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- x+
- (x+10000)+15000= x+
- 3(x+25000) =3x+ 3x+75000+x=25000+x=10000+x= 6x=200000-75000-25000- 6x= x=90000/ x= 3º= 15000+10000= 2º= 25000+15000= 1º340000= 4º= Ordem de solução das operações básicas Ao realizar operações simultâneas, algumas regras devem ser seguidas, evitando a ocorrência de erros no resultado final. Em uma expressão matemática, a multiplicação e a divisão têm prioridade de resolução à adição e subtração. Assim: 2 + 4 × 3 Primeiro, será necessário resolver a multiplicação: 4 × 3 = 12 Posteriormente, somar o resultado com 2: 2 + 12 = 14 Quando a expressão conter somente adição e subtração, não há prioridade de resolução. Para evitar erros por esquecimento de algum termo, comece sempre da esquerda para a direita , realizando o cálculo de dois em dois elementos. O resultado da operação com os dois primeiros será utilizado junto ao terceiro, e assim por diante:
Em uma expressão que contenha multiplicação ou divisão e adição ou subtração , caso seja necessário realizar a adição ou subtração primeiro, você deve indicar com parênteses a operação que precisa de prioridade , conforme segue: 5 × (3 + 2) = 5 × 5 = 25 Para estabelecer prioridades em expressões que contenham várias operações, utilizamos os parênteses. Caso seja necessária outra indicação de prioridade, utilizamos os colchetes e, por fim, as chaves. {7× [16 – (4 + 5) –2] +3} ÷ 3 Conforme mencionado, a ordem de prioridade é a operação entre parênteses, depois, a que está entre colchetes e a que está entre chaves. Realizando as operações, considerando as prioridades, temos: Problemas envolvendo operações matemáticas Assim como nas expressões, é necessário estar atento à resolução de problemas, no que diz respeito à prioridade de operação. A seguir, alguns problemas que o ajudarão a entender melhor as operações matemáticas, com a aplicação de prioridades.
Para se descrever os elementos de um conjunto, geralmente são utilizadas chaves {} e vírgulas para separar os elementos. Por exemplo : {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Para conjuntos com número de elementos muito grandes, a notação acima não seria a mais indicada, pois geraria imensas listas. Assim, uma maneira de se descrever os conjuntos é utilizar uma letra, como x. Por exemplo : B = {x│x é um inteiro e |x| < 6}, o qual lemos como “B é um conjunto dos elementos x , tal que x é um inteiro e tem módulo menor que 6. Equivalentemente, podemos escrever: B = {x│x ∈ Z, |x| < 6}. Aqui, o símbolo | significa “tal que”, Z representa o conjunto dos inteiros, e a vírgula é interpretada como “e”. Nota : para o símbolo ⊆ lê-se “subconjunto contido ou igual à”, ou ainda o símbolo ⊇ , com a leitura de “subconjunto contém ou igual à ”. Outro símbolo muito utilizado, é o ⊂ que lê-se “subconjunto contido em ”, ou ainda ⊃ , com a seguinte leitura “subconjunto contém ”. Neste momento é importante deixar claro dois tipos de relações, a de pertinência e a de inclusão. Para a relação de pertinência utiliza-se os símbolos de ∈ , ∉ , onde lemos pertence e não pertence respectivamente , e com isso queremos dizer que aquele elemento faz parte ou não de um determinado conjunto. Esses símbolos só podem ser usados entre um elemento e um conjunto, ou seja, não pode ser usado entre dois conjuntos. Como exemplo, temos o conjunto A={2,6,1,8,4,9}, podemos escrever por exemplo que 2∈A, ou que 8∈A, ou ainda que -1∉A e assim por diante. Já para a relação de inclusão, utilizamos os símbolos de ⊂ , ⊃ , que lemos contido e contém respectivamente. Essa relação quer representar que um conjunto “ está dentro de outro ”, ou ainda que um conjunto é subconjunto de outro. Esses símbolos só podem ser usados entre
