Geometria Analítica: Ângulos, Produto Escalar e Inclinação, Exercícios de Matemática

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MATEMÁTICA A

CADERNO DE EXERCÍCIOS

E PROBLEMAS

ANO

CARLOS ANDRADE | CRISTINA VIEGAS

PAULA PINTO PEREIRA | PEDRO PIMENTA

33

Ângulo de dois vetores

• Define-se^ ângulo de dois vetores^ (não nulos, no plano ou no espaço) como o menor ângulo, não orientado, formado por dois segmentos de reta orientados, com a mesma origem, representantes de cada um dos vetores. A amplitude do ângulo de dois vetores u  e v  simboliza-se por u  ∧^ v  ou v  ∧^ u .

Produto escalar

• O^ produto escalar de dois vetores^ u ^ e^ v ^ representa-se por^ u ^ ·^ v ^ e tem-se:
  • Se u  e v  são vetores não nulos, então u  (^) · v  = || u || × || v || × cos ( u  ∧^ v ).
  • Se algum dos vetores u  e v  é o vetor nulo, então u  (^) · v  = 0.
• Propriedades do produto escalar
  • u  (^) · v  > 0 ⇔ cos ( u  ∧^ v ) > 0 ⇔ 0 o^ ≤ u  ∧^ v  < 90o
  • u  (^) · v  < 0 ⇔ cos ( u  ∧^ v ) < 0 ⇔ 90 o^ < u  ∧^ v  ≤ 180o
  • u  (^) · v  = 0 ⇔ u  = 0^ ∨ v  = 0^ ∨ u  ∧^ v  = 90o
• O produto escalar de dois vetores não nulos é zero se e só se os vetores forem perpendiculares:^ u ^ ⊥^ v ^ ⇔^ u ^ ·^ v ^ = 0
• Outras propriedades
  • u  (^) · u  = || u ||^2 (Quadrado escalar)
  • k ( u  (^) · v ) = ( ku ) · v  = u  (^) · ( kv ) (Propriedade associativa mista)
  • u  (^) · v  = v  (^) · u  (Propriedade comutativa)
  • u  (^) · ( v  + w ) = u  (^) · v  + u  (^) · w  e ( u  + v ) · w  = u  (^) · w  + v  (^) · w 

(Propriedade distributiva do produto escalar relativamente à adição de vetores)

Expressão do produto escalar nas coordenadas dos vetores

• Num referencial o.n. do plano, dados dois vetores quaisquer,^ u ( u^1 ,^ u^2 ) e^ v ( v^1 ,^ v^2 ) : u  (^) · v  = u 1 v 1 + u 2 v 2
• Num referencial o.n. do espaço, dados dois vetores quaisquer,^ u ( u^1 ,^ u^2 ,^ u^3 ) e^ v ( v^1 ,^ v^2 ,^ v^3 ) :^ u ^ ·^ v ^ =^ u^1 v^1 +^ u^2 v^2 +^ u^3 v^3

Ângulos de dois vetores e ângulo de duas retas

• Num referencial o.n. do plano, dados dois vetores quaisquer não nulos,^ u ( u^1 ,^ u^2 ) e^ v ( v^1 ,^ v^2 ) :

u  ∧^ v  = cos –1^  

• Num referencial o.n. do espaço, dados dois vetores quaisquer, não nulos,^ u ( u^1 ,^ u^2 ,^ u^3 ) e^ v ( v^1 ,^ v^2 ,^ v^3 ) :

u  ∧^ v  = cos –1^  

• Dadas duas quaisquer retas^ r^ e^ s^ no plano ou duas quaisquer retas complanares,^ r^ e^ s^ , no espaço, e dois quaisquer vetores diretores de r e s , r  e s  , respetivamente:

cos ( r ∧^ s ) = |cos ( r  ∧^ s )| =

u 1 v 1 + u 2 v 2  || u || || v ||

u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3  || u || || v ||

^ | r ^ ·^ s | || r || || s ||

Síntese

GEOMETRIA ANALÍTICA

35

Vetor normal e equações de planos e retas

• Chama-se^ vetor normal a uma reta^ a qualquer vetor não nulo que seja perpendicular a um vetor diretor dessa reta.
• Num referencial o.n. do plano, dada uma reta^ r^ de declive^ m^ , (1,^ m ) são as coordenadas de um vetor diretor de^ r^ e (– m , 1) são as coordenadas de um vetor normal a r. A família de vetores diretores de r tem coordenadas da forma k (1, m ) e a família de vetores normais a r tem coordenadas da forma k (– m , 1) , para k  IR{0}.
• Chama-se^ vetor normal a um plano^ a qualquer vetor não nulo que seja perpendicular a todas as retas desse plano.
• Em geral, num referencial o.n. do espaço,^ Oxyz^ , sendo^ a^ ,^ b^ e^ c^ números reais, com^ a^ e^ b^ não nulos simulta- neamente:
  • ax^ +^ by^ +^ c^ = 0 , define um plano paralelo ao eixo^ Oz^ ;
  • ax^ +^ bz^ +^ c^ = 0 , define um plano paralelo ao eixo^ Oy^ ;
  • ay^ +^ bz^ +^ c^ = 0 , define um plano paralelo ao eixo^ Ox^.
• Dado um plano^ α^ , um ponto^ A^ do plano e um vetor^ n ^ , normal a^ α^ , o^ plano^ é o conjunto^ P^ dos pontos do espaço, cujas coordenadas satisfazem a equação vetorial AP · n  = 0.
• Uma^ equação cartesiana do plano^ de vetor normal^ n ( a ,^ b ,^ c ) e que passa no ponto^ A ( xA ,^ yA ,^ zA ) é:

a ( x – xA ) + b ( y – yA ) + c ( z – zA ) = 0

• Uma^ equação geral do plano^ de vetor normal^ n ( a ,^ b ,^ c ) e que passa no ponto^ A ( xA ,^ yA ,^ zA ) é:

ax + by + cz + d = 0

com d = – axA – byA – czA.

• =^ =^ são^ equações cartesianas da reta do espaço^ que passa no ponto de coordenadas

( x (^) A , yA , zA ) e que admite o vetor diretor de coordenadas ( u 1 , u 2 , u 3 ) (para u 1 , u 2 e u 3 não nulos).

Paralelismo e perpendicularidade de retas e planos

• Dois^ planos,^ α^ e^ β^ , de vetores normais^ a ^ e^ b ^ , são^ paralelos^ se e só se os vetores normais são colineares:

α // β ⇔ a  // b ^ ⇔ a  = kb 

• Dois^ planos,^ α^ e^ β^ , de vetores normais^ a ^ e^ b ^ , são^ perpendiculares^ se e só se os vetores normais são perpen- diculares: α ⊥ β ⇔ a  ⊥ b ^ ⇔ a  (^) · b ^ = 0

z – zA  u  3

y – yA  u  2

x – x (^) A  u  1

36 Geometria no plano e no espaço II – Geometria analítica

• Uma^ reta^ r^ , não contida num plano^ α^ , é^ paralela ao plano^ se e só se um vetor diretor de^ r^ for perpendicular a um vetor normal a α. Sendo u ( u 1 , u 2 , u 3 ) um vetor diretor da reta r e n ( a , b , c ) um vetor normal ao plano α , não nulos:

r // β ⇔ u  ⊥ n  ⇔ u  (^) · n  = 0

• Uma^ reta^ r^ é^ perpendicular a um plano^ α^ se um vetor diretor de^ r^ for colinear com um vetor normal a^ α^.

Sendo u ( u 1 , u 2 , u 3 ) um vetor diretor da reta r e n ( a , b , c ) um vetor normal ao plano α :

r ⊥ α ⇔ u  // n  ⇔ u  = kn 

Interseção de planos

• Dois planos podem ou não intersetar-se. Se os^ planos^ se intersetarem, são^ concorrentes^ ou^ coincidentes; se não se intersetarem são estritamente paralelos.
• A^ interseção de três planos^ pode ser:
  • o^ conjunto vazio^ – se pelo menos dois dos planos forem estritamente paralelos ou se se intersetarem, no máximo, dois a dois, segundo retas paralelas;
  • um plano^ – se os três planos forem coincidentes;
  • uma reta^ – se os planos forem concorrentes segundo uma mesma reta;
  • um ponto^ – se os planos se intersetarem dois a dois, segundo retas concorrentes.

