Numeros primos uepa ccse, Notas de estudo de Matemática

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Marília Brasil Xavier REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

Capítulo 7

NÚMEROS PRIMOS

7.1. Introdução

A noção de número primo foi, muito provavelmente, introduzida por Pitágoras, 530 AC, sendo

que a mesma desempenhou um papel central tanto na matemática como no misticismo pitagórico.

A escola pitagórica dava grande importância ao número um, que era chamada de unidade (em

grego: Monad). Os demais números inteiros naturais – o 2, 3, 4, etc – tinham caráter subalterno,

sendo vistos como meras multiplicidades geradas pela unidade e por isso recebiam a denominação

de número (em grego: Arithmós).

Entre os pitagóricos a preocupação com a geração dos números não parava por aí. Já o próprio

Pitágoras teria atinado que existem dois tipos de arithmós:

• Os protoi arithmós (números primários ou primos), que são aqueles que não podem ser gerados
  • através da multiplicação – por outros arithmós, como é o caso de 2, 3, 5, 7...
• Os deuterói arithmós (números secundários), podem ser gerados por outros arithmós, por

exemplo, 4 = 2.2, 6 = 3.2, etc.

Ainda por influência dos Pitagóricos , por muitos séculos houve polemica a respeito da primalidade

do número dois. Os primeiros pitagóricos chamavam-lhe Dyad, atribuíam-lhe caráter especial –

embora menos importante que a unidade Monad – e alguns deles não o incluíam entre os arithmós.

Consequentemente, muitos pitagóricos não consideravam o dois como primo. É só pela época de

Aristóteles, 350 AC, que passou a ser considerado como primo, sendo que este costume foi

consagrado pelo livro Elementos de Euclides em cerca de 300 AC. Cabe mencionar que

entre os gregos, principalmente os pitagóricos de várias gerações após Pitágoras, surgiram

outras denominações para os númerosprimos, como: retilíneos, lineares e eutimétricos. Contudo,

esta nomenclatura teve uso muito restrito e caíram em desuso.

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7.2. Números Primos (do lat. primus, principal. Prime em inglês)

Definição 7.1: Diz-se que um número positivo p > 1 é um número primo ou apenas um primo se, e somente se, 1 e p são seus únicos divisores positivos. Um inteiro maior que 1 e que não é primo diz- se composto.

Teorema 7.1: Se um número primo p não divide um inteiro a, então a e p são relativamente primos (primos entre si).

Demonstração:

Seja d o mdc de a e p. Então d | a e d | p. Da relação d | p, resulta que d = 1 ou d = p, porque p é primos, e como a segunda igualdade é impossível, porque p não divide a, segue-se que d = 1, isto é, o mdc ( a , p ) = 1. Logo, a e p são relativamente primos.

Corolário 7.1: Propriedade Fundamental dos Números Primos.

Se p é um primo tal que p | ab, então p | a ou p | b (podendo ser fator de ambos, a e b).

Demonstração:

Se p | a, nada há que demonstrar, e se, ao invés, p não divide a, então, pelo teorema anterior, o mdc (p, a) = 1. logo, pelo teorema 5.4, p | b.

Nota: Observemos que esta propriedade necessária dos números primos é também suficiente para que um inteiro positivo n seja primo: Pois, se n = k. s é composto (1< s k < n) , temos n| k.s porém tanto n | k e n | s.

Corolário 7.2: Se p é um primo tal que p | a 1 a 2 a 3 ... an, então existe um índice k, com 1 k n tal que p | ak.

Demonstração:

Usando Indução, a proposição é verdadeira para n = 1(imediato) e para n = 2 (pelo corolário 5.1). Supondo, pois, n > 2 e que, se p divide um produto com menos de n fatores, então p divide pelo menos um dos fatores (hipótese de indução).

Pelo corolário 7.1, se p|a 1 a 2... an-1, então p|an ou p|a 1 a 2 ... an-1.

Se p|an, a proposição está demonstrada, e se, ao invés, p|a 1 a 2 ... an-1, então a hipótese de indução assegura que p|ak, com 1 k n - 1. Em qualquer dos casos, p divide um dos inteiros a 1 , a 2 , a 3 , ..., an.

