Baixe Cálculos financeiros utilizando juros simples e compostos e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity!
I F S P - Câmpus São Paulo - E a D - 2017 M A T E M Á T I C A F I N A N C E I R A Prof. Ms. José Maria Carlini
- INTRODUÇÃO O estudo do assunto que iniciaremos somente é necessário porque a riqueza que as pessoas têm nem sempre é suficiente para suprir seus sonhos, anseios e necessidades. Suponha que o governo de um determinado país consiga realizar o desejo da grande maioria de seus cidadãos de modo que à zero hora de um certo dia todos os indivíduos tivessem nos seus bolsos e contas correntes a mesma quantidade do vil metal. Você pode apostar que, à zero hora e um minuto, já haveria algum indivíduo com mais posses que outro. Isto acontece porque as vidas das pessoas são diferentes, e suas realizações também. A Matemática Financeira é a ciência matemática que trata do comércio de uma mercadoria que, em si, não tem valor, mas que é procurada por todos, pois, sem ela, não nos é possível obter os bens , quer sejam produtos ou serviços, e que podem ser alcançados com a sua troca pela quantidade correta daquilo que desejamos. Esta é a quantidade que denominamos preço. Tal mercadoria sem valor será o centro das nossas preocupações ao estudar este assunto, e seu nome, como já percebeu o leitor, é dinheiro, seja lá qual for a unidade monetária que esteja em uso! Sua importância varia de pessoa para pessoa , de momento a momento, e de local para local. Por outro lado, é imprescindível compreendermos a importância social do dinheiro, seja ele papel, seja ele metal. É ele que permite que o produtor de tomates compre frangos, sem a preocupação de saber com quantos tomates vendidos, pode-se adquirir um frango, ou vice-versa. Para uma nação e seu povo, quanto mais uma moeda circula, mais útil ela é, e mais riqueza gera. Logo, guardar dinheiro em cofrinho não é socialmente perfeito, pois o dinheiro lá contido não está favorecendo a ninguém, nem ao próprio dono do cofrinho. A produção de dinheiro no Brasil está a cargo da Casa da Moeda, situada no Estado do Rio de Janeiro. A nossa Casa da Moeda, além do nosso dinheiro, produz dinheiro para outros países, imprime passaportes, selos e outros documentos, e até cunha medalhas. Já não existe mais a produção de R$ 1,00 em papel moeda por causa de seu alto custo e baixa durabilidade. Por isso podemos dizer que a nota de R$ 1,00 custava mais que o seu valor
nominal, e, apesar de a moeda que a substituiu ser mais cara que ela, a sua durabilidade é tan- ta que seu custo se dilui bem mais que o do papel moeda. Com a sua altíssima circulação, es- ta moeda se tornou muito popular e prestará ainda muitos bons serviços à sociedade. Como estamos falando neste assunto, me vem à mente algo que muito me incomoda: É ver notas de dinheiro amassadas, rasgadas, riscadas, maltratadas enfim de forma proposital. Infe- lizmente, há quem julgue ser proprietário daquele pedaço de papel, quando, verdadeiramente, o proprietário é o povo, a sociedade, que são representados pelo governo, que possui entre as funções que lhe são peculiares, a de imprimir o dinheiro em papel ou cunhar as moedas. Isto significa que o dinheiro que está na sua conta bancária, na sua carteira ou no seu bolso não pertence a você, mas ao povo, o que você possui é, enfim, o poder de compra que aquele documento financeiro lhe confere.
