 1/5 e 1/10. Na primeira, A, a folha está com as dimensões proporcionais às da real, mas a carteira não; e na terceira, C, a carteira está reduzida corretamente, mas a folha não.
Discutir com os alunos as respostas a perguntas do tipo: qual (is) das figu- ras poderia(m) ser uma fotografia da carteira com a folha? Por quê?
A partir de respostas (em geral corretas), como “a segunda, porque, nessa outra, a folha está muito comprida” e outras, os alunos passam a medir todas as dimensões da figura real e dos desenhos. De início, essas medidas são anotadas sem qualquer ordem e, aos poucos, os alunos sentem a necessidade de alguma organização. Se for preciso, o professor sugere a utilização de tabelas. A partir daí, concluem que:
1 o^ ) quando há proporcionalidade, toda vez que um número de uma situação fica multiplicado (ou dividido) por um número c , o correspondente da outra situação também fica multiplicado (ou dividido) por esse número c ;
2 o^ ) a razão entre cada par de números correspondentes nas duas situações é sempre constante.
O raciocínio multiplicativo, necessário à construção da proporcionali- dade, só é adquirido pelos alunos a partir de muitas experiências, as mais variadas possíveis, desde que iniciando por situações que envolvam fatores simples (o dobro, a metade, ...).
Por exemplo, na primeira tabela, a 2 a^ linha será obtida da 1 a^ , por meio da multiplicação por 2, bem como a 3 a^ linha, por meio da divisão da 1 a^ por 2.
Além dos fatores envolvidos, o tipo de números que aparecem nos dados ou nos resultados influi decisivamente no desempenho dos alunos. Ainda ob- servando a primeira tabela, a dificuldade na 4 a^ linha surge, não porque envol- va fatores complicados (ela pode ser obtida da 3a^ por redução à metade), mas porque a resposta é um número fracionário (3/2 ou 1,5).
Modelo aditivo (^) ✕✕✕✕✕ modelo multiplicativo
Embora reconhecendo que a decomposição dos dados em parcelas e a utilização de multiplicações por fatores bem simples é suficiente para os alunos resolverem a grande maioria dos problemas a eles apresentados, deparamo-nos com duas questões, a saber:
(a) Os alunos, que resolvem os problemas de proporcionalidade pelo modelo aditivo (decomposição em parcelas), sabem por que podem fazer isso?
(b) É aconselhável levar esses alunos a resolver tais problemas pelo reconhecimento da igualdade de duas razões?
A esse respeito, relataremos, a título de exemplo, entrevista feita com aluna da 7 a^ série, ao final do estudo do tópico de proporções.
Ressaltamos a importância do método de entrevista para melhor conhe- cer o raciocínio do estudante, mas lembramos que o exemplo aqui apresenta- do não deve ser encarado como um modelo a ser repetido. Outros alunos darão outras respostas e outras respostas exigem novas perguntas.
E: entrevistador. A: aluna.
E – Resolva esse problema:
Numa creche, 4 litros de leite dão para preparar 22 mamadeiras iguais. Quantas mamadeiras iguais a essas poderão ser preparadas com 10 litros de leite?
A dificuldade essencial, nesse caso, é reconhecer 10 como um múltiplo de 4: muitos alunos acreditam que não existe um número que multiplicado por 4 dê 10.
Tal dificuldade é contornada pelo uso do modelo aditivo.
A :
55 mamadeiras
E – Explique o que você fez.
A – Se 4 litros dão 22 mamadeiras, 4 + 4 = 8 dão 22 + 22 = 44 e 2 dão 11 mamadeiras, logo, 10 litros dão 55 mamadeiras.
E – Por que você fez assim?
A – Porque é mais fácil.
E – É sempre possível resolver assim?
A – Depende do problema.
Para refletir sobre a questão, o entrevistador apresenta à aluna outro problema.
Com 24 metros de brim, podem-se fazer 16 calças iguais. Quantas cal- ças iguais a essas podem-se fazer com 15 metros do mesmo tecido?
A – No primeiro, eu multipliquei, e agora, de 24 para 15 não posso multiplicar. Então a resposta é 7.
E – O que voce fez?
A – 24 menos 16 dá 8. Então diminuí 8 de 15.
E – Observe o outro problema:
Com 24 metros de brim, podem-se fazer 8 calças iguais. Quantas cal- ças iguais a essas podem-se fazer com 12 metros do mesmo tecido?
E – As calças são iguais?
A – São.
E – Posso escrever um igual ao outro?
A – Pode.
E: =.
Agora você pode resolver.
A (demonstrando dificuldade no produto “em cruz”):
24 x = 16 ✕ 25
Conclusões
As dificuldades apontadas inicialmente são reais. Não se deve impor a solução dos problemas de proporcionalidade di- reta pela igualdade de duas razões; a solução pela decomposição em par- celas é válida (como outras não analisadas aqui).