Corolário7.3: Se os inteiros p, q 1 ,q 2 ,..., qn são todos primos e se p | q 1 q 2 ... qn, então existe um índice k, com 1 k n tal que p = qk.

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Demonstração:

De fato, pelo corolário 7.2, existe um índice k, com 1 k n , tal que p|qk, como os únicos divisores positivos de qk são 1 e qk, porque qk, segue-se que p = 1 ou p = qk. Mas, p > 1, porque p é primo. Logo, p = qk.

Teorema 7.2: Todo inteiro composto possui um divisor primo.

Demonstração:

Seja a um inteiro composto. Consideremos o conjunto A de todos os divisores positivos de a, exceto os divisores 1 e a, isto é:

Pelo “Princípio da Boa Ordenação” existe o elemento mínimo p de A. que vamos mostrar ser primo. De fato, se p fosse composto admitiria pelo menos um divisor d tal que 1 < d < p, e então d|p e d|a, o que implica d|a, isto é, p não seria o elemento mínimo de A, se fosse composto. Logo, p é primo.

7. 3. Teorema Fundamental da Aritmética.

Todo inteiro positivo n > 1 é igual a um produto de fatores primos.

Demonstração:

Mostraremos a existência da fatoração por indução. Se n é primo não há o que provar (escrevemos m = 1, p 1 = n). Se n é composto podemos escrever n = ab, a, b N , 1 < a < n, 1 < b < n. Por hipótese de indução, a e b se decompõem como produto de primos. Juntando as fatorações de a e b (e reordenando os fatores) obtemos uma fatoração de n.

Nota: Este teorema (como qualquer outro teorema chamado de "fundamental") não deveria ser aplicado sem a devida precaução. Existem inúmeros sistemas numéricos nos quais a fatoração não é única. Por exemplo, imagine um sistema que tenha apenas inteiros pares com a adição e multiplicação usual e denominemos um número de "e-primo" se ele não for o produto de dois outros números pares. Neste caso, alguns "e-primos" são 2, 6, 10, 14, 18, ... Observe que neste sistema, 36 possui duas fatorações diferentes, 6x 6 e 2 x 18. (http://primes.utm.edu/)

Corolário 7.4 : A decomposição de um inteiro positivo n > 1 como produto de fatores primos é única, a menos da ordem dos fatores.

A = { x | a; 1 < x < a }

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Demonstração:

Se p 1 p 2 ... pn não divide a, então a não é nenhum dos primos p 1 p 2 ... pn Seja pi, 1 i n , um desses primos. Então, pi também não é fator primo de ar^ e, desta forma, não existe pi, 1 i n, que divida ar, o que implica que p 1. p 2 ... pn não divide ar. Por contraposição, temos a demonstração pedida.

Observação: O fato de que os expoentes dos primos pi sejam 1 é essencial. Por exemplo 4 = 2^2 divide 6^2 = 36 , mas 4 não divide 6.

7.4. A Seqüência dos Números Primos

Teorema 7.4: (de Euclides): Há um número infinito de primos.

Demonstração:

Suponha por absurdo que p 1 , p 2 , ..., pm fossem todos os primos. O número P = p 1. p 2 ... pm + 1 > 1 não seria divisível por nenhum primo, o que contradiz o teorema fundamental da aritmética.

Proposição 7.1. Para o n-ésimo número primo pn vale a estimativa.

Demostração:

Para n = 1 é verdade que. Suponhamos já provadas as desigualdades

Se q é primo tal que q | p 1. p 2 ... pn + 1, então q > pn, particularmente q pn+1.

Então,

Esta estimativa é exageradamente fraca, no geral pn é significativamente menor que por

exemplo = 256 e p 4 é apenas 7. Uma estimativa melhor para pn, postulada por Bertrand e, demonstrada por Chebychev, é dada pelo teorema seguinte:

Teorema 7.5 (de Chebychev) : Para todo inteiro m 2 existe um primo p com m < p< 2m. A demonstração deste teorema está fora de nosso contexto. Um outro fato provado é que entre dois cubos consecutivos existe sempre um primo.