- PORCENTAGEM O símbolo “ n % ”, que se lê “n por cento”, representa uma fração cujo denominador é cem e cujo numerador é n. Ou seja, 32% é o mesmo que 100
, e que na forma decimal passa a ser 0,32. Então se quisermos calcular 26% de R$ 6800,00 deveremos agir da seguinte maneira : 26% de R$ 6800,00 = 26%. R$ 6800,00 = 0,26. 6800 = R$ 1768, Devemos sempre responder, se a unidade monetária for o Real, de acordo com a lei. Isto é : R$ 1768,00 , com duas casas após a vírgula. Durante a resolução não é necessário utilizar o símbolo R$. Neste trabalho usaremos sempre a unidade Real de dinheiro, tanto nos dados como nas respostas dos exercícios. Curiosamente, há mais de 80 anos, a nossa unidade monetária foi também chamada Real , porém o plural de Real era Reis e não Reais como hoje , e naturalmente o seu valor não era o da moeda atual. Exercícios : Calcular
- Comprei por R$ 600,00 algo que desejo vender com um lucro de 22% sobre o preço de venda. Calcule o lucro e por quanto devo efetuar a venda. Resolução : C = 600,00 ; L = 22% sv (sobre a venda) = - ; V = - Nesta questão o lucro é calculado como 22% sobre a venda, e ela agora é proporcional a 100% , portanto: 100 22
V V C
V V
V V V
Logo, V = R$ 769,23 e o lucro será L = R$ 769,23 – 600 , então L = R$ 169,23.
- Vendi por R$ 4500,00 algo que me custou R$ 6200,00. Calcular : a) Porcentagem do prejuízo sobre o custo b) Porcentagem do prejuízo sobre a venda Resoluções : a) V = 4500,00 ; C = 6200,00 ; Logo, P = C – V = 1700,00 = - % sc. 6200 1700 170000 6200 170000 27, 42% 100 100 6200
C P
x x x x
b) V = 4500,00 ; C = 6200,00 ; Logo P = C – V = 1700,00 = - % sv 4500 1700 1700 4500 170000 37, 78% 100 100 45
V P
x x x x
- Calcule o preço de venda que devo obter para auferir um lucro de 22% sobre o custo e que paguei pelo objeto o valor de R$ 8600,00. Resolução: V = - ; C = 8600,00 ; L : 22% sc 8600 $1892, 00 100 22 100 22
C P P
P R
Como V = C – P então : V = 8600,00 – 1892,00 = R$ 6 708, 00 Exercícios:
- Quero vender com lucro de 22% sobre o custo algo que me custou R$ 840,00. Calcule o pré- ço de venda e o valor do lucro obtido.
- Vendi por R$ 4600,00 um objeto e sofri um prejuízo de 22% sobre o preço de venda. Obte- nha o valor de meu prejuízo e quanto paguei por ele.
- Vendi por R$ 4 600,00 um objeto e sofri um prejuízo de 22% sobre o preço de custo. Calcu- le o valor do preço de custo e o do prejuízo.
- Ache por quanto vendi algo que me custou R$ 2648,00, se consegui obter lucro de 15% sobre o preço de venda.
- Calcule o preço de venda praticado por um comerciante que comprou feijão por R$ 4,00 o quilograma, se o mercado em que ele trabalha permite um lucro de 15% sobre a venda.
- Um comerciante de uma lanchonete compra sanduíches prontos para o consumo por R$ 84,00 a dúzia e deseja vendê-los com lucro de 35% sobre o custo. Porém, a administração do centro comercial onde se situa a lanchonete cobra do comerciante um aluguel que é igual a 15% do valor de sua venda. Calcule então o preço de venda e o valor a ser pago ao centro por cada sanduíche.
- Comprei por R$ 1500,00 uma máquina que vendi por R$ 1200,00. Calcule : a) A porcentagem do prejuízo sobre a venda b) A porcentagem do prejuízo sobre o custo. Resp.: ( 1) L = R$ 184,80 , V = R$ 1024,80 ; 2) P = R$ 1012,00 , V = R$ 2588,00 ;
- P = R$ 1297,44 , C = R$ 5897,44 ; 4) V = R$ 3115,30 ; 5) V = R$ 4,21 ;
- V = R$9,45 , Taxa do centro : R$ 1,42 ; 7 a) 25% sv ; 7 b) 25% sc.)