O importante é que, ao utilizar qualquer método, o aluno saiba por que pode utilizá-lo.
É importante que o aluno saiba que existe a solução mais econômica da proporção, para que possa optar por ela, se julgar necessário.
A pesar de a “regra de três composta” ser tratada
em textos didáticos e já ter sido discutida em vários números da RPM , nossos leitores continuam con- sultando-nos a respeito de problemas envolvendo proporcionalidade, como os problemas A e B abai- xo. Há vários modos de resolver esses problemas e cada autor, bem como cada professor, acha, é claro, que o “seu jeito” é o melhor. Voltamos ao tema, apre- sentando duas soluções alternativas para cada um dos problemas A e B , consideradas, é claro, como as “melhores” pelos seus autores.
Problema A 21 pintores, trabalhando 8 horas por dia, pin- tam um edifício em 6 dias. Nas mesmas condi- ções, quantos dias serão necessários para que 9 pintores, trabalhando 7 horas por dia, pintem o mes- mo edifício?
Resolução 1 Sempre é possível resolver esse tipo de pro- blema com a chamada “redução à unidade”, que consiste no seguinte: 21 pintores, trabalhando 8 horas por dia, pintam o edifício em 6 dias;
Os problemas sugeri- dos aqui trabalham o raciocínio do aluno para que ele apreenda a idéia que está por trás da regra de três. É inte- ressante propor os problemas e discutir di- ferentes formas de solucioná-los.
Regra de três
composta
Resolução 1 Novamente, é possível resolver esse problema com a chamada “redu- ção à unidade”:
10 máquinas 6 horas por dia 60 dias 90 000 peças
1 máquina 6 horas por dia 60 dias 9 000 peças
1 máquina 1 hora por dia 60 dias peças
1 máquina hora por dia 1 dia = 25 peças
12 máquinas 1 hora por dia 1 dia 12 ✕ 25 = 300 peças
12 máquinas 8 horas por dia 1 dia 8 ✕ 300 = 2 400 peças
Então, 12 máquinas, trabalhando 8 horas por dia, fazem 2 400 peças. Logo, para produzir 192 000 peças serão necessários
dias.
Resolução 2 Montando uma equação algébrica que exprime a dependência entre as variáveis envolvidas no problema:
Sejam m o número de máquinas, h o número de horas de funcionamento por dia, d o número de dias, e p o número de peças produzidas.
Se k é o número de peças que cada máquina produz por hora, temos:
p = k ✕ m ✕ h ✕ d
ou
VOCÊ SABE POR QUE FUNCIONA?
Considere os exemplos abaixo:
867 86 – 9 ✕ 7 = 23
23 não é divisível por 13, logo 867 também não.
36 546 3 654 – 9 ✕ 6 = 351 0 351 – 9 ✕ 0 = 35 1 35 – 9 ✕ 1 = 26 23 é divisível por 13, logo 36 546 também é.
8 281 828 – 9 ✕ 1 = 81 9 81 – 9 ✕ 9 = 0
0 é divisível por 13, logo 8 281 também é.
77 741 7 774 – 9 ✕ 1 = 7 76 5 776 – 9 ✕ 5 = 73 1 73 – 9 ✕ 1 = 64 64 não é divisível por 13, logo 77 741 também não.
Que regra os exemplos sugerem? Como provar que é verdadeira ou não?
Substituindo na equação obtida as duas seqüências de valores dadas no problema, temos:
de onde
264 = 1,84467440737 ✕ 1019 = 18 446 744 073 700 000 000. Na realidade, isso é uma aproximação do verdadeiro resultado, dada a impossibilidade de a cal- culadora exibir todos os 20 algarismos desse número inteiro. Temos que nos precaver ainda contra o fato de que o último 7 pode não ser exato; ele pode ter sido aproximado para cima. (Por exemplo, se você preparar sua calcu- ladora para trabalhar com 4 dígitos no visor, ela vai dar: 264 = 1,845 ✕ 1019. Alguém poderia erradamente concluir que o quarto algarismo de 2^64 é 5, quan- do na realidade é 4, que foi aproximado para 5 porque o seguinte era 6 ≥ 5.) Portanto, o que sabemos mesmo é que 2^64 = 1,84467440737 xxx xxx xxx.. Nosso objetivo é descobrir quais são os 9 últimos algarismos desse número, sendo o primeiro deles igual a 6 ou 7.
Uma forma de proceder é a seguinte. A calculadora com 12 dígitos no visor consegue exibir todos os algarismos de
Denotando-se a = 42 949 e b = 67 296, tem-se:
2 64 = (2^32 )^2 = ( a ✕ 105 + b )^2 = a^2 ✕ 1010 + 2 ab ✕ 10 5 + b^2.