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Com esse Teorema podemos afirmar que pn+1 < 2pn (para n 1)

Corolário 7.6. Para o n-ésimo número primo pn vale a estimativa pn 2 n.

Demonstração:

Temos 2 = p 1 21 e pelo teorema de Chebychev: Para todo inteiro positivo n, tem-se pn < pn+1 < 2. pn. De pn 2 n^ segue que pn + 1 2. 2n^ = 2n+1.

Ao estudarmos a sequência de números primos percebemos que existem infinitos primos em subconjuntos particulares dos inteiros, como, por exemplo, na sucessão aritmética: {4q + 3; q inteiro e q 0} = {3, 7, 11, 15, 19, ...}.

Esse resultado foi generalizado pelo matemático alemão Peter Gustav Le-jeune Dirichlet (1805- 1859).

Teorema 7.6 (de Dirichlet). Sejam a e b inteiros primos entre si, isto é, mdc (a, b) = 1.

Existem infinitos primos da forma an + b, onde n é inteiro positivo.

A demonstração deste Teorema exige avançados conhecimentos de Análise Matemática.

Exemplos:

Na sequência 3n + 1, temos os primos 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 97, 103, ...

Na sequência 9n + 4 temos os primos 13, 31, 67, 103, 139, 157, 193, 211, ...

O resultado de Dirichlet diz não só que o número de primos é infinito, mas também que, se considerarmos subconjuntos particulares de inteiros, como as sucessões aritméticas acima, teremos já nesses subconjuntos uma infinidade de primos.

Uma aplicação do Teorema de Dirichlet leva-nos a um resultado obtido pelo matemático polonês W. Sierpinski , que nos mostra, mais uma vez, a forma surpreendente como os primos se distribuem nos inteiros.

Teorema 7.7 (de Sierpinski). Dado um inteiro m maior que 1, existe um primo p tal que |p 1|, |p 2|, ..., |p m| são compostos.

Exemplo: Seja m = 10 e p = 19. Temos:

19+1, 19+2, 19+3, 19-4, 19+5, 19+6, 19+7, 19+8, 19+9 e 19-10. Os resultados são todos números compostos: 20, 21, 22, 15, 24, 25, 26, 27, 28 e 9.

Observe que se tivéssemos escolhido o primo 17, não seria possível construir uma sequência de compostos com m = 10, pois 17 + 6 = 23 e 17 – 6 = 11, ambos primos.

Demonstração:

Vejamos, em primeiro lugar, que existe um primo p tal que p + 1, p + 2, ..., p + m sejam compostos. Para cada m dado, o Teorema 1 garante, em particular, que existe um inteiro primo q maior do que m. Seja a = (q + 1) • (q + 2) • (q + 3) ... (q + m).

Se q divide a, então q divide q + i, e, portanto, q divide i, o que é impossível para 0 < i m < q. Então a e q são primos entre si. Pelo teorema de Dirichlet, existe um primo p na sequência an + q. Seja p = (q +1) • (q + 2) • ... • (q + m) • n + q este primo. Então os números p + 1, p + 2, ..., p + m são m números compostos. Para ampliar este resultado, observemos que, por motivos análogos aos de cima,

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determinar, sem auxílio de máquinas, todos os números primos até 200, 400 ou 500, por exemplo. Com o auxílio de computadores, o crivo de Eratóstenes, convenientemente adaptado, permite determinar os números primos até limites bem altos. Mesmo antes dos computadores, já haviam sido determinados os números primos até 10.000.000. Isto ocorreu por volta de 1914, por obra do matemático americano D. N. Lehmer. Dois outros matemáticos (Bays e Hudson) calcularam, em 1976, (usando computadores, evidentemente!), a tabela dos números primos até 12 x 10^11. Além disso, há tabelas de números primos em determinados intervalos de inteiros e conhecem-se também números primos bem grandes, como o número 2^44497 – 1, que possui 13395 algarismos! (RPM 19)

A construção de uma tabela de números primos que não excedam um dado inteiro n usando o Crivo de Eratóstenes consiste no seguinte: escrevem-se na ordem natural todos os inteiros a partir de 2 até n e, em seguida, eliminam-se todos os inteiros compostos que são múltiplos dos primos p tais que p isto é, 2p, 3p, 4p, ...

