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Universidade Federal do Maranhao˜
Bacharelado Interdisciplinar em Ciˆencia e Tecnologia
Lista 1
Disciplina: Fundamentos de Mtem ´atica Professores: Fabiano Pereira
(1) Prove que, de n n´umeros consecutivos, um ´e m´ultiplo de n.
(2) Determine os inteiros positivos que divididos por 17 deixam um resto igual ao quadrado do quociente.
(3) Mostre que se a e b s˜ao inteiros ´ımpares, ent˜ao a^2 − b^2 e divis´´ ıvel por 8.
(4) Na divis˜ao de dois inteiros positivos o quociente ´e 16 e o resto ´e o maior poss´ıvel. Encontre os dois inteiros, sabendo que a sua soma ´e 341.
(5) Mostre que o produto de dois inteiros ´ımpares ´e um inteiro ´ımpar.
(6) Sendo a um inteiro, mostre que a^2 deixa resto 0, 1 ou 4 quando dividido por 8.
(7) Mostre que todo inteiro ´ımpar pode ser escrito como diferenc¸a de dois quadrados.
(8) Nas ´ultimas eleic¸ ˜oes, trˆes partidos pol´ıticos tiveram direito, por dia, a 90s, 108s e 144s de tempo gratuito de propaganda na televis˜ao, com diferentes n´umeros de aparic¸ ˜oes. O tempo de cada aparic¸ ˜ao, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior poss´ıvel. Qual a soma do n´umero das aparic¸ ˜oes di´arias dos partidos na TV?
(9) Jos´e possui um supermercado e pretende organizar de 100 a 150 detergentes, de trˆes marcas distintas, na prateleira de produtos de limpeza, agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, mas sempre restando um. Quantos detergentes Jos´e tem em seu supermercado?
(10) Uma sala de aula de uma Faculdade de Direito ser´a reformada. Tal sala tem formato retangular e piso plano, e suas dimens˜oes s˜ao 8, 80 m por 7, 60 m. Deseja-se que o piso da referida sala seja revestido de ladrilhos quadrados iguais, sem necessidade de recortar nenhuma pec¸a. A medida m´axima do lado de cada ladrilho ´e:
(11) Dois m´edicos trabalham em um mesmo hospital em regime de plant˜ao. O primeiro vai a esse hospital a cada 9 dias, e o segundo, a cada 5 dias. Sabendo-se que o ´ultimo plant˜ao em que eles trabalharam juntos foi em um domingo, o pr´oximo dia da semana em que eles trabalhar˜ao juntos ser´a?
(12) Determine os inteiros positivos a e b sabendo que a + b = 63 e mdc(a, b) = 9.
(13) Simplifique as express˜oes:
(a)
(a^3 · b−^2 )− 2
(a−^4 · b^3 )^3
(b)
a^3 · b−^4
a−^2 · b^2
(c)
a2(n+1)^ · a^3 −n
a^1 −n^
(14) Simplifique as express˜oes para um ´unico radical:
(a)
(b)
(c)
(15) Simplifique as ra´ızes:
(a)
3
(b)
(c)
3
a
4
a
a
(16) Racionalize os denominadores:
(a)
(b)
(c)
(d)
(17) Determine o valor da express˜ao (0, 064)
1 (^3) (0, 0625)
1 (^4).
(18) Simplifique, supondo a > 0 e b > 0:
(a) a
5 (^6) · b 1 (^2) ·
a−^
1 (^2) · b−^1 ·
a−^1 · b
2 3
(b)
[(
a
a + b
b
a +
b
ab
]^1
2
(19) Decida se cada um dos esquemas das relac¸ ˜oes abaixo define ou n˜ao uma func¸ ˜ao de = {− 1 , 0 , 1 , 2 }
em = {− 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 }. Justifique.
Figura 1: Veja [?]
(20) Quais das relac¸ ˜oes em R, cujos gr´aficos aparecem abaixo, s˜ao func¸ ˜oes? Justifique.
(27) Seja f a func¸ ˜ao em R tal que
f (x) · f (y) = f (x + y), ∀ x, y ∈ R, f (1) = 2 , f (
Calcule f (3 +
(28) As func¸ ˜oes f e g em R definidas por f (x) =
x^2 e g(x) = x s˜ao iguais? Justifique.
(29) As func¸ ˜oes f e g cujas leis de correspondˆencia s˜ao f (x) =
x − 1
x + 1
e g(x) =
x^2 − 1
x + 1
s˜ao iguais?
Justifique.
(30) As func¸ ˜oes f e g cujas leis de correspondˆencia s˜ao f (x) = x + 1 e g(x) = x^2 − 1 x− 1 s˜ao iguais? Justifique.