A primeira parcela é um inteiro terminado em 10 zeros e, portanto, não vai influir nos últimos 9 algarismos da soma. Os números 2 ab e b^2 podem ser calculados na calculadora, obtendo-se 2 ab ✕ 10 5 + b^2 = = 578 059 180 800 000 + 4 528 751 616. Neste ponto, não adianta fazer essa soma na calculadora, porque a primeira parcela não cabe no visor. Como porém estamos interessados apenas nos 9 últimos algarismos des- se número, fazemos: 180 800 000 + 528 751 616 = 709 551 616. Conclui- se finalmente que 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616. A propósito de exercícios, o leitor pode experimentar outras maneiras de decompor 2^32 em parcelas. Verá que algumas funcionam melhor que outras. Por exemplo, na decomposição 2^32 = 429 ✕ 107 + 4 967 296, o quadrado da segunda parcela não caberá no visor. O que acontece, se só dispusermos de uma calculadora “do feirante”, com apenas 8 dígitos no visor? Neste caso, já 2^32 não cabe no visor, apare- cendo 42,949672 e 4,2949672 ✕ 109. Em primeiro lugar, deve ser lembrado que é perfeitamente possível calcu- lar rapidamente potências nesse tipo de calculadora. Em seguida, pode-se usar um procedimento análogo ao precedente, partindo de 2^16 = 65 536, para determinar os 3 algarismos de 2 32 = 4 294967 xxx.
Por exemplo: 2^32 = (2^16 )^2 = (65 ✕ 103 + 536)^2 = 4 225 ✕ 106 + 69 680 ´ 10^3 + 287 296. Aqui, a primeira parcela termina em 6 zeros e a segunda, em 4 zeros. De modo que os 3 últimos algarismos de 2^32 são 296 e, portanto, 2^32 = 4 294 967 296.
Na calculadora de 8 dígitos no visor, o número 2 64 aparece como
1,8446744 ✕ 1019 = 18 446 74x xxx xxx xxx xxx,
e precisamos descobrir seus 13 últimos algarismos. Agora, não adianta de- compor 2^32 como feito anteriormente, pois aparecerão números com mais de 8 algarismos.
Um caminho promissor é decompor 2^32 em 3 parcelas convenientemente escolhidas e, em seguida, utilizar a fórmula
( a + b + c ) 2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc. Assim:
2 64 = (2 32 ) 2 = (4 294 ✕ 10 6 + 967 ✕ 10 3 + 296) 2. Agora, a calculadora permite calcular:
4 294 ✕ 1012 = 18 438 436 000 000 000 000 2 ✕ 4 294 ✕ 967 ✕ 10 9 = 8 304 596 000 000 000 (967 2 + 2 ✕ 294 ✕ 296) ✕ 106 = 3 477 137 000 000 2 ✕ 967 ✕ 296 ✕ 10 3 = 572 464 000 2962 = 87 616
2 64 = 18 446 744 073 709 551 616
Esperamos que esses exemplos estimulem o leitor a usar inteligentemente a sua calculadora, para superar as limitações desse instrumento.
deverá proceder da mesma forma;
c) o time que terminar primeiro de preencher seu quadro, corretamente, será o campeão do dia.
Escreva com algarismos arábicos:
Observação
Nenhum aluno deverá ir à lousa pela segunda vez, antes que todos os outros do seu time tenham ido uma vez ao menos.
Horizontal Vertical
- MMDCXXI 1. MMDL
- CDXXXV 2. DCXLVIII
- DXLI 3. MMCLXXV
- MMMXL 4. XL
- DLXXXVII 5. MMMCDLXXVIII
- DCCVII 6. D
- DCXXXVIII 7. LXXXIX
- XCII 9. CCCXLVI
- CXII 12. DCCXCI
- CMXLVI 15. MMCCXXII
- CCCXXIV 16. MMMCDLXXXIX
- DLXXXIII 17. MCDII
- MMMXLII 18. CMLI
- MCMLXXIV 19. DCXXXVII 25.CMLII 21. CCXXXV
Duas “mágicas” intrigan- tes que levam ao estudo do critério de divisibili- dade por 9. A brincadei- ra da caixa de palitos de fósforos pode ser feita pelo professor na sala de aula e utilizada desde a 5 a^ série.
Adivinhação
P ede-se para alguém pensar em um número de
vários algarismos e somar esses algarismos. Em seguida pede-se que a pessoa subtraia a soma do número pensado. A pessoa deve então ocultar um algarismo desse último resultado obtido e informar o valor da soma dos algarismos restantes. Com isso o proponente da brincadeira “adivinha” o algaris- mo que foi ocultado.
Exemplo Número pensado: A = 6435879
A – S =
A pessoa oculta, por exemplo, o algarismo 8 e fornece a soma dos outros que é
Mágicas
