Matemática Básica, Notas de aula de Engenharia Civil

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Sum´ario

F´ISICA

F´ısica

F´ısica A Aula 1

Energia Potencial

A energia se apresenta de diversas formas na natu- reza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam energia qu´ımica, a combust˜ao da gasolina libera energia t´ermica, energia el´etrica ´e utilizados em diversos aparelhos, transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade de energia transferida de um corpo para outro vamos introduzir o conceito de trabalho.

Trabalho

O significado da palavra trabalho, na F´ısica, ´e diferente do seu significado habitual, empregado na linguagem comum. O trabalho, na F´ısica ´e sempre relacionado a uma for¸ca que desloca uma part´ıcula ou um corpo. Dizemos que uma for¸ca F realiza trabalho quando atua sobre um determinado corpo que est´a em movimento. A partir dessa descri¸c˜ao podemos dizer que s´o h´a trabalho sendo realizado se houver deslocamento, caso contr´ario o trabalho realizado ser´a nulo. Assim, se uma pessoa sustenta um objeto, sem desloc´a-lo, ela n˜ao est´a realizando nenhum trabalho sobre o corpo. Quando uma for¸ca F atua sobre um corpo no mesmo sentido de seu movimento (ou deslocamento) ela est´a favorecendo o movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho realizado pela for¸ca.

Uma For¸ca Constante

Quando a for¸ca F atua no sentido contr´ario ao movimento do corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho realizado pela for¸ca ´e considerado negativo.

Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizado por uma for¸ca horizontal constante, durante um desloca- mento horizontal d ´e:

W = ±F d (1.1)

onde F ´e o m´odulo da for¸ca constante e d ´e o deslocamento (em m´odulo). O sinal + ´e usado quando a for¸ca e o des- locamento possuem o mesmo sentido, e o sinal −, quando possuem sentidos contr´arios. Importante Observe que o trabalho ´e uma grandeza escalar, apesar de ser definida a partir de dois vetores (F e d).

Unidades SI

1 N · m = 1 J = 1 joule = 10^7 erg

1 kJ = 10^3 J Quando a for¸ca for aplicada ao corpo formando um ˆangulo φ com a horizontal, temos a seguinte f´ormula mais geral: W = F d cos φ (1.2) onde F ´e o m´odulo da for¸ca constante, d ´e o deslocamento (em m´odulo) e φ o ˆangulo entre os vetores F e d, ou seja, entre a dire¸c˜ao da for¸ca e o deslocamento.

Podemos tamb´em calcular o trabalho W realizado pela for¸ca F atrav´es da ´area sob a curva do gr´afico F × x:

W ≡ Area sob a curva´ Observe que neste caso deveremos descobrir o sinal do tra- balho atrav´es da an´alise do gr´afico, e do sentido relativo entre a for¸ca e o deslocamento (ou do ˆangulo φ).

2 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´odulo I

Uma For¸ca Vari´avel

0 gr´afico abaixo representa a a¸c˜ao de uma for¸ca vari´avel que age sobre um corpo, provocando um deslocamento linear, desde o ponto x′^ at´e o ponto x′′.

Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela ´area sob a curva, desenhando-se o gr´afico em papel quadriculado, ou de forma aproximada pela ´area de um trap´ezio:

W = F d =

( F ′′ + F ′

(x′′^ − x′)

Observe que essa f´ormula considera a for¸ca m´edia (aproxi- mada) multiplicada pelo deslocamento.

Tipos de For¸cas

Existem diversos tipos de for¸cas que podem atuar em um corpo: for¸ca el´astica, for¸ca peso, for¸ca el´etrica, for¸ca de contato, etc...