(31) Construa o gr´afico das func¸ ˜oes em R, definidas abaixo:
(a) y =
2 x − 3
3
; (b) y =
4 − 3 x
2
(32) Resolva anal´ıtica e graficamente o sistema de equac¸ ˜oes:
2 x − y = 3 , − 3 x + 4 y = 1.
(33) Resolva os sistemas de equac¸ ˜oes:
(a)
x − y
x + y
x − y
x + y
(b)
x + y + 1
2 x − y + 3
x + y + 1
2 x − y + 3
(34) De uma caixa contendo bolas brancas e pretas, retiraram-se 15 brancas, ficando a relac¸ ˜ao de 1
branca para 2 pretas. Em seguida, retiraram-se 10 pretas, restando, na caixa, bolas na raz˜ao de 4 brancas para 3 pretas. Determine quantas bolas havia, inicialmente, na caixa.
(35) Supondo que dois pilotos de F´ormula 1 largam juntos num determinado circuito e completam,
respectivamente, cada volta em 72 e 75 segundos, responda: depois de quantas voltas do mais r´apido, contadas a partir da largada, ele estar´a uma volta na frente do outro?
(36) Qual o menor n´umero inteiro de voltas que deve dar a roda c da engrenagem da figura abaixo,
para que a roda a dˆe um n´umero inteiro de voltas?
Figura 3: Engrenagens Veja [?]
(37) Estude, segundo os valores do parˆametro m, a variac¸ ˜ao ( crescente, decrescente, ou constante)
das func¸ ˜oes afins abaixo:
(a) y = (m − 3)x + 2;
(b) y = (3 − 2 m)x − 3;
(c) y = 1 − (m + 2)x;
(d) y = m(x − 3) + (1 + m)(3 − x).
(38) Obeter uma equac¸ ˜ao da reta que passa pelo ponto (− 2 , 4) e tem coeficiente angular igual a −3.
(39) Obter uma equac¸ ˜ao da reta com coeficiente angular igual a −
a passando pelo ponto (− 3 , 1).
(40) Obeter uma equac¸ ˜ao da reta que passa pelo ponto (− 2 , 1) e tem coeficiente linear igual a 4.
(41) Obter a equac¸ ˜ao da reta com coeficiente linear −3 e que passa por (− 3 , −2).
(42) Devia ao desgaste, o valor de uma mercadoria decresce com o tempo. Por isso, a desvalorizac¸ ˜ao
que o prec¸o de uma mercadoria sofre em raz˜ao do tempo de uso ´e chamada de depreciac¸ ˜ao. A func¸ ˜ao de depreciac¸ ˜ao pode ser uma func¸ ˜ao afim, como neste caso: o valor de uma m´aquina ´e hoje R$ 1000, 00, e estima-se que daqui a 5 anos ´e R$250, 00.
(a) Qual ser´a o valor dessa m´aquina em t anos?
(b) Qual ser´a a depreciac¸ ˜ao do valor dessa m´aquina em 6 anos?
(43) Dois l´ıquidos diferentes encontra-se em recipientes idˆenticos e tˆem uma taxa de evaporac¸ ˜ao
constante. O l´ıquido 1 encontra-se em um n´ıvel de 100 mm e evapora-se completamente no quadrag´esimo dia.O l´ıquido 2, inicialmente com 80 mm, evapora-se completamente no qua- drag´esimo oitavo dia. Determine, antes da evaporac¸ ˜ao completa de ambos, ao final de que dia os l´ıquidos ter˜ao o mesmo n´ıvel (em mm) nesses mesmos recipientes.
(44) Sejam as func¸ ˜oes em R definidas por f (x) = 2 · x + 3 , g(x) = 2 − 3 · x e h(x) =
4 · x − 1
2
. Para
que valores de x ∈ R, tem-se:
(a) f (x) ≥ g(x);
(b) g(x) < h(x);
(c) f (x) ≥ h(x);
(d) f (x) ≤ g(x);
(52) Dentre todos oe retˆangulos de per´ımetro 20cm, determine o de ´area m´axima.
(53) Dentre todos os n´umeros reais x e z tais que 2x+z = 8, determine aqueles cujo produto ´e m´aximo.
(54) Encontre dois n´umeros cuja soma ´e 6 e cuja soma dos quadrados ´e m´ınima.
(55) Determine o retˆangulo de ´area m´axima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos
eixos cartesianos e um v´ertice na reta y = − 4 x + 5.
(56) E dado uma folha de cartolina como na figura. Cortando a folha na linha pontilhada resultar´´ a um
retˆangulo. Determine esse retˆangulo sabendo que a ´area ´e m´axima.
