Baixe Funções: Conceitos, Tipos e Aplicações - Unidade II e outras Exercícios em PDF para Matemática Aplicada, somente na Docsity!
Unidade II
Unidade II
Funções
É muito comum, no nosso cotidiano, estabelecermos relações entre duas ou mais grandezas. Por exemplo, quando vamos abastecer o carro, o preço que pagamos pelo combustível depende da quantidade de litros colocada no tanque.
Podemos aplicar o conceito de função em diversas áreas e, de acordo com as grandezas estudadas e os tipos de funções, é possível analisar como uma grandeza varia em função de outra. E com o gráfico de uma função, podemos interpretar as informações e tomar decisões importantes.
3 DeFinição De Função
Dados dois conjuntos não vazios A e B , uma relação f de A x B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagem em B se, e somente se, para todo x ∈ A existe um só y ∈ B , tal que (x,y) ∈ f.
observação
A sentença “f é função de A em B” pode ser indicada por f: A → B.
Com o auxílio do diagrama de flechas, vamos analisar as condições para que uma relação f seja uma função:
a) É necessário que todo elemento x ∈ A participe de pelo menos um par (x,y) ∈ f , isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida da flecha.
f é função
A B
Figura 25
MateMátIca aplIcada
Lembrete
Se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma, então f não é função.
f não é função
A B
Figura 26
b) É necessário que cada elemento x ∈ A participe de um só par (x,y ) ∈ f , isto é, de cada elemento de A parte uma única flecha.
f é função
A B
Figura 27
Lembrete
Se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas, então f não é função.
f não é função
A B
Figura 28
MateMátIca aplIcada
f não é função
A B
4 • 16 •
Figura 31
Existe elemento em A que está associado a mais de um elemento em B.
3.1 Domínio – contradomínio – imagem de uma função
Toda função f é uma relação binária de AxB , portanto, tem um domínio e uma imagem.
Chama-se domínio de f o conjunto D dos elementos x ∈ A para os quais existe y ∈ B , tal que (x,y) ∈ f. Pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade. Portanto, nas funções, temos:
domínio = conjunto de partida
D = A
Chama-se imagem de f o conjunto Im dos elementos y ∈ B para os quais existe x ∈ A , tais que (x,y) ∈ f , portanto:
Imagem é subconjunto do contradomínio:
Im ⊂ B
Domínio Contradomínio
Imagem
A B
Figura 32
Lembrete
O domínio de uma função é, também, chamado campo de definição ou campo de existência de uma função.
Unidade II
observação
Feita a representação gráfica da função f , temos que Domínio (D) é o conjunto das abscissas, e Imagem (Im) é o conjunto das ordenadas.
Importante: ao estudarmos uma função definida em conjuntos numéricos e com lei de formação algébrica sem domínio indicado, devemos considerar como domínio todos os valores reais de x que tornam possíveis as operações indicadas na lei de formação no conjunto dos números reais.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2) e B = {1, 3, 5, 7}, determine o domínio, contradomínio e imagem da função f: A → B definida pela lei f(x) = 2x + 1.
Solução:
Usando o esquema de diagramas, temos:
A 0 • B 1 • 2 •
Figura 33
Domínio: D(f) = A = {0, 1, 2}
Contradomínio: CD(f) = B = {1, 3, 5, 7} e Imagem: Im(f) = {1, 3, 5}
2) Dada a função y = x² - 5x +2 , função f: ℝ → ℝ, calcule os valores de x , tal que f(x) = -.
Solução:
Substituindo f(x) = -4 em f(x) = x² - 5x + 2, obtemos:
-4 = x² - 5x + 2
x² - 5x + 6 = 0
∆ = b² -4ac = 25 – 24 = 1
Unidade II
observação
Para que exista a função de A em B , cada elemento x do conjunto A deve estar associado a um único elemento y de B.