Potˆencia P

Consideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas levar um tempo menor que a outra para a realiza¸c˜ao desse trabalho, tem de fazer um esfor¸co maior e, por tanto, dizemos que desenvolveu uma potˆencia maior. Um carro ´e mais potente que o outro quando ele “ar- ranca”mais r´apido e atinge uma dada velocidade num in- tervalo de tempo menor do que o outro carro.. Um aparelho de som ´e mais potente que o outro quando ele ele transforma mais energia el´etrica em sonora num menor intervalo de tempo. Uma m´aquina ´e caracterizada n˜ao s´o pelo trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode efetuar em determinado tempo. Ent˜ao podemos concluir que potˆencia ´e o trabalho realizado durante um determinado tempo, ou seja:

P = W/t

Figura 1.1: James Watt (1736-1819)

Em alguns casos, pode-se escrever W = F d e, substituindo na equa¸c˜ao acima temos

P = W t = F dt t = F v. j´a que v = d/t. Unidade de Potˆencia

1 J/s = 1 watt = 1 W

Energia cin´etica

Para variar a velocidade de um corpo em movimento ´e pre- ciso o concurso de for¸cas externas, as quais realizam certo trabalho. Esse trabalho ´e uma forma de energia que o corpo absorve (ou perde) pelo fato de estar em movimento em rela¸c˜ao a um dado sistema de referˆencia. Chamamos essa energia de movimento de energia de cin´etica. Para uma part´ıcula de massa m e velocidade v a energia cin´etica ´e:

Ec =^12 mv^2

4 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´odulo I

7. Um m´ovel de massa 2, 90 kg ´e submetido `a uma for¸ca constante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de 20 , 0 m/s em 8, 00 s. Calcule: a) o trabalho W realizado pela for¸ca; b) a potˆencia P desenvolvida pela for¸ca;

F´ısica A Aula 2

Trabalho e Energia Potencial

Um corpo possui energia quando ´e capaz de realizar traba- lho. Suponha, ent˜ao, um corpo situado a uma certa altura acima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao solo, ´e f´acil perceber que ser´a capaz de realizar um certo trabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se pois concluir que aquele corpo possu´ıa energia na posi¸c˜ao elevada. A energia que um corpo possui, em virtude de estar situado a uma certa altura acima da superf´ıcie da Terra, ´e denomi- nada energia potencial gravitacional. H´a outras situa¸c˜oes, semelhantes a essa, nas quais um corpo tamb´em possui ener- gia em virtude da posi¸c˜ao que ele ocupa. Por exemplo, um corpo situado na extremidade de uma mola comprimida (ou esticada) possui energia em virtude de sua posi¸c˜ao. Se um corpo comprimir uma mola e soltarmos esse corpo, ele ser´a empurrado pela mola e poder´a realizar trabalho. Neste caso, a energia que o corpo possui na ponta da mola comprimida ou esticada ´e denominada energia potencial el´astica.

Energia Potencial Gravitacional

Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso referencial usual de energia zero, podemos definir a energia

Energia Potencial Gravitacional

Ep = mgh

onde g ´e a acelera¸c˜ao da gravidade. No SI, g vale aproxi- madamente 9, 8 m/s^2.

For¸ca El´astica

Chamamos de corpos el´asticos aqueles que, ao serem de- formados, tendem a retornar `a forma inicial.

Figura 1.1: Robert Hooke (1635-1703)

Uma mola helicoidal, feita geralmente de a¸co, como carac- ter´ıstica pr´opria uma constante el´astica k, que define a proporcionalidade entre a intensidade for¸ca F aplicada e a respectiva deforma¸c˜ao x causada na mola. A lei de Hooke relaciona essas quantidades na forma F = −kx

Observe que x mede a deforma¸c˜ao linear da mola a partir do seu tamanho de equil´ıbrio (sem for¸ca). Atrv´es a equa¸c˜ao acima, pode-se ver que a unidade SI da constante el´astica deve ser N/m. Na pr´atica, a constante k mede a “dureza´´ da mola: quanto maior o valor de k, mais dif´ıcil ser´a a sua deforma¸c˜ao, ou seja, mais for¸ca ser´a necess´aria para deform´a-la uma certa quantidade x.