2. Na figura, está representado, em referencial o.n. Oxyz , o poliedro [ VNOPQURST ] , que se pode decompor num cubo e numa pirâmide qua- drangular regular. Sabe-se que: - a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano xOy ; - o ponto P pertence ao eixo Ox ; - o ponto U tem coordenadas (4, –4, –4) ; - o plano QTV é definido pela equação 5 x + 2 y + 2 z = 12.

2.1 Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreve uma con- dição cartesiana que o defina. a) Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial. b) Plano perpendicular à reta QN e que passa no ponto V. c) Reta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U. d) Superfície esférica de centro em U e que passa no ponto T.

2.2 Considera um ponto A , com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U.

Sabe-se que

OA ·

OT = 8.

Determina a cota do ponto A.

2.3 Determina o volume do poliedro [ VNOPQURST ]. in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, janeiro de 2011. Resolução

a) Como o plano é paralelo ao plano QTV , ambos admitem um mesmo vetor normal. Assim, uma equação do plano pedido é da forma 5 x + 2 y + 2 z = d , para algum d  IR. Como o plano passa no ponto de coor- denadas (0, 0, 0) , obtemos d = 0. Ou seja, uma equação do plano pedido é: 5 x + 2 y + 2 z = 0

b) Um plano perpendicular à reta QN é paralelo ao plano yOz. Portanto, o plano pedido pode ser definido por uma equação da forma x = k. Como o ponto V tem abcissa 2, uma condição cartesiana do plano perpendicular à reta QN e que passa no ponto V é x = 2.

c) A reta é perpendicular ao plano QTV , pelo que um vetor normal ao plano é um vetor diretor da reta. Por- tanto, o vetor de coordenadas (5, 2, 2) é um vetor diretor da reta. As coordenadas do ponto U , que per- tence à reta, são (4, –4, –4). Portanto:

^ x^ – 5

^4 = ^ y^ + 2

^4 = ^ z^ + 2

^4

são equações cartesianas da reta.

38 Geometria no plano e no espaço II – Geometria analítica

z

y

x

V

N

Q P

U

R

T

S

O

d) O centro da superfície esférica tem coordenadas (4, –4, –4) , pelo esta admite a equação ( x – 4)^2 + ( y + 4)^2 + ( z + 4)^2 = r^2 , sendo r o respetivo raio. Substituindo as coordenadas do ponto T (4, 0, –4) na equação, obtemos: (4 – 4)^2 + (0 + 4)^2 + (–4 + 4)^2 = r^2 ⇔ r^2 = 16

Portanto, uma equação cartesiana da superfície esférica é: ( x – 4)^2 + ( y + 4)^2 + ( z + 4)^2 = 16

2.2 Designando por z a cota do ponto A , temos A (4, –4, z ). Temos ainda

OA (4, –4, z ) e

OT (4, 0, –4). Portanto: → OA ·

OT = 8 ⇔ (4, –4, z ).^ (4, 0, –4) = 8 ⇔ 16 – 4 z = 8 ⇔ 4 z = 8 ⇔ z = 2

Em conclusão, a cota de A é 2.

2.3 O volume do poliedro [ VNOPQURST ] pode obter-se como soma do volume do cubo [ NOPQURST ] com o volume da pirâmide [ VNOPQ ]. Comecemos por determinar o volume do cubo: 4 3 = 64. Para se determinar o volume da pirâmide é necessário conhecer a sua altura, que é igual à cota de V. Desig- nando por z essa cota, temos V (2, –2, z ). Ora, o plano QTV admite a equação 5 x + 2 y + 2 z = 12 e passa no ponto V. Substituindo as coordenadas de V na equação, obtemos z :

5 × 2 + 2 × (–2) + 2 z = 12 ⇔ 2 z = 6 ⇔ z = 3

Portanto, a altura da pirâmide é 3 e o seu volume é dado por ^4 ×^4 3

^ ×^3 = 16.

Em conclusão, o volume do poliedro é 64 + 16 = 80. in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, janeiro de 2011.

3. Na figura está representado o quadrado [ ABCD ].

Sabe-se que:

- o ponto I é o ponto médio do lado [ DC ]. - o ponto J é o ponto médio do lado [ BC ].

Prova que

AI ·

AJ = ||

AB ||^2.

Sugestão: Começa por exprimir cada um dos vetores

AI e

AJ

como soma de dois vetores.

in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, janeiro de 2011.

