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Manual de

Matemática

De lá pra cá mostra a história, evolução, os representates mais significativos e a importância da Matemática.

Conhecenco o Manual de Matemática

Presente em provas escolares, concursos, vestibulares e, também, no dia-a-dia, a matemática é uma ferramenta essencial para a construção de um futuro promissor.

OManual de Matemática foi criado para ajudá-lo nessa empreitada.

Então, mãos à obra!

Editor:Editor:Editor:Editor:Editor: Raul Maia

Coordenação Editorial:Coordenação Editorial:Coordenação Editorial:Coordenação Editorial:Coordenação Editorial: Eliana Maia Lista

Autor:Autor:Autor:Autor:Autor: Ana Maria de Oliveira

Colaborador:Colaborador:Colaborador:Colaborador:Colaborador: Valéria Barbosa Santos

Revisores:Revisores:Revisores:Revisores:Revisores: Ana Paula Ribeiro Christina Lucy Fontes Soares Gislene Pereira Rodrigues de Oliveira

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Oliveira, Ana Maria Manual de Matemática / Ana Maria de Oliveira; colaboradora Valéria Barbosa Santos. –– São Paulo : DCL, 2005.

ISBN 85-7338-892-

1. Matemática I. Santos, Valéria Barbosa. II. Título

04-3971 CDD – 510.

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino Médio 510.

Gerente de Arte:Gerente de Arte:Gerente de Arte:Gerente de Arte:Gerente de Arte: Daniela Máximo Capa:Capa:Capa:Capa:Capa: Antônio Briano Jr. PPPPProjeto Gráfico:rojeto Gráfico:rojeto Gráfico:rojeto Gráfico:rojeto Gráfico: Geiza de Sousa Caria Diagramação:Diagramação:Diagramação:Diagramação:Diagramação: José Marcos Rigamont Thiago Nieri Virtual Diagramação PPPPProdução Gráfica:rodução Gráfica:rodução Gráfica:rodução Gráfica:rodução Gráfica: Roze Pedroso

Proibida a reprodução total ou parcial. Direitos exclusivos desta publicação:  Difusão Cultural do Livro Ltda. Rua Manoel Pinto de Carvalho, 80 CEP: 02712-120 – São Paulo / SP www.editoradcl.com.br [email protected]

Sumário

• Apresentação
• De lá pra cá
• Capítulo 1 Teoria dos Conjuntos Unidade I – ÁLGEBRA
• Capítulo 2 Conjuntos Numéricos
• Capítulo 3 Expressões Algébricas
• Capítulo 4 Potências e Raízes
• Capítulo 5 Equação
  • Exercícios Propostos
• Capítulo 1 Função Unidade II – FUNÇÃO E LOGARITMO
• Capítulo 2 Função do 1º Grau
• Capítulo 3 Função do 2º Grau ou Quadrática
• Capítulo 4 Função Modular
• Capítulo 5 Função Exponencial
• Capítulo 6 Logaritmo
  • Exercícios Propostos
• Capítulo 1 Introdução à Trigonometria Unidade III – TRIGONOMETRIA
  • Exercícios Propostos
• Capítulo 1 Introdução à Seqüência ou Sucessão Unidade IV – SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO
• Capítulo 2 Progressão Aritmética
• Capítulo 3 Progressão Geométrica
  • Exercícios Propostos
• Capítulo 1 Matrizes Unidade V – MATRIZES E DETERMINANTES
• Capítulo 2 Determinantes
• Capítulo 3 Sistemas Lineares
  • Exercícios Propostos

Apresentação

Podemos relacionar a Matemática ao dia-a-dia do alu-

no, bem como utilizar os conceitos aprendidos em situ-

ações práticas.

Proporcionaremos ao aluno uma breve revisão de ál-

gebra e geometria, ajudando-o a percorrer novos cami-

nhos e aplicar conhecimentos e habilidades anteriormen-

te adquiridos.

Este livro tem a preocupação de ajudar o estudante a

crescer como cidadão, levantando discussões sobre

questões sociais, analisando-as e propondo soluções.