J = C. i. n M = C. (1 + i.n) Exemplos :
- Calcule os juros, no regime de juros simples, gerados pela aplicação de R$ 4800,00 durante 8 meses à taxa de 20% ao ano. Resolução : j = - ; C = 4800 ; n = 8 m ; i = 20% aa =
12 am =^
am J = C.i.n = 4800.
. 8 = R$ 640,
- Calcular o capital que, aplicado a juro simples durante 250 dias, à taxa mensal de 1,2%, ren- de juros de R$ 480,00. Resolução : C = - ; n = 250 dias ; i = 1,2 % am ; J = 480 J = C.i.n. Então 480 = C. 0,012.
. Portanto C = R$ 4800,
- Calcule em quantos dias a aplicação a juro simples do capital de R$ 45000,00 rende o Montante de R$ 60 000,00 se obtivermos a taxa anual de 18%. Resolução : C = 45000 ; M = 60000 ; n = - dias ; i = 18% aa =
aa
ad A continuação desta resolução pode se dar com o uso de qualquer uma das duas fórmulas : Se usarmos a primeira, j = c.i.n , e sabendo que j = M – C = 15000, teremos a equação 15000 = 45000.
36000 .n^ que é facilmente resolvida e nos fornece n = 666,6 dias. Ocorre que a menor unidade de tempo na Matemática Financeira é 1 dia. Então, devemos arredondar a resposta para 667 dias. Por outro lado, se usarmos a segunda fórmula, poderemos escrever : M = C.(1 +i.n), e assim,
n), que é uma outra equação de resolução simples e que nos dá como resposta o valor n = 666,66 dias, que como vimos, deve ser arredondado para n 667 dias.
- Obtenha o Montante da aplicação de Cr$ 2600.00 durante 1 ano 3 meses e 20 dias, à taxa de 1,2 % ao mês. Resolução : M = - -- ; C = 2600 ; i = 1,2 % am; n = 1a 3m 20d = 15, 667 m Obs : A transformação que acabamos de apresentar não é a única possível para que o proble- ma seja solucionado, como já aconteceu no do exemplo 3. M = C.(1+ i.n) ; logo : M = 2600. (1 + 0,012. 15,667) = 2600. 1,87999 = R$ 4887.
- Obtenha a taxa quinzenal de uma aplicação que faz o capital de R$ 6250,00 render o juro simples de R$ 2680,00 decorridos 1,5 ano. Resolução : i = - % a quinzena ; C = 6250 ; j = R$ 2680 ; n = 1,5 a = 18m = 36 quinzenas J = C.i.n , logo : 2680 = 6250. i. 36 que é uma equação de 1º grau na incógnita i, que é de reso- lução imediata e nos dará o seguinte valor para a taxa : i = 1,8 % a quinzena.
- Uma aplicação dos juros simples extremamente utilizada é a que se refere a um serviço de crédito oferecido pelos bancos e chamada Cheque Especial. Uma conta corrente com cheque especial ou com garantia de cobertura de cheques, outra denominação no comércio bancário, tem como característica o fato de honrar o cheque apresentado mesmo que não haja fundos até um certo limite. Naturalmente este “empréstimo” gera uma despesa a ser paga pelo correntista e o cálculo deste valor utiliza os juros simples. Para entendermos com mais facilidade, faremos um exemplo : Como todos os bancos, a Casa Bancária “Cadê o Meu” envia aos seus correntistas a cada fim de mês um documento contendo as movimentações na sua conta corrente. Este documento se chama extrato bancário, e possui mais ou menos a seguinte aparência
e assim o produto “i. n” , que varia em cada movimentação da conta ser calculado à parte e , a- pós, somados tais produtos, calculamos a percentagem sobre eles.