Energia Potencial El´astica

Quando aplicamos uma for¸ca e deformamos uma mola esta- mos transferindo a ela uma energia, essa energia fica arma- zenada na mola. Definimos que a energia armazenada em uma mola comprimida ou distendida ´e chamada de energia

Diferen¸ca de Potencial

Ep =^12 kx^2

Pense um Pouco!

• A energia potencial gravitacional depende da ace- lera¸c˜ao da gravidade, ent˜ao em que situa¸c˜oes essa ener- gia ´e positiva, nula ou negativa?

F´ısica A – Aula 3 5

• A for¸ca el´astica depende da massa da mola? Por quˆe?
• Se uma mola ´e comprimida por um objeto de massa grande, quando solto a mola n˜ao consegue se mover, o que acontece com a energia potencial el´astica?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ao

1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilin- gue. a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue? b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua altura m´axima? c) Existe energia no estilingue depois do lan¸camento? Co- mente.
2. Um para-quedista desce com velocidade constante, de- pois de um certo tempo de queda. a) O que acontece com sua energia potencial Ep? b) Sua energia cin´etica est´a variando? Comente.
3. Um indiv´ıduo encontra-se sobre uma balan¸ca de mola, pisando sobre ela com seus dois p´es. Se ele levantar um dos p´es e mantiver o outro apoiado, no interior de um ele- vador completamente fechado, quando observa que o peso indicado na balan¸ca ´e zero. Ent˜ao, conclui que: a) est´a descendo com velocidade constante b) o elevador est´a com acelera¸c˜ao igual `a da gravidade c) a for¸ca de atra¸c˜ao gravitacional exercida sobre ele ´e anu- lada pela rea¸c˜ao normal do elevador d) a balan¸ca est´a quebrada, visto que isto ´e imposs´ıvel
4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, est˜ao a 500 m de altura em rela¸c˜ao ao solo. Vocˆe diria que: a) ambas as pedras tˆem igual energia potencial; b) a pedra de menor massa tem maior energia potencial c) nada podemos afirmar com rela¸c˜ao `a energia potencial das pedras d) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizar trabalho e) a pedra de maior massa tem maior energia potencial
5. (UFRN) Uma mola heliciodal, de massa desprez´ıvel, est´a suspensa verticalmente e presa a um suporte horizon- tal. Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade livre dessa mola, ela apresenta deforma¸c˜ao de 2, 0 cm para o sistema em equil´ıbrio. Se acrescentarmos a essa massa outra de 10 kg, no ponto de equil´ıbrio, a nova deforma¸c˜ao ser´a de: a) 3,0 m b) 2,5 cm c) 2,0 m d) 1,5 cm e) 1,0 m

Exerc´ıcios Complementares

6. Uma mola cuja constate el´astica ´e 1000 N/m encontra-se comprimida em 10 cm.

a) Determine a enregia potencial el´astica armazenada na mola. b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente para impulsionar um bloco de 100 g, qual ´e a velocidade m´axima adquirida pelo bloco?

7. Qual o trabalho necess´ario para se comprimir uma mola, cuja constante el´astica ´e 500 N/m, em 10, 0 cm?
8. Um menino situado no alto de um edif´ıcio, segura um corpo de massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima do solo. a) Qual a energia potencia gravitacional do corpo naquela posi¸c˜ao? b) Qual a energia potencia gravitacional do mesmo corpo, quando situado a 6, 0 m do ch˜ao?

F´ısica A Aula 3

Mat´eria e Energia

Figura 1.1: James Prescott Joule (1818-1889).

A energia potencial gravitacional est´a relacionada `a posi¸c˜ao de um corpo no campo gravitacional. Em geral, quando movemos o corpo, alteramos sua energia potencial. Para elevar um corpo em equil´ıbrio do solo at´e uma altura h, devemos aplicar uma for¸ca que prealizar´a um trabalho (positivo) de mesmo m´odulo que o trabalho realizado pela for¸ca peso do corpo (negativo).