39

A B

D (^) I C

J

3. Sendo P um ponto genérico do plano tangente a uma esfera de centro C num ponto S da sua superfície, qual das seguintes equações define esse plano?

(A)

SC ·

PC = 0

(B)

CS ·

SP = 0

(C)

CP ·

SP = 0

(D)

CP ·

CS = 0

4. Considera, num referencial o.n. xOy , a reta r de equação y = –  2

(^1)  x +  3 5

Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1, 4). Qual é a equação reduzida da reta s?

(A) y = 2 x + 2 (B) y = –2 x + 6

(C) y = –2 x +  3

(D) y = 2 x + ^3 5

in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, janeiro de 2009.

5. Considera, num referencial o.n. xOy , as retas r e s definidas, respetivamente por:

r : ( x , y ) = (1, 3) + k (2, 0) , k  IR s : y =  4

(^3)  x + 1

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas retas (valor arredondado às unidades)?

(A) 37 o (B) 39 o (C) 41 o (D) 43 o in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, janeiro de 2010.

6. Considera, num referencial o.n. Oxyz , a superfície esférica de equação x^2 + y^2 + ( z – 2)^2 = 4.

A interseção desta superfície com o plano xOy é:

(A) o conjunto vazio. (B) um ponto. (C) uma circunferência. (D) um círculo. in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, janeiro de 2009.

41

7. Num referencial o.n. Oxyz , sejam α e β os planos definidos pelas equações: α : x + y – z = 1 e β : 2 x + 2 y – 2 z = 1 A interseção dos planos α e β é: (A) o conjunto vazio. (B) um ponto. (C) uma reta. (D) um plano. in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, janeiro de 2008.
8. Considera, num referencial o.n. Oxyz , a reta r e o plano α , definidos, respetivamente por:

r : x =  2

y  =  3

z  e α : 3 x – z = O

Qual é a interseção da reta r com o plano α? (A) É o ponto (0, 2, 3). (B) É o ponto (0, 0, 0). (C) É o conjunto vazio. (D) É a reta r. in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, janeiro de 2010.

9. Considera, num referencial o.n. Oxyz , a reta r definida por: ( x , y , z ) = (1, 2, 3) + k (0, 0, 1) , k  IR Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta r? (A) ( x , y , z ) = (1, 2, 3) + k (0, 1, 0) , k  IR (B) ( x , y , z ) = (0, 0, 1) + k (1, 2, 3) , k  IR (C) x = 2 ∧ y = 1 (D) x = 2 ∧ z = 1 in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, maio de 2008.
10. Considera, num referencial o.n. xOy , a reta r de equação y = 2 x.

Qual das seguintes é uma equação para a reta s que passa pelo ponto (5, 0) e é perpendicular à reta r?

(A) y = –  2

(^1)  x –  5 2

(B) y =  2

(^1)  x +  3 2

(C) y = 2 x + 4

(D) y = –  2

(^1)  x +  5 2

Adaptado de Prova Específica de Matemática , IST, 2.a^ chamada, 1989/1990.

42 Geometria no plano e no espaço II – Geometria analítica

16. Num referencial ortonormado do plano, as retas r : y =  3

(^2)  x + 3 e s : –2 x + 3 y –3 = 0 são:

(A) paralelas. (B) concorrentes no ponto (3, 2). (C) perpendiculares. (D) concorrentes no ponto (0, 3).

17. Qual é o valor de m de modo que a reta definida por r : ^ –^ x 2

+ 1 = ^ y m

• 1  =  z – 2

^1 seja perpendicular ao plano α de equação –4 x + 8 y + 4 z = 0? (A) – (B) 1 (C) 4 (D) –

18. Na figura ao lado está representada a região admissível de um pro- blema de programação linear. Esta região corresponde ao sistema x ≥ 0 y ≥ 0 x ≤ 5 y ≤ 6 2 x + y ≤ 12

Qual é o valor máximo que a função objetivo, definida por z = x + y , pode alcançar nesta região? (A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13 in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, maio de 2007.

19. Num certo problema de programação linear pretende-se minimizar a função objetivo, a qual é definida por L = 2 x + y. Na figura está representada a região admissível. Numa das opções seguintes está a solução desse problema. Em qual delas?

