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Apostila Matemática Básica 07
Polinomios
POLINÔMIOS Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma
0i iinn332210xaxa...xaxaxaa)x(Pem que cada ai é um número complexo (ou real) tal que n é um número natural e an ≠ 0. Os números ai são denominados coeficientes do polinômio P(x). O termo a0 é chamado coeficiente constante ou termo independente. Exemplos: 1) P(x) = x3+2 x2 - 3x + 10 é um polinômio de grau 3. Note que segundo a notação acima temos a0=10, a1 = -3, a2 = 2 e a3 = 1. 2) Q(x) = x2 + 1 é um polinômio de grau 2 tal que a0 = 1, a1 = 0 e a2 = 1. 3) R(x) = 7 é um polinômio de grau zero tal que a0=7. Observe que P(x) = x2 + x + x ½ +2 não é um polinômio devido ao expoente ½. Similarmente, Q(X) = x3 +2x +x-2 +3 não é polinômio devido ao expoente –2. Definição: Dado o número complexo (ou real) a, o número P(a) é chamado valor numérico do polinômio P(x) em x = a. Além disso, se P(a) = 0 então dizemos que a é uma raiz do polinômio P(x). Exemplos:
- Se P(x) = x2 -3x + 2 então P(3) = 32 - 3 3 + 2 = 9 – 9 + 2 = 2 é o valor numérico de P(x) em x=3. Além disso, x = 1 e x = 2 são raízes do polinômio P(x) já que P(1) = 12 – 3 ⋅ 1 + 2 = 1
- 3 +2 = 0 e P(2) = 2 – 3 ⋅ 2 + 2 = 4 – 6 + 2 = 0.
- As raízes do polinômio Q(x) = x2 +1 são os números complexos i e –i, já que Q(i) = i2 + 1 = -1 + 1 =0 e Q(-i) = (-i)2 + 1 = -1 + 1 =0. Teorema: Se x = a é uma raiz do polinômio P(x) então P(x) pode ser reescrito como o produto de x - a por um certo polinômio Q(x), ou seja, se x = a é raiz de P(x) então existe um polinômio
Observe que o polinômio Q(x) pode ser encontrado fazendo-se a divisão do polinômio P(x) pelo
Observe ainda que, neste caso, o grau de Q(x) é um a menos do que o grau de P(x). Divisão de polinômios - algoritmo de Briot-Ruffini Quando dividimos dois polinômios, obtemos um quociente e um resto da divisão. Isto é, se dividirmos P(x) por D(x) (o divisor), vamos obter dois novos polinômios Q(x) (o quociente) e Existem algumas técnicas para dividirmos polinômios. Uma das mais utilizadas é o algoritmo de Briot-Ruffini. Esta é uma técnica prática, mas que só deve ser utilizada para efetuarmos a divisão do polinômio P(x) por um binômio da forma x–a. A explicação do algoritmo será feita através de um exemplo.
Exemplo: Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = x2 –3x + 2 pelo polinômio 1x)x(D−=. Escreva o polinômio P(x) com as potências em x, ordenadas decrescentemente. Assim, os coeficientes do polinômio P(x) = x2 – 3x + 2 ordenado e completo são 1, -3 e 2. Escreva estes números em uma tabela do seguinte modo: raiz de D(x) = x– coeficientes de P(x) 1 1 -3 2 Copie o primeiro coeficiente de P(x) na linha abaixo: 1 1 -3 2 Multiplique a raiz de D(x) (ou seja, 1) por este coeficiente que foi copiado (ou seja, 1) e adicione ao segundo coeficiente de P(x) (ou seja, -3). Coloque o resultado na segunda linha, abaixo do segundo coeficiente de P(x). 1 1 -3 2 1 - Repita o procedimento para o próximo número: multiplique a raiz de D(x) (ou seja, 1) pelo novo número que foi colocado na segunda linha (ou seja, -2) e adicione ao terceiro coeficiente de P(x) (ou seja, 2). Coloque o resultado na segunda linha, abaixo do terceiro coeficiente de P(x). 1 1 -3 2 1 -2 0 Para ler o resultado obtido, temos que separar o último número calculado (ou seja, 0). Este é o resto da divisão. Assim, R(x) = 0. Os outros números calculados são os coeficientes do quociente Q(x) da divisão, na ordem em que aparecem. Note que como o grau de Q(x) é um a menos que o grau de P(x), então Q(x) é um polinômio de grau 1, pois P(x) é de grau 2. No exemplo acima, os coeficientes do quociente são 1 e -2, ou seja, o quociente é o polinômio Q(x) = 1x + (-2) = x – 2. Assim, ao dividirmos P(x) = x2 -3x + 2 pelo binômio D(x) = x – 1, vamos obter o quociente 2x)x(Q−= e o resto R(x) = 0. De modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P+⋅= é Exemplo: Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = – 4x3 + 2x + 10 pelo binômio 2x)x(D+=. Note que A raiz do binômio D(x) é x = -2. Os coeficientes ordenados e completos do polinômio P(x) = -4x3 +2x + 10 = -4x3 + 0x
- 2x + 10 são -4, 0, 2 e 10 (lembre de considerar o coeficiente de x2). -2 -4 0 2 10 -4 8 -14 38 Assim, ao dividirmos P(x) = -4x3 +2x + 10 pelo binômio D(x) = x + 2, vamos obter o quociente Q(x) = -4x2 + 8x – 14 e o resto R(x) = 38. Exemplo: Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 - 1 pelo polinômio
do polinômio P(x) = x4 - 1 pelo polinômio D(x) = x2 –1, basta dividir P(x) = x4 – pelo polinômio
Note que não podemos aplicar diretamente o dispositivo de Briott-Ruffini, já que o polinômio D(x) = x2 -1 não é da forma x-a. Mas, sabemos que D(x)=x2 –1=(x+1)(x–1), e então para dividir x + 1, e em seguida dividir o resultado obtido por x – 1. Dividindo dividir P(x) = x4 - 1 pelo polinômio x + 1: -1 1 0 0 0 - 1 -1 1 -1 0
Ou seja, 1xxx1x O próximo passo é dividir x3 - x2 + x - 1 por x – 1: 1 1 -1 1 -
que somar os coeficientes dos termos com o mesmo grau, isto é, somar x3 com x3, x com x
O procedimento é análogo ao exemplo anterior, lembrando que para somar polinômios temos 6 x3 +0x2 – x + 10 2x2 – 3x -6x3+9x2 3x 9x2 –x + E, então: 6 x3 +0x2 – x + 10 2x2 – 3x
9x2 – x +
Como o grau de 12,5 x +10 é menor do que o grau de 2x2 – 3x então a divisão está terminada e temos que 6x3 – x + 10 = (2x2 – 3x)( 3x + 4,5) + 12,5 x +10. Na multiplicação de expressões algébricas, algumas vezes é possível determinar o produto sem efetuar a operação. Nesses casos, os resultados são conhecidos como produtos notáveis. Quadrado da soma de dois termos ou quadrado perfeito Observe a figura ABCD formada por dois quadrados e dois retângulos. O quadrado
A B
ABCD tem 5cm de lado e sua área é:
C D
3cm 3cm 2cm 2cm
Podemos desdobrar o quadrado ABCD em quatro quadriláteros: 3 3cm 2cm 3cm 2cm Comparando a área do quadrado ABCD com a soma das áreas dos quatros quadriláteros, podemos escreve, ( 3 + 2 )2 = 32 + 2. 3. 2 + 2 Portanto: O quadrado da soma de dois termos ( a + b )2 é igual ao quadrado do primeiro termo (a2) , mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo ( +2ab), mais o quadrado do segundo termo (+b2). Escrevemos: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 Exemplos: Quadrado da diferença de dois termos O quadrado da diferença de dois termos (a – b)2 é igual ao quadrado do primeiro termo (a2), menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo (-2ab), mais o quadrado do segundo termo (+b2). Escrevemos: ( a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Exemplos: Produto da soma pela diferença: O produto da soma pela diferença de dois termos (a+b). (a-b) é igual ao quadrado do primeiro termo (a2) menos o quadrado do segundo termo (-b2). Escrevemos: (a+b) (a –b) = a2 – b Note que expressão acima é verdadeira visto que se fizermos a distributiva de ( a – b)(a
- b) obteremos 2 babababa)ba)(ba( −=−+−=+−. Exemplos: (x-2). (x+2)= x2 - 2 = x2 – 4 (x-y) (x+y)=x2 – y Cubo da soma de dois termos ou cubo perfeito Observe o desenvolvimento das potências a seguir:
= x3 + x2 + 2x2 + 2x + x + 1= = x3 + 3x2 + 3x + 1 O cubo da soma de dois termos (a+b)3 é igual ao cubo do primeiro termo (a3), mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo (+3 a2b), mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo (+3 ab2), mais o cubo do segundo termo (+b3). Escrevemos: (a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 Exemplos: Cubo da diferença de dois termos Observe o desenvolvimento a seguir: (x – 1)3 = (x-1)2 (x-1) = (x2 – 2x + 1) (x-1)= = x2 .x – x2 .1 – 2x. x – 2x(-1) + 1.x + 1. (-1)= = x3 – x2 – 2x2 + 2x + x –1= x3 – 3x2 + 3x -
primeiro termo pelo quadrado do segundo (+3 ab2), menos o cubo do segundo termo
O cubo da diferença de dois termos (a – b)3 é igual ao cubo do primeiro termo (a3), menos três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo (-3 a2b), mais três vezes o (-b3). Escrevemos: (a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 - b3 Exemplos: Definição: Fatorar é transformar uma expressão algébrica em um produto de fatores. Em geral, quando se é pedido para “fatorar” uma expressão, queremos que a expressão seja reescrita como produto de fatores os mais simples possíveis. Temos algumas regras muito utilizadas para fatorar polinômios e que merecem destaque. Fator Comum ax + bx = (a+b) x Ex: 2x2 + 4x – 6xy = 2x(x + 2 - 3y) (fator comum = 2x) Agrupamento ax + bx + ay + by = (a+b) x + (a+b) y = (a+b) (x+y) Ex: 2ay2 + bx + 2by2 + ax = 2y2(a + b) + x(b + a) = (a + b)(2y2 + x) Trinômio Quadrado Perfeito ()222babab2a+=++ Trinômio do Segundo Grau Sejam x1 e x2 raízes da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 (a≠0), com 0≥∆. A soma S dessas raízes é S = x1 + x2 = – b/a O produto P dessas raízes é P = x1.x2 = c/a Observando esses resultados, podemos escrever a equação do 2º grau citada: ax2 + bx + c = 0 (dividindo por a) x2 + b/a x + c/a = 0 Assim: x2 – Sx + P = 0 Diferença de dois Quadrados ()()yxyxyx22−+=− Polinômio de segundo grau cbxax2++, que podem ser encontradas facilmente pela fórmula de Baskara MDC (máximo divisor comum) é dado pelo produto dos fatores com os menores expoentes. MMC (mínimo múltiplo comum) é dado pelo produto dos fatores comuns tomados com os maiores expoentes.
Postado por Clayton bezerra