Com base em diversas linguagens do cotidiano, levar

o aluno a procurar uma linguagem matemática para ex-

plicar os processos matemáticos que ocorrem ao seu

redor, introduzindo novos conceitos feitos por meio de

situações-problema contextualizadas, visualizando e con-

cretizando experiências, integrando-os às diferentes dis-

ciplinas.

A invenção dos números Como foi inventado o número? A invenção do númeronúmeronúmeronúmeronúmero não aconteceu de repente nem foi uma única pes- soa responsável por ela. Na verdade, o número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e animais. Durante a Pré-História, os homens utilizavam pedras, nós de cordas e os próprios dedos para contar. Foi assim, contando objetos com outros objetos, que a humanidade co- meçou a formar o conceito de número. Para o homem primitivo, o número cinco, por exemplo, estaria sempre ligado a algo concreto: cinco dedos, cin- co vasos etc. Com os avanços que marcaram o fim da Pré-História, a quantidade de ob- jetos de uma coleção passou a ser representada por desenhos (símbolos). Eles foram criados por estudiosos do Antigo Egito para realizar cálculos rápi- dos e precisos. Esse fato foi fundamental para o desenvolvimento da Mate- mática. Depois dos egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração, mas somente por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema numérico mais prático e eficiente que todos os outros já criados

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I

PPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprenderenderenderenderender ÁlgebrÁlgebrÁlgebrÁlgebrÁlgebraaaa?a????

Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentos sobros sobros sobros sobros sobreeeee

ÁlgebrÁlgebrÁlgebrÁlgebrÁlgebraaaaa?????

- ÁLGEBRA

Além de estimular o raciocínio lógico e dedutível, o estudo da algébra perimite-nos encontrar soluções de determinadas situações-problema, no nosso dia- a-dia.

Numa empresa freqüentemente surgem problemas re- lacionados com custos, com a produção, divisão de lucros, etc. Na Medicina, os médicos utilizam muitas fórmulas ma- temáticas, principalmente para calcular a quantidade de remédios que deve ser dada aos pacientes. A álgebra é apenas uma ferramenta. A habilidade de resolver problemas desenvolve-se aos poucos.

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Capítulo 1

TEORIA DOS CONJUNTOS

A Teoria dos Conjuntos nos mostra, por meio dos símbolos, uma linguagem matemática mais simples e compreensível, auxiliando as várias outras ciências.

Conjunto

É toda coleção ou classe de objetos bem definidos, o mesmo que agrupa- mento. Exemplos: a) O conjunto dos números ímpares. b) O conjunto dos números primos.

Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas e os elementos por letras minúsculas entre chaves. Exemplo: M = {a, e, i, o, u}

Representação de um conjunto

• Por extensão: enumerando seus elementos, agrupando-os entre chaves. Exemplos: Conjunto dos números pares: {0, 2, 4, 6, 8, ...}

A ÁLGEBRA E A VIDA

Em álgebra precisamos respeitar as propriedades entre os números de um contexto, compreendendo, aceitando e aplicando regras. Na vida em sociedade é necessário ter respeito aos direitos e deveres de todos, compreendendo, aceitando e aplicando nossa filosofia de vida, sem prejudicar os outros. É tendo clareza dos pensamentos e consciência das atitudes corretas que os seres humanos terão condições de exercitar sua cidadania e conseqüentemente deixá-la como exemplo para outras gerações.

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Subconjuntos

Um conjunto A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertencer também a B. Indicamos que A é subconjunto de B, se A está contido em B ou A é uma parte de B. A ⊂ B ou B ⊃ A Exemplos: {1, 2} ⊂ {1, 2, 3, 4} {e, u} ⊂ {a, e, i, o, u}

É importante destacar:

• ∅ ⊂ A O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
• B ⊂ B Todo conjunto é subconjunto impróprio de si mesmo.

Obs.:

1. Se A não for subconjunto de B, escrevemos A ⊄ B ou B A (B não contém A).

2. Os símbolos são utilizados para relacionar conjunto com conjunto.

União de Conjuntos

Chama-se união (ou reunião) de um conjunto A com um conjunto B ao con- junto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B} Exemplo:

A B

A ∪ B = {0, 3, 4, 5, 6, 7}

A = {0, 3, 6, 7}

B = {3, 4, 5, 6}

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A TERRA , E TUDO O QUE

ESTÁ SOBRE ELA, INCLUSIVE

O SER HUMANO , É PRODUTO DE QUÊ?