(A) x = 1 e y = 1 (B) x = 0 e y = 2 (C) x = 3 e y = 1 (D) x = 0 e y = 1 in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, janeiro de 2011.

44 Geometria no plano e no espaço II – Geometria analítica

O x

y

O x

y

1

2

4

1 3



20. Considera o seguinte problema:

Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga. Bebida X: com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga. Bebida Y: com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga. Para confecionar estas bebidas, a frutaria dispõe diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros de sumo de manga. Cada litro de bebida X dá um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y dá um lucro de 5 euros. Supondo que a frutaria vende diariamente toda a produção destas bebidas, quantos litros de bebida X e quantos litros de bebida Y deve confecionar por dia, para maximizar o lucro? Sendo x o número de litros de bebida X e sendo y o número de litros de bebida Y, qual das opções seguintes tra- duz corretamente este problema?

(A) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a: x ≥ 0 y ≥ 0

 2

x  +  2 3

y  ≤ 12

x  +  3

y  ≤ 10

(B) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a: x ≥ 0 y ≥ 0

 2

x  +  2 3

y  ≤ 5

x  +  3

y  ≤ 4

(C) Maximizar 4 x + 5 y sujeito a: x ≥ 0 y ≥ 0 x + 2 y ≤ 12 x + y ≤ 10

(D) Maximizar 12 x + 10 y sujeito a: x ≥ 0 y ≥ 0 x + 2 y ≤ 5 x + y ≤ 4

in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, janeiro de 2008.

45









4. Na figura está representada, num referencial o.n. Oxyz , parte de um plano ABC.

Cada um dos pontos A , B e C pertence a um eixo coordenado. O plano ABC é definido pela equação 6 x + 3 y + 4 z = 12. Seja r a reta que passa no ponto A e é perpendicular ao plano ABC. Determina uma equação vetorial da reta r. in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, maio de 2010.

5. Considera, num referencial o.n. Oxyz , a superfície esférica E , de equação x^2 + y^2 + ( z – 2)^2 = 4.

Para um certo valor de α pertencente ao intervalo (^) 0, ^ π 2

, o ponto P , de coordenadas (tg α , sen α , 2 + cos α) , pertence à superfície esférica E. Determina os valores numéricos das coordenadas do ponto P. in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, maio de 2010.

6. Em relação a um referencial cartesiano, ortogonal e monométrico, considera os pontos A (2, 0) , B (0, 3) e C (–3, 1).

a) Escreve uma equação da reta que interseta os eixos coordenados nos pontos A e B.

b) Mostra que x^2 + y^2 – 2 x – 3 y = 0 é uma equação da circunferência de diâmetro [ AB ].

c) Prova, por via analítica, que o triângulo [ ABC ] é retângulo isósceles. in Prova Escrita de Matemática , Curso Complementar Liceal, 1. a^ época, 2. a^ chamada, 1980.

z

y

x

O (^) B

C

A

47

7. No referencial ortonormado de origem O , a reta AB tem declive 1 e ordenada na origem –3.

a) Calcula a distância da origem à reta AB. b) Sabendo que [ AB ] é diâmetro do semicírculo colorido, define analiticamente esse semicírculo, incluindo o contorno. c) Escreve uma equação vetorial da reta que passa em A e é tangente à circunferência de diâmetro [ AB ]. d) Determina k , real, de modo que o vetor v^ →(2 k , 1 – k ) tenha norma 1 e faça com

AB um ângulo de 45o^ de amplitude. in Prova Escrita de Matemática , Cursos Complementares Técnicos Noturnos, 2.a^ fase, 1984.

8. Relativamente ao referencial ortonormado da figura seguinte sabe-se que: - A (–4, 0) , B (0, 2) ; - AB ⊥ BC ; DE//BC - AD é um arco de circunferência com centro em O.

a) Mostra que a reta AB pode ser definida pela equação x – 2 y + 4 = 0. b) Determina as coordenadas do ponto C. c) Indica um vetor diretor da reta DE. d) Define analiticamente a região colorida, incluindo a fronteira. in Prova Escrita de Matemática , Cursos Complementares Técnicos Noturnos, 2.a^ fase, 1985.