Lembrete
Para descobrir se um gráfico representa uma função, faça o seguinte: trace retas perpendiculares ao eixo x. Se qualquer dessas retas cortar o gráfico em um único ponto do domínio, então o gráfico representará uma função.
Exemplos:
1) A relação f , representada no diagrama a seguir, tem domínio:
D = {x ∈ ℝ | - 1 ≤ x ≤ 2} e é função pois toda reta perpendicular ao eixo x encontra o gráfico da função f num só ponto.
y
2 x
Figura 35
2) A relação f , representada no diagrama a seguir tem domínio D = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 2} e não é função pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pontos:
y
0 2 x
Figura 36
MateMátIca aplIcada
observação
Duas funções f e g são iguais quando, e somente quando, têm o mesmo domínio D e f(x) = g(x), para todo x ∈ D.
Exemplo:
1) As funções f(x) = √ x^4 ⁴ e g(x) = x² , de ℝ em ℝ, são iguais, pois √ x⁴ = x², ∀ x ∈ ℝ.
2) As funções f(x) = x e g(x) (^) = ____ x² x
são iguais somente se tomarmos como
domínio de ambas um conjunto D , tal que 0 ∉ D.
3.3 Função constante
Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função constante quando, a cada elemento x ∈ R, associa sempre o mesmo elemento c ∈ ℝ.
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x e passando pelo ponto ( 0,c ).
Sua imagem é o conjunto Im = {c}
f: x → c y
x
c
0 Figura 37
Exemplo:
- Construa o gráfico da função f(x) = 3 , se 0 ≤ x ≤ 2 e f(x) = 1 , se 2 ≤ x ≤ 3.
Solução:
y
x
1
3
0 2 3 Figura 38
MateMátIca aplIcada
3.5 Função linear afim
Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função linear afim quando associa, a cada x ∈ ℝ, o elemento (ax + b) ∈ ℝ, onde a ≠ 0. Isto significa que:
(x, ax + b) ∈ f, ∀ x ∈ ℝ
A função linear afim é indicada por f: x → ax + b com (a ≠ 0).
O gráfico da função afim é uma reta. A imagem da função afim é o conjunto Im = ℝ.
A função afim é crescente se, e somente se, a > 0. E decrescente, se e somente se, a < 0.
Exemplo:
f:x → 2x + 1
Tabela 2
x y = 2x - 1 0 - 1 1
y
(^0 1) x
1
Figura 41
3.6 Função quadrática
Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função quadrática ou função do 2º grau quando associa, a cada x ∈ ℝ, o elemento (ax² + bx + c) ∈ ℝ, a ≠ 0. Isto significa que: (x, ax² + bx +c) ∈ f , ∀ x ∈ ℝ.
O gráfico da função quadrática é uma parábola cujo eixo de simetria é perpendicular ao eixo x.
Unidade II
x” x’
Eixo de simetria
Vértice
Figura 42
Se a > 0 , a parábola representativa da função quadrática tem a concavidade voltada para cima.
Se a < 0 , a parábola representativa da função quadrática tem a concavidade voltada para baixo.
a < 0 a > 0
Figura 43 Figura 44
3.7 Raízes da função
As raízes (ou zeros) da função quadrática são os valores de x para os quais se tem f(x) = 0. Determinam-se as raízes da função resolvendo-se a equação do 2º grau ax² + bx + c.