Exemplo: Construir a tabela de números primos menores que 200.

Solução: Como , basta eliminar sucessivamente da tabela os números que são múltiplos dos primos p menores que 14, ou seja, 2, 3, 5, 7, 11 e 13.

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Os valores em vermelho são os números primos que não foram “riscados” da tabela.

Listamos a seguir a os 199 primeiros números primos:

Nota : Podemos fazer um crivo mais econômico, já que não é possível evitar completamente o fato de que alguns números são riscados várias vezes. Podemos proceder da seguinte maneira: Primeiro escrevemos uma lista com os ímpares de 3 até n. Como queremos riscar os números de p em p é claro que os múltiplos de p que são múltiplos de primos menores que p já foram riscados da lista. Então, nesta etapa, podemos começar a riscar de p em p a partir do menor múltiplo de p, que não é múltiplo de um primo menor que p; isto é, a partir de p^2_. Isto evita muitas duplicações.[Coutinho]_

Definição 7.2 : Para qualquer número real x > 0, seja (x) o número de primos p x , isto é, (x) é quantidade dos números primos menores que ou iguais a x.

Tabela dos 20 primeiros valores inteiros da Função p (x)

x (x) 1 0 2 1 3 2

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Fórmula Para o n-ésimo Número Primo

Devido ao resultado acima podemos escrever uma fórmula que nos retorna o n-ésimo número primo estabelecida por C. P. Willans em 1964:

Exemplo:

Definição 7.3: Para todo número primo p, seja p# o produto de todos os números primos q p. p# é chamado o primorial de p.

Tabela dos 17 primeiros Primoriais

Teorema 7.8: p# +1 não possui nenhum fator primo menor do que ou igual a p.

P

p# 2 6 30 210 2310 30030 510510 9699690 223092870 6469693230 200560490130 7420738134810 304250263527210 13082761331670030 614889782588491410 32589158477190044730 1922760350154212639070

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Demonstração: Suponhamos, por contradição, que p# + 1 seja divisível por um primo q p. Ou seja, existe um inteiro positivo s tal que tal que p# + 1 = q.s, isto é q.s – p# =1. Como q p , então q é necessariamente um fator de p#. Logo q divide ambas as parcelas da diferença q.s – p#. Portanto q divide 1, o que é um absurdo uma vez que q é primo.

Nota : Veja que resultado interessante:

Leitura: A Distribuição dos Números Primos

Ao contemplar uma tabela de números primos, a primeira impressão que se tem é a de que não há nenhuma ordem entre os números primos: às vezes eles aparecem próximos uns dos outros, às vezes afastados, ora menos, ora mais afastados; enfim, analisando-os individualmente ou em pequenos grupos, não divisamos qualquer regularidade em sua distribuição. Entretanto, a sagacidade de inteligências privilegiadas consegue ver mais fundo, e foi precisamente isso o que aconteceu por obra do matemático francês Adrien - Marie Legendre (1752-1833). Ele se ocupou dessa questão e por volta de 1800 formulou uma conjectura que revela certa ordem no que parecia ser um caos completo. Para explicarmos a conjectura de Legendre, introduzimos o símbolo (x) como sendo o número de números primos até certo valor x. Assim, (8) = 4, ou seja, o número de números primos até 8 é 4; (11) = 5, pois há cinco números primos até 11, precisamente, 2, 3, 5, 7, 11; e assim por diante. Pois bem, o que Legendre conjecturou, empiricamente, analisando tabelas de números primos (em 1797 uma dessas tabelas foi publicada, contendo todos os números primos até 400031),

é que (x) podia ser aproximado pela função (o logaritmo que aqui aparece é o logaritmo

natural, isto é, na base e 2,718281...), e que essa aproximação seria tanto melhor quanto maior

fosse x. Mas isto deve ser entendido em termos relativos, isto é, o erro que se comete tomando

em lugar de (x) torna-se tanto menor quanto maior for x, relativamente a Em outras palavras,

seja

o erro que se comete ao tomar em lugar. de (x). Pois bem, o que se torna pequeno com o

crescer de x é o erro relativo

Este erro pode ser feito, em valor absoluto, tão pequeno quanto quisermos, desde que façamos x suficientemente grande.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que é considerado por muitos o maior matemático de todos os tempos, conta, numa carta de 1849, publicada vários anos mais tarde, que quando ainda bem jovem, com apenas 15 anos de idade, pensou muito sobre a distribuição dos números primos, chegando a conjecturar algo equivalente ao que conjecturou Legendre.