(57) Determine o retˆangulo de maior ´area contido num triˆangulo equil´atero de lado 4cm, estando a
base do retˆangulo num lado do triˆangulo.
(58) Classifique a seguinte func¸ ˜ao f definida por y = (m^2 − 5 m − 6)x^2 − (m − 2)x + m + 3, em func¸ ˜ao
linear, afim ou quadr´atica, de acordo com os valores de m.
(59) Determine a func¸ ˜ao quadr´atica contendo os pontos (− 1 , −4), (1, 2) e (2, −1).
(60) Seja a func¸ ˜ao quadr´atica f (x) = ax^2 + bx + c. Sabendo que f (1) = 4 , f (2) = 0 e f (3) = −2,
determine o produto abc.
(61) Resolva o sistema
x
y
x · y = 12 ,
(62) Resolva o sistema
2 x + y = 4 2 x + x · y = − 8 ,
(63) Determine os zeros reais da func¸ ˜ao f (x) = x^4 − 3 x^2 − 4.
(64) Sejam α e β as duas ra´ızes distintas da equac¸ ˜ao do segundo grau ax^2 + bx + c = 0. Mostre que
S = α + β =
−b
a
e P = αβ =
c
a
(65) Sejam α e β as duas ra´ızes distintas da equac¸ ˜ao do segundo grau ax^2 + bx + c = 0, S = α + β,P =
αβ. Calcule, em termos de a, b, c:
(a)
α
β
(b) α^2 + β^2 ;
(c)
β
α
α
β
(d) α^3 + β^3 ;
(e)
α^2
β^2
(66) Resolva as seguintes inequac¸ ˜oes quadr´aticas:
(a) x^2 − 2 x + 2 > 0;
(b) x^2 − 2 x + 1 ≤ 0;
(c) − 2 x^2 + 3 x + 2 ≥ 0;
(d) −x^2 + 3 x − 4 < 0;
(67) Resolva os sistemas de inequac¸ ˜oes quadr´aticas:
(a)
x^2 − 3 x + 2 ≤ 0 x 2 − 4 x + 3 > 0
; (b)
x^2 − 5 x + 6 < 0 x 2
(68) Resolva a inequac¸ ˜ao (x 2 − x − 2)(−x 2
(69) Construa o gr´afico das seguintes func¸ ˜oes reais:
(a) f (x) = |x|;
(b) f (x) = | 4 x − 1 | − 3;
(c) f (x) = |
x
3
(d) f (x) = |x^2 − 4 | − 6;
(e) f (x) = | 3 x^2 − 2 | + 2;
(f) f (x) = |x 2
(70) Construa o gr´afico das seguintes func¸ ˜oes reais:
(a) f (x) = | 2 x + 1 | − |x + 2 |;
(b) f (x) = | 4 x − 1 | + |
x
3
(c) f (x) = |x − 1 | + |x^2 − 1 |;
(d) f (x) = |x − 1 | − |x 2 − 1 | + |x 2
(e) f (x) = ||x − 3 |^2 + 4 |x − 3 | + 3 |;
(f) f (x) = |x^2 + 4 |x| + 3 | + | 3 x^2 − 2 |.
(71) Resolva as seguintes equac¸ ˜oes reais:
(a) | 4 x − 1 | − 3 = |x|;
(b) |x^2 − 4 | − 6 = |
x
3
(c) |x^2 + 4 x + 3 | + 5 = | 3 x^2 − 2 | + 2;
(d) | 2 x + 1 | − |x + 2 | = | 4 x − 1 | + |
x
3
(e) |x + 1 | − |x^2 − 1 | = |x − 1 | + |x^2 + 1 |;
(f) |x^2 + 4 |x|+ 3 |+| 3 x^2 − 2 | = ||x− 3 |^2 + 4 |x− 3 |+ 3 |.
(72) Resolva as seguintes inequac¸ ˜oes reais:
(a) | 4 x − 2 | ≤ 5;
(b) |x − 1 | ≥ 4;
(c) 3 < | 2 x − 4 | ≤ 5;
(d) |x 2 − 3 x − 1 | < 2;
(e)
x
x − 1
∣ <^ 2;
(f) || 2 x − 3 | − | − 3 x + 2 || < 4;
(73) Resolva as seguintes equac¸ ˜oes irracionais:
(a)
4 x − 2 =
(b)
2 x − 1 = 4;
(c)
x^2 − 2 x − 1 = 2;
(d)
(2x − 3)(− 3 x + 2) = 4;
(74) Resolva as seguintes equac¸ ˜oes irracionais:
