Matemática Básica - Aprenda do zero., Exercícios de Matemática

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Sumário

Aula 01

Matemática Básica

Para podermos nos comunicar, por escrito, precisamos do alfabeto, sílabas, palavras, frases, vírgulas,

pontos, etc. Semelhantemente, na matemática precisamos dos algarismos, números, símbolos, sinais,

prioridades e propriedades nas operações para que possamos equacionar, criar fórmulas, realizar cálculos

tão necessários em nosso quotidiano e em todas as atividades que realizamos. Mesmo quando usamos a

calculadora ou computador, precisamos de conhecimento básico de matemática para o uso adequado

destes instrumentos e nos procedimentos a serem seguidos.

1. Conjuntos Numéricos

O conjunto dos números Reais (R) é o que melhor atende a solução dos problemas básicos de nosso

quotidiano e é composto pelos seguintes subconjuntos:

1.1. Conjunto dos Naturais

N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,...}

1.2. Conjunto dos Inteiros Relativos – Negativos e Positivos

Z = {... − 3 ,− 2 ,− 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ...}

1.3. Conjunto dos Racionais

Q = {... − 3 ...− 2 ...− 1 ... 0 ... 1 ... 2 ... 3 ...}

1.4. Conjunto dos Irracionais

I ={...^ − 2 ... 2 ... 3 ... π...^ }

1.5. Conjunto dos Reais

Juntando: N, Z, Q, I formamos o conjunto dos Reais (R). Note que:

R

I

N Z Q

ou ( Q ∪ I )⊂ R

está contido

N

Z

Q

I

R

Obs .: Não conseguimos escrever na forma de fração

Obs .: Conseguimos escrever na forma de fração decimal exatas, dizimas periódicas simples e compostas.

Aula 02

Nos símbolos de multiplicação e divisão podemos usar:

÷ = = ⋅

−

b

a

b

a

a b a b a b

axb a b ab 1 /

2.1.3. Propriedades Básicas para Realizar Operações no Conjunto dos Reais.

1º) Todo o número elevado ao expoente zero vale (1).

Veja:

0 = ; ( 2 ) 1

0 − = ; 1 5

0

^ = 

; ( 2 ) 1

0

2º) Não tem divisão de número por zero

Veja:

= ( impossível, confira na calculadora ).

3º) Zero dividido por qualquer número dá zero.

Veja:

= ( confira na calculadora ).

4º) Não tem raiz quadrada ou de índice par de números negativos.

a R n − ∉

− 4 ∉ R

Não pertence ao conjunto dos Reais

Não tem solução em R

Índice (2) não se escreve

Índice par

0 a =

impossível

a

a

Divisão

Deixar o sinal negativo da fração, quando tiver, sempre no numerador.

Multiplicação

Aula 02

− ∉ R

4 4

Obs. Cuidado, se o índice for impar, tem raiz. Veja:

5º) Um número negativo elevado ao quadrado ou expoente par, o resultado fica positivo.

expoente par

Maior que zero (positivo)

Veja:

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 4 4

2 − = − ⋅− =+ =

( 3 ) 81

4 − =

Cuidado: ( )

(^2 ) − 2 ≠− 2

É diferente, pois:

( ) ( ) ( )



2

2

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 8

3 − = − ⋅− ⋅ − =− (número negativo elevado ao expoente impar, o resultado fica

negativo).

6º) Potência de potência, multiplicamos os expoentes.

Veja:

15

8 5

4 3

5 2

4

3

2

−  

  

⋅ −

−

7º) Uma potência troca de sinal quando muda de posição subindo para o numerador ou descendo

para o denominador.

Veja:

a) (^3)

3 2

−

b)

5 5 3 3

Índice impar

Índice par

( ) m n mn a a ⋅ =

n

n a

a = (^) −

n

n a

a

−

( (^) − ) (^) > 0

n a

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Divide 20 pelo denominador 4 e a resposta que dá ( 5 ) multiplica pelo numerador 2 dando 10 etc.

Ao simplificar (^)  

você deve dividir o numerador e o denominador por um mesmo número.

b) 60

m.m.c de 15 e 12:

Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60

c) 5

− + lembre que 1

− = logo, o m.m.c de 2, 1, 5 é:

Logo: m.m.c = 2 ∙ 5 = 10

11º) Para multiplicação de frações, multiplicamos numerador pelo numerador e denominador pelo

denominador. Veja:

a) 15

b) 7

Lembre que 1

÷ 4

c) 15

÷ 4

Aula 02

12º) Para dividir frações multiplicamos a 1º fração pela inversa da 2ª fração. Veja:

÷ 2

a) 6

÷ = ⋅ = ou 6

÷ 2

b) 2

÷ lembre que 1

c) ( ) 15

÷− =

lembre que -3 = 1

13º) Na multiplicação de potências de mesma base permanece a base e somam-se os expoentes m n m n a a a

⋅ ⋅ = (a = base; m e n = expoentes). Veja:

a) 5 7 57 12 3 ⋅ 3 = 3 = 3

b) 15 15

1 15

910 3

2 5

3 3

2 5

3 2 ⋅ 2 = 2 = 2 = 2 = 2

− − −

c) 2

1 2

1 2

21 2

1 1 2

1 1

^ = 

−+ − − −+

d) 2 12 212 10 10 10 10 10 − − − ⋅ = =

14º) Na divisão de potências de mesma base permanece a base e subtraem-se os expoentes m n m n a a a − ÷ = (a = base; m e n = expoentes). Veja:

a) 9

5 7 57 2 ÷ = = = =

− −

b)