A fórmula para resolução das equações do 2º grau é dada por:
x
b a
= onde b ac
Importante:
1) Quando ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e distintas:
x’’ x’ x^ x’’^ x’^ x
x
b b ac a
Figura 45 Figura 46
Unidade II
Portanto, (^) Yv a
Abscissa (Xv):
Na função y = ax² + bx + c , vamos substituir y por YV =Yv a
Temos: Yv = ax² + bx + c
− = + +
2
2
a
ax bx c
a b ac a
M
ax + bx + c +
ax + bx + c +
2
(^2) ( .. M C. = 4 a)
Então,
2 2 2
2 2 2
2
a x abx ac
a x abx b
Temos b ac
+b - 4ac = 0
Então,
∆ = (4ab)² - 4(4a²)(b²)
∆ = 16a²b² - 16a²b²
∆ = 0, ou seja, (^) Xv
ab a
b a
porta to Xv
b a
n
Conclusão: a coordenada do vértice da parábola é V
b a a
Importante:
- Quando a > 0 , dizemos que a função tem seu valor mínimo dado por V
b a a
e temos que
o conjunto imagem é dado por Im(f) = {y ∈ RV | y b≥ a a
MateMátIca aplIcada
y
(^0) x
lm(f)
V
1
−∆ 4a
Figura 51
2) Quando a < 0 , dizemos que a função tem seu valor máximo dado por (^) V b a a
∆ (^) e temos que
o conjunto imagem é dado por Im(f) = {y ∈ R | y ≤ −∆ 4a
y
x lm(fx)
−∆ V 4a
Figura 52
Exemplos:
1) Construa o gráfico cartesiano da função y = 2x² - 5x + 2.
Solução:
1º passo: verificar o sinal de a , para saber o sentido da concavidade.
Temos a = 2, como a > 0, então a concavidade está voltada para cima.
2º passo: calcular as raízes da função para sabermos em quais pontos a parábola corta o eixo x.
Devemos fazer y = 0, isto é, 2x² - 5x + 2 = 0
∆ = b² - 4ac = (-5)² - 4(2)(2) = 25 – 16 = 9, como ∆ > 0, temos duas raízes distintas:
MateMátIca aplIcada
3) Determine m , de modo que o valor mínimo da função y = x² - 4x + m seja – 1.
Solução:
Temos ∆ = b² - 4ac ⇨ ∆ = 16 – 4m
Fazendo
a
vem
m ,
⇨ - 16 + 4m = - 4 ⇨ m = 3
saiba mais
Para mais informações sobre a teoria dos conjuntos e das funções, você pode consultar o livroTeoria elementar das funções, do professor Mauricio Zahn, pela Editora Ciência Moderna.
4 ApLicAções
4.1 Demanda e oferta de mercado
Mercado é um conjunto de dispositivos que permitem que compradores e vendedores de um bem ou serviço entrem em contato para comercializá-lo.
A função demanda de um determinado consumidor por um bem X é aquela que mostra os preços de X referentes à quantidade que a pessoa deseja comprar. Em outras palavras, a demanda indica o preço máximo que esse consumidor está disposto a pagar por cada uma das unidades de X. É uma função de 1º grau decrescente, representada por:
Qd= - a(P) + b
Onde Qd é a quantidade de demanda por unidade de tempo, e P é o preço do bem.
O gráfico de P em função de x é conhecido como de curva de demanda.
observação
A demanda se refere apenas ao desejo de adquirir um determinado bem, e não à consumação de tal desejo, senão seria caracterizado como consumo.
Normalmente, a declividade de uma curva de demanda é negativa, isto é, à medida que o preço aumenta, a quantidade procurada diminui e à medida que o preço diminui, a quantidade procurada aumenta.
Unidade II
observação
Em certos casos, a declividade de uma curva de demanda pode ser nula, isto é, o preço é constante, independentemente da demanda.
P
K D
0 x(t)
P
X
Figura 54
No eixo das abscissas, foi colocado x(t) fazendo referência à definição da demanda por unidade de tempo. Pode ser uma demanda mensal, semestral etc.
Importante: a demanda descreve o comportamento do consumidor diante dos diferentes preços. É composta por um conjunto de pares de preços e quantidades demandadas. A quantidade demandada só faz sentido se referente a um determinado preço. Por exemplo: o gráfico mostra que o preço é P1 , e o consumidor deseja comprar X1. Então, quando o preço for P1 , a quantidade demandada será X.
Portanto, quando se fala de aumento da demanda, toda a curva é movida para a direita. Uma variação na quantidade demandada faz referência a um movimento ao longo da curva de demanda. Se o desejo é determinar a demanda de mercado, as demandas individuais são somadas em forma horizontal.