- Calcule o juro simples pago durante o mês de setembro do ano que está de passagem. A ta- xa de juro cobrada pelo banco é 8% ao mês, além do que o Banco não cobra taxa nenhuma du- rante os 4 primeiros dias do mês em que a conta estiver descoberta : SOCIEDADE BANCARIA “ DÍVIDA ATRÓS “ DATA DOCUMENTO HISTÓRICO VALOR D.C SALDO 01.09 ------------ transporte 450,00 --- 450, 03.09 cheque supermercado 700,00 D 05.09 depósito salário 430 0,00 C 08.09 cartão débito restaurante 600,00 D 10.09 boleto prestação imóvel 3600,00 D 12.09 boleto condomínio 850,00 D 18.09 cheque combustível 250,00 D 20.09 depósito PLR 4 100, 00 C 22.09 DOC pensão da ex 2 600,00 D 24.09 carnê consórcio carro 1 200,00 D 27.09 caixa multa trânsito 380,00 D 30.09 cheque loja de roupas 450,00 D Calcule os saldos após cada movimentação financeira do correntista e o juro que ele pagará em outubro referente a este documento. Resp.: ( Juro final = R$ 30,45)
- Uma aplicação financeira a juros simples faz com que um capital dobre em 4 anos. Se fi- zermos uma outra aplicação, esta de R$ 68 000,00, à mesma taxa durante 20 meses, ache qual será o Montante gerado. Resp.: (M = R$ 96 333,33)
- Um pai dividiu R$ 12000,00 em 3 partes iguais a seus 3 filhos mandando-os cuidarem bem do dinheiro. O filho mais novo, ainda muito jovem, decidiu-se por aplicar toda a quantia rece-
bida a juros simples a 10% ao ano, e devolveu ao pai a quantia de R$ 6 000,00 no momento de prestar contas. O filho do meio, aplicou a sua parte do dinheiro a 8 % ao ano durante 3 anos e o resultado desta aplicação ele reaplicou a 12% ao ano durante o tempo restante. Já o mais velho aplicou toda a sua parte durante 4 anos a juros simples de 6 % ao semestre, e no tempo restante aplicou o resultado da primeira operação a 12% ao ano, porém pagando Imposto de Renda de 20% do valor do juro obtido. Responda qual é o filho que melhor cuidou dos interesses do pai, e por que. Resp.:( Montantes : Filho mais novo : R$ 6000,00 ; Filho do meio : R$ 6150,00; Filho mais velho : R$ 5924,00. Quem cuidou melhor do dinheiro do pai foi o do meio.)
- Um correntista manteve saldo devedor de R$ 4 200,00 em sua conta bancária durante 4 meses seguidos, e a cada mês eram debitados da conta os juros correspondentes. As taxas eram iguais a 6% no primeiro mês, 8% no segundo, 5% no terceiro e 4% no último. Calcular: a) Valor do juro que o correntista deve depositar para quitar sua dívida ; b) Valor da taxa de juro simples que equivaleria às taxas citadas. Resp. : ( a) R$ 748,57 ; b) 4,46% ao mês.)
- JUROS COMPOSTOS O nosso correntista continuava feliz e tranqüilo com a sua aplicação a juros simples na ca- sa bancária quando o seu amigo gerente o chamou para uma conversa. Ele explicou que, com a retirada dos juros a cada final de período, ele perdia a oportunidade de auferir juros maiores. Para conseguir amealhar estes juros maiores, disse pacientemente o gerente, o correntista deveria mantê-los na aplicação, e então, a cada início de período ao seu capital iriam sendo a- crescentados os juros correspondentes.
n 1,666667 1, M = C. (1 + i) = 24500. (1 +0,20) = 24500 .1,2 = 24500. 1, M = 33 199,75. Como j = M – C, então j = R$ 8699,
- Obtenha o capital que a juros compostos de 1,2 % ao bimestre de taxa, gera o montante de R$ 26 850,00 decorridos 3 semestres. Resolução : C = - ; M = 26 850 ; i = 1,2% ao bimestre ; n = 3 semestres = 9 bimestres n 9 M = C. (1 + i) , logo : 26850 = C. 1,012 , e assim, 26850 = C. 1,1133318 e podemos calcu- lar facilmente o capital : C = R$ 24116,.