dois conjuntos ou subconjuntos, como por exemplo, conhecendo o conjunto A={-3,- 1,0,6,9,11} e o conjunto B={-3,0,11}, podemos escrever que B ⊂ A ou ainda que A ⊃ B. Aqui é importante lembrar que para um conjunto estar contido em outro, todos os elementos devem estar. Conjuntos numéricos especiais N : conjunto dos números naturais , ou inteiros positivos, com o zero — N = {0, 1, 2, 3, 4, …}. Z : conjunto dos números inteiros , ou seja, todos os números inteiros positivos, negativos e o zero — Z ={…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}. Q : conjunto dos números racionais , números reais com dígitos decimais finitos. Números que podem ser escritos em forma de fração de números inteiros, resultando assim em decimais com dígitos finitos – 𝑄 = , p, q ϵ Z e q ≠ 0. I : Conjunto dos números irracionais , números que não podem ser escritos em forma de fração de números inteiros, resultando assim em decimais com dígitos infinitos — por exemplo, raízes não exatas , o número 𝜋 e o número de Euler 𝑒. R : conjunto dos números reais , o qual inclui os racionais e os irracionais — R = Q ∪ I. C : conjunto dos números complexos , pares (a, b) de números reais, ou seja, números da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i 2 = –1. Conjunto universo e conjunto vazio O conjunto universo normalmente é denotado pela letra U. Ele seria composto por todos os elementos e conjuntos em um dado contexto. Já o conjunto vazio não contém qualquer elemento e é representado por chaves vazias {}, ou pelo símbolo ∅. Por exemplo: Se U = Z, então {x│x 2 = 10} = ∅. Conjuntos disjuntos Conjuntos disjuntos são aqueles que não têm elementos em comum. Por exemplo, suponha os três conjuntos a seguir : A = {1, 4, 5}, B = {5, 6, 8, 10} e C = {10, 14}. Os conjuntos A e C são considerados disjuntos , mas A e B não , pois eles têm elementos em comum. Os conjuntos B e C também não são disjuntos.
Para desenhar um diagrama de Venn , pode-se usar uma técnica que contém dois passos, descrita a seguir. Primeiramente, supomos os seguintes conjuntos: U = {1, 2, 3, …, 12} A = {2, 3, 7, 8, 9} B = {2,8} C = {4, 6, 7, 10} Para desenhar o diagrama desses conjuntos, você deve seguir os passos: a) desenhe um diagrama genérico com os conjuntos. b) insira os elementos em suas devidas regiões. c) redesenhe o diagrama, eliminando regiões vazias. Assim, o primeiro passo geraria um diagrama como mostrado na Figura 4a. A partir daí, preencheremos as regiões com os elementos dos conjuntos. Analise elemento a elemento, checando se ele pertence a mais de um conjunto. Assim, o resultado ficaria como o mostrado na Figura 4b.
. Operações com conjuntos Algumas operações podem ser feitas com conjuntos, como união, interseção e complementar. A união de dois conjuntos A e B representa um conjunto com todos os elementos de A ou B, ou seja: A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B} A Figura 5a mostra um diagrama de Venn, em que o conjunto A ∪ B (lêse: A união com B) está sombreado. 11 Conjuntos numéricos A interseção de dois conjuntos A e B representa um conjunto que pertence a ambos, A e B, ou seja: A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B} A Figura 5b mostra um diagrama de Venn, em que o conjunto A ∩ B (lêse: A interseção com B) está sombreado.
A Figura 6 mostra um diagrama de Venn do complementar de um conjunto A. Também temos a diferença entre conjuntos, A-B, lemos A menos B ou A diferença B. É o conjunto de elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B, ou seja: A – B = {x|x ∈ A, x ∉ B} Conseguimos verificar a representação desta operação na Figura 6b por meio do diagrama de Venn. Ainda sobre a operação diferença, temos a diferença simétrica ⊕ de dois conjuntos A e B. São elementos que pertencem a um ou a outro conjunto, mas não a ambos, podendo ser escrito como: A ⊕ B = {(A ∪ B) - (A ∩ B)} ou ainda podemos escrever como: A ⊕ B = {(A - B) ∪ (B - A)} A Figura 6c representa A ⊕ B por meio de um diagrama de Venn.