A gravidade uniu os átomos, formando as estrelas. Com o tempo, as estrelas explodiram, lançando os novos elementos químicos no espaço, e tornaram- se os corpos celestes. A união de vários elementos formou o Sistema Solar. Para compreendermos e estudarmos esses elementos, precisamos de várias ciências: Matemática, Física, Química, Geografia, Astronomia etc.

Intersecção de Conjuntos Chama-se intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B} Exemplos: a)

3 7 5

A B A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 3, 5, 7}

A ∩ B = {2, 3}

b)

8

10

A B A = {5, 7}

B = {8, 10}

A ∩ B = ∅

Neste caso, não há elementos que pertencem a A e a B. Portanto, A e B são chamados de disjuntos (A ∩ B = ∅).

Diferença de Conjuntos Chama-se diferença de conjunto entre A e B o conjunto formado pelos ele- mentos de A que não pertencem a B. A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}

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Podemos afirmar que: n (P(A)) = 2n(A) O número de elementos do conjunto das partes é 2n^ quando n for o número de elementos do conjunto.

Exemplo: Seja B um conjunto de 4 elementos. Determine o total de subconjuntos de B. Solução: n(P(B)) = 2 4 n(P(B)) = 16

Número de Elementos da União de Conjuntos

Sejam A e B dois conjuntos finitos e n(A) = o número de elementos de A; n(B) o número de elementos de B; n(A ∪ B) = o número de elementos de A ∪ B e n(A ∩ B) = o número de elementos de A ∩ B. Note que A ∪ B = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

Obs.:

• Se A ∩ B = ∅, teremos n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
• O número de elementos da união de três conjuntos é: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

A B

C

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Exemplo: Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram con- sultadas 500 pessoas e o resultado foi o seguinte: 220 delas lêem o jornal X, 150 lêem o jornal Y e 40 lêem os jornais X e Y.

Pergunta-se: a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal X? 180 pessoas b) Quantas pessoas lêem apenas o jornal Y? 110 pessoas c) Quantas pessoas lêem jornais? 330 pessoas d) Quantas pessoas não lêem jornais? 170 pessoas

Solução:

a) 220 – 40 = 180 b) 150 – 40 = 110 c) 180 + 110 + 40 = 330 d) 500 – 330 = 170

Capítulo 2

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número. 0,58, Com esses números, criou-se a necessidade prática de contar as coisas da natureza, portanto criou-se o número natural.

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1300 d.C. 1400 d.C. 1500 d.C. 1600 d.C. 1700 d.C. 1800 d.C. 1900 d.C. 2000 d.C. 2100 d.C.

Nossos bisavós nasceram no s culo XIX Nós nascemos no século XX

nascerão no século XXI

1839 – Machado de Assis

1903 – Portinari

Neste capítulo, faremos uma revisão e aprofundaremos nossos conheci- mentos sobre conjuntos numéricos.

Conjunto dos Números Naturais ( μμμμμ )

μ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} μ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} → o zero foi excluído do conjunto μ.

Conjunto dos Números Inteiros ( ¹¹¹¹¹ )

Subconjuntos de ¹ ¹+ = {0, 1, 2, 3, ... } ¹– = {..., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0}

NOÇÃO DE CONJUNTO

A luz proveniente dos objetos atinge nossos olhos. A figura ao lado nos mostra que não vemos somente com os olhos, mas sim com um conjunto: olhos, nervo óptico e cérebro.

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Conjuntos dos Números Racionais ( ¶¶¶¶¶ )

Todo número racional pode ser colocado na forma

a b

, com a ∈ ¹, b ∈ ¹ e b ≠ 0.

 =^ ∈^ ∈^ ≠ 

a x / x , com a , b e b 0 b

Exemplos:

• Representação decimal de um número

a)

b) – 1 2

c)

d)

Esses exemplos referem-se às decimais exatas.

• Decimais Periódicas

a)

= 0,444... b)

Esses exemplos referem-se às decimais não exatas, periódicas, que possu- em um número infinito de algarismos. Podemos representar geometricamente os números racionais sobre uma reta.

1 2

3 4

7 2

7 6