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de sorte que é a densidade média dos números primos no intervalo que vai de 1 até x. O fato de

que essa densidade decresce com o crescer de x significa precisamente o que dissemos acima: os números primos vão ficando cada vez mais raros, à medida que avançamos na seqüência dos números naturais. ( RPM19)

Definição 7.3 Chamam-se primos gêmeos dois inteiros positivos ímpares e consecutivos que são ambos primos. Em outras palavras, dizemos que dois primos ímpares são gêmos quando a diferença entre eles é igual a 2.

Assim, por exemplo, são pares de primos gêmeos:

Não se sabe até hoje se há um número infinito de pares de primos gêmeos, mas são conhecidos primos gêmeos muito grandes, tais como:

Um fato interessante é a existência de apenas um terno de inteiros positivos ímpares e consecutivos que são todos primos: 3, 5 e 7.

7.6. Seqüência de Inteiros Consecutivos Compostos

Existem, na sequência dos primos , primos consecutivos “tão afastados quanto se deseje”. Ou seja, existem “saltos’ arbitrariamente grandes na seqüência dos primos.

Teorema 7.9: Dado um inteiro positivo n >1, é possível determinar n inteiros consecutivos tais que nenhum deles seja primo.

Demonstração:

De fato, é evidente que na sequência:

(n + 1)! + 2, (n + 1)! +3, (n + 1)! + 4, ..., (n + 1)! + (n + 1)

140.737.488.353.507 e 140.737.488.353. 140.737.488.353.699 e 140.737.488.353.

3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31

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os seus n termos são inteiros positivos consecutivos, e cada um deles é composto , porque (n +1)! + j é divisível por j se 2 j n + 1.

Assim, por exemplo, supondo n = 4, obtemos a sequência:

5! + 2, 5! + 3, 5! + 4, 5! + 5

Cujos termos são 4 inteiros positivos consecutivos, cada um dos quais é composto, pois, temos:

5! + 2 = 122 = 2. 61, 5! + 3 = 123 = 3. 41 5! + 4 = 124 = 4. 31, 5! + 5 = 125 = 5. 25

Outras sequências de 4 inteiros consecutivos e compostos existem, tais como

24, 25, 26, 27 e 32, 33, 34, 35 54, 55, 56, 57 e 74, 75, 76, 77

Nota : Em 1984 Samuel Yates iniciou uma lista dos "Maiores Primos Conhecidos" e criou o nome primo titânico para designar qualquer número primo com 1.000 ou mais dígitos decimais. Denominou também de titãs aqueles que provaram a sua primalidade. A maioria dos primos são titânicos e dezenas de milhares deles são "conhecidos". Entretanto, na época em que Yates definiu os primos titânicos, tinha-se conhecimento de apenas alguns poucos. Cerca de dez anos mais tarde, Yates designou como primo gigante todo número primo que possuísse 10.000 ou mais dígitos decimais. E os Megaprimos são números primos que possuam no mínimo um milhão de dígitos decimais. http://www.numaboa.com.br/criptologia/matematica/primos.php

Corolário 7.7 : Dado um inteiro positivo n, existem dois primos consecutivos ph, ph+1 tais que

Demonstração:

Seja ph o maior dos primos que são menores que ( n +1 )! + 2.

Então, ph ( n + 1)!+ 1. Do teorema anterior, temos ainda que

Fazendo a diferença entre ambas as desigualdades, temos

ph +1 > (n + 1)! + (n + 1)

ph +1 > (n + 1)! + (n + 1)

ph+1 – ph > n.