O x

y

B

A

O x

y

A C E

B

D

48 Geometria no plano e no espaço II – Geometria analítica

12. Relativamente a um referencial ortonormado são dados os pontos A (–2, 2) , B (1, 5) e C (6, 0).

a) Mostra, por via analítica, que o triângulo [ ABC ] é retângulo. b) Escreve uma equação da circunferência de centro B , tangente à reta AC. c) Averigua se o ponto B pertence ao conjunto dos pontos do plano definido por: ( x , y ) = (–1, –1) + λ(1, 3) , λ  IR in Prova Escrita de Matemática , Ensino secundário, 2. a^ fase, 1985.

13. O quadrado [ MNOP ] representado na figura seguinte tem um vértice na origem dos eixos coordenados e outro no ponto (3, 0). A circunferência de centro C está inscrita no quadrado.

a) Indica as coordenadas dos vértices P e M e do centro C. b) Define analiticamente o domínio plano representado a encarnado. c) Escreve uma equação vetorial de cada uma das retas que contém uma diagonal do quadrado. in Prova Escrita de Matemática , Cursos Complementares Diurnos (11.o^ ano), Curso Complementar Liceal Noturno, 1. a^ fase, 2. a^ chamada, 1991.

14. Considera no plano um referencial cartesiano ortonormado de origem O e os pontos A , de coordenadas ( a , 0) , e B , de coordenadas (0, b ) , com a ≠ 0 e b ≠ 0. Seja M o ponto médio do segmento de reta [ AB ]. a) Determina as coordenadas dos vetores u^ →^ e v^ →^ definidos pelos segmentos orientados [ A , B ] e [ O , M ] e mostra que || u^ →|| = 2|| v^ →||. b) Determina equações cartesianas da reta definida pelos pontos A e B e da reta determinada pelos pontos O e M , no caso em que a = – 2 (^3)  e b = 2. Determina a amplitude do ângulo dessas duas retas, em radianos, usando o produto escalar dos vetores u^ →^ e v^ →^. Adaptado de Prova Específica de Matemática , 1.a^ chamada, 1989/1990.

O

3

x

y

N

P M

C

50 Geometria no plano e no espaço II – Geometria analítica

15. Considerando os pontos A e B definidos, em relação a um certo referencial cartesiano ortonormado fixo num plano, pelas coordenadas (1, 3) e (3, 5) , respetivamente, escreve: a) uma equação cartesiana da reta definida por A e B ; b) uma equação cartesiana da reta paralela à reta definida por A e B , mas que passa pela origem; c) uma equação da circunferência de diâmetro [ AB ] ; d) uma equação da reta tangente à circunferência referida na alínea anterior, no ponto B. in Prova Específica de Matemática , C.E.U.L., 1.a^ chamada, 1989/1990.
16. Considera, relativamente a um referencial cartesiano ortonormado, os pontos A (2, 1) , B (3, 4) e C (5, 0).

16.1 Determina uma equação cartesiana: a) da reta AB ; b) da circunferência de centro C e raio ⏐⏐

AC ⏐⏐.

16.2 Mostra que é retângulo em A o triângulo [ ABC ].

17.1 Determina k de modo a que sejam colineares os seguintes três pontos M , N e P : M (1, 3) , N (–2, 1) e P (2 + k , k – 1) 17.2 Dada a família de retas definidas pela equação (3 p + 5) x + (2 p – 3) y = 12 p + 1 , p  IR\ 2

a) determina a reta que passa no ponto A (2, 3) ; b) mostra que as retas da família são concorrentes em um, e só um, ponto. in Coleção Editora , 3.o^ ciclo, exercício n. o^ 11, 1968–1969.

18. Na figura está representada, em referencial o. n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular. Admite que o vértice E se desloca no semieixo positivo Oz , entre a origem e o ponto de cota 6, nunca coincidindo com qual- quer um destes dois pontos. Com o movimento do vértice E , os outros quatro vértices da pirâmide desolocam-se no plano xOy , de tal forma que: - a pirâmide permanece sempre regular; - o vértice A tem sempre abcissa igual à ordenada; - sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E , tem-se sem- pre x + c = 6. Admite agora que x = 1. Indica, para este caso, as coordenadas dos pontos A , B e E e determina uma equação cartesiana do plano ABE. in Teste Intermédio de Matemática , 11.o^ ano, maio de 2008.

51

z

y

x

O

B

E (0, 0, c )

D A

C

( x , x , 0)