73 10 3

7 5 5 5

− = =

c)

15

2 15

1012 5

4 3

2 5

4 3

2 5

4 3

2

 ÷

− +

−  

  

− − −− −

d) 1015 5 15

10 10 10 10

15º) Decimal Exata: valor resultante de uma operação divisão de resto zero. Veja:

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17º) Dízima Periódica Composta: Valor resultante de uma operação que não dá exata e depois da

vírgula aparece uma parte que não se repete (parte não periódica) seguida de um período (parte que

se repete). Veja:

Parte não periódica (que não se repete) (4)

a) 0,4333...

Parte periódica (que se repete) (3)

Não periódica (23)

b) 2,23717171...

Periódica (71)

Para obter a fração que deu origem (geratriz) de uma dízima periódica composta, fazemos:

Numerador: colocamos a parte não periódica seguida de um período menor, a parte não periódica. Denominador: colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Veja: Parte não periódica Periódica Parte não periódica

a) 30

Parte não periódica (23) Período (71)

b) 2475

Parte inteira não entra na regra (2) 2475

Um zero só, pois a parte não periódica só é constituída de um algarismo que é o 4.

Um nove só, pois a parte periódica só é constituída de um algarismo que é o 3.

Aula 03

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

3. Operações e Suas Inversas

Para resolver problemas e calcular valores desconhecidos denominados incógnitas ou variáveis

necessitamos conhecer algumas regras de relação entre as operações. Assim temos:

Para isolar vaiáveis determinando assim seus valores, fazemos operações inversas. Para trocar de

membro um valor qualquer, fazemos operação inversa. É errado dizer que trocamos de sinal quando

passamos para outro membro. O certo é dizer que fazemos operação inversa.

3.1. Regra das Operações Adição e Subtração

Veja os exemplos:

a) x + 4 = 12 : isolando o x, passamos o ( + 4 ) que está fazendo adição(somando) com o ( x ) para o

segundo membro fazendo operação inversa, isto é, subtração. Logo:

x = 12 – 4

Adição (^) Subtração

Multiplicação Divisão

Potenciação Radiciação Logaritmação

1º Membro à esquerda da igualdade

2º Membro à direita = da igualdade.

inversa

inversa

Adição Subtração

Aula 03

inversa

inversa

inversa

inversa

Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24

8 x 16 x

− 8 x − 12 x =− 16 − 12 − 48 ⇒Passamos os termos semelhantes em x para o 1º membro e os

números para o 2º membro fazendo operações inversas.

− 20 x =− 76 ⇒Multiplicando por (-1) ambos os membros temos. − 20 x =− 76 (-1) 20 x = 76 ⇒Isolando o x, passamos o (+ 20) que está multiplicando o x para o 2º membro dividindo

e depois simplificamos: 5

x =

3.3. Regra das operações Potenciação – Radiciação - Logaritmação

Determinar (b) é calcular o logaritmo (log)

a c

b

Determinar o (c) é calcular a potência Determinar o (a) é calcular a raiz

(isola a potência)

= ⇒ = b ⇒Radiciação b x c x c (isola a base)

Aplicando radiciação (^) ( b^ c )em ambos os membros para isolar o x, temos:

b b (^) b x = c

/ de onde obtemos:

b x = c

Logaritmaç ão log

log = ⇒ = ⇒ a

b a b x x (isola o expoente)

Mesmo denominador em ambos os membros podemos simplificar.

= ⇒Potenciação b x a

Potenciação Radiciação Logaritmação

Aula 03

Aplicando logaritmação (log) em ambos os membros para isolar o x, temos: (^) a b x log = log onde,

usando uma propriedade dos logaritmos, podemos escrever x log a = log b de onde obtemos:

a

b x log

log = (^).

Propriedades dos logaritmos.

Quando a base é 10, não representamos. log 10 A =log A

Para números fatoráveis, calculamos estes valores como segue. Veja o exemplo.

a) 2 2 2 2 8 Potência

3 = x ⇒ x = ⋅ ⋅ ⇒ x = ⇒

b) = ⇒ = ⇒ 3 2 8 2 2 x x Mesma base igualamos os expoentes.

Fatorando (8)

3 2 2

Logo: x = 3 ⇒ Logaritmo

c) = ⇒ = ⇒ 3 3 3 x 8 x 2 Mesmo expoente igualamos as bases. Logo: x = 2 ⇒raiz.

Obs. 8 (fatorando)

3 = 8 = 2

Quando não for possível concluir a resposta pelo método da fatoração, usamos a calculadora

cientifica ou as tabelas produzidas para esta finalidade. Veja alguns exemplos usando a calculadora

cientifica.

a) = x 3 2 x = 8

b) 2 = 8 x

log 2

log 8 x =

x = 3

1. log x ⋅ y =log x +log y

2. x y y

x log =log −log

1. x m x

m log = log

Tecla: 2 Tecla: y x ou ∧ Tecla: 3 Tecla: =

Tecla: log ou ln Tecla: 8 Tecla: ÷ Tecla: log ou ln Tecla: 2 Tecla: =