A curva de demanda de mercado mostra a relação entre a quantidade demandada de um bem por todos os indivíduos e seu preço, mantendo constantes outros fatores, tais como: gosto, renda, preço de bens relacionados etc.
A função oferta de determinado produtor de um bem X é aquela que mostra cada um dos preços de X e a quantidade que se deseja vender. Em outras palavras, a oferta indica o preço mínimo que o produtor está disposto a receber por cada uma das unidades de X. É uma função de 1º grau crescente, que representa a relação entre o preço do bem P e a quantidade ofertada X , dada por:
P = g(x)
O gráfico de P em função de x é conhecido como de curva de oferta.
Unidade II
4.2 preço e quantidade de equilíbrio
O preço de equilíbrio e a quantidade oferecida e demandada (comprada e vendida) denomina-se quantidade de equilíbrio. Costuma-se também dizer que o preço de equilíbrio zera o mercado.
Na situação de equilíbrio, igualam-se as quantidades oferecidas e demandadas. No gráfico, é o ponto E de intersecção entre a curva de demanda e a curva de oferta:
P2 (^) E S
0 Q
Pe
P
P Excesso de oferta S = oferta
D = demanda Excesso de demanda
Qs1 Qd2 Qe Qs2 Qd Figura 56
Quando o preço é maior que o de equilíbrio (P2 > Pe) , a quantidade que os produtores desejam oferecer excede a quantidade que os demandantes desejam adquirir (Qs2 > Qd2) , provocando um excesso de oferta.
Ao contrário, se o preço é menor que o de equilíbrio (P1 < Pe) , a quantidade que o demandante deseja adquirir é maior que a oferecida pelos produtores (Qd1 > Qs1) , provocando o excesso de demanda.
Assim, podemos ver que quando há o aumento do preço de um produto, aumenta também o estímulo para a fabricação desse bem. Quando a quantidade desse bem se normaliza no mercado, há a redução de seu preço, estimulando a demanda e desestimulando a vontade dos fabricantes de produzi-lo.
Essas forças de mercado vivem em conflito, fazendo com que o preço dos produtos seja regido pela oferta, que oferecerá pouco para esse elevar-se, e pela demanda, que almejará muitos produtos para que esse chegue a preços mais acessíveis. Essa lei econômica serve para qualquer produto.
4.3 Receita total
Considerando x a quantidade vendida de um produto e p(x) o preço do produto x , calcula-se a receita total ℝT multiplicando o preço de venda pela quantidade vendida.
A função da receita total é dada pela sentança ℝT(x) = p(x) • x
MateMátIca aplIcada
P
0 q X
p
RT
Figura 57
observação
A receita total ℝT = p • q é traduzida pela área do retângulo entre a origem e o ponto de coordenadas ( q,p ).
4.4 custo total
Chamamos de custo o gasto relativo ao bem ou serviço utilizado na produção de outros bens ou serviços. Os custos fixos são aqueles custos que não variam em função das alterações dos níveis de produção da empresa. A classificação variável aplica-se ao custo que demonstra um comportamento dependente exclusivamente das variações do nível de produção. O custo total é a somatória dos vários custos incorridos pela empresa.
Em outras palavras, o Custo Total ( CT ) da produção de uma empresa tem dois componentes: o Custo Fixo ( CF ), que deve ser pago independentemente da quantidade produzida, e o Custo Variável ( CV ), que varia conforme o nível de produção. Sendo x a quantidade produzida, o custo variável depende de x.
A fórmula do custo total é, de forma simplificada, uma função linear:
CT = Cf + Cv(x)
O custo unitário ou custo médio pode ser definido pela relação entre os custos totais e a quantidade de produto. Obtém-se o custo unitário de acordo com a fórmula a seguir:
Cm
CT
n
Onde:
- Cm = custo unitário ou custo médio;
- CT = custo total;
- n = número de unidades produzidas.