- Ache os juros que, à taxa trimestral de 4 % de juros compostos, durante 10 meses, foram ge- rados a partir do capital de R$ 65 000, Resolução : J = - ; C = 65 000 ; i = 4 % ao trimestre ; n = 10 meses = 3,333333... trimestres n 3, M = C.(1 + i) , portanto : j + 65000 = 65000. 1,04 , ou j + 65000 = 74078,33 e po- demos afirmar que j = R$ 9 078, 32
- Calcule a taxa bimestral de juros compostos que faz com que um capital qualquer dobre após o prazo de 21 meses de aplicação. Resolução : i = - % ao bim ; M = 2C, n = 21meses = 10,5 bim. M C .(1 i ) , n portanto 2 C C .(1 i ) 10,5 , então 2 (1 i )10,5, e assim 1+ i = 2 1 10,5 (^) , e chega- mos a 1+i = 2 0,095238095^ , ou seja : 1 + i = 1,1,06824169 e, já na forma percentual, i = 6,82 % ao bimestre.
- Ache em quantos dias a aplicação de um capital triplica seu valor, a juros compostos e à ta- xa anual de 20 %.
Resolução : n = - dias ; M = 3C ; i = 20% aa = 0,20 aa n n n M = C. (1 + i), então : 3C = C. 1,20 e caímos na seguinte equação exponencial : 1, 2 0 = 3. Para resolver tal equação devemos recorrer aos logaritmos em qualquer base. Assim utilizare- mos os logaritmos naturais ou neperianos : n ln 1,20 = ln 3. Agora apliquemos a propriedade do logaritmo de uma potência : n.ln 1,20 = ln 3 e então : n = ln 3 1, 098612289 6, 025685098 ln1, 20 0, anos = 2170 dias
- Calcular há quantos meses foi efetuada uma aplicação a juros compostos de 4 % ao semestre da quantia de R$ 6200,00 de modo que seu montante se iguale ao montante obtido pela aplica- ção de R$ 8600,00 a juros simples com taxa igual a 5% ao quadrimestre durante 3 anos. Resp.: (107 meses)
- Obtenha a taxa bienal equivalente à taxa de 3,8 % ao quadrimestre no regime composto de juros. Resp.: ( 25,12 % ao biênio)
- Calcule a taxa semestral de juros compostos que equivalha à taxa quadrimestral de 4,3% no mesmo regime. Resp.: ( 6,52% ao semestre)
- Devo aplicar a quantia de R$ 9400,00 à taxa de juros compostos de 2,4% ao bimestre para render o mesmo montante da aplicação à taxa de juros simples de 3,0% durante um ano e 3 me- sés. Ache o número de dias da aplicação a juros compostos. Resp.:( 378 dias)
ma corriqueiro mas urgente deverá ser resolvido por você com a ajuda do Banco. Uma solução do problema será procurar uma instituição de crédito, que poderá ser o seu próprio banco, a empresa de cartões de crédito, ou alguém que troque os seus papéis por dinheiro antes do seu vencimento. A esta operação financeira damos o nome de Desconto. Você, em suma, vai tratar com a instituição escolhida sobre descontar seus documen- tos de crédito antecipadamente e, naturalmente, pagará por este serviço, de acordo com a ta- xa cobrada pelo banco, que será chamada taxa de desconto. Entenda que, se não houvesse tal serviço bancário, muitos comerciantes fechariam suas portas, causando desemprego, queda de produção nas fábricas, fechamento de plantas indus- triais, diminuição da arrecadação de impostos, e outros males. Convém portanto não fazer os costumeiros julgamentos apresentados na imprensa. É de grande importância utilizarmos a Matemática Financeira para entendermos com clareza o funcionamento da sociedade, prin- cipalmente no que tange à Economia, pois será o seu uso como ferramenta de controle so- cial e pessoal que norteará as ações administrativas dos bons gestores industriais, comer- ciais e políticos da sociedade, e assim haverá progresso e bem estar generalizado. Este será então nosso próximo assunto a tratar. Antes disso vejamos a nomenclatura e a simbologia que são usadas em qualquer docu- mento de crédito para que todas as informações necessárias sejam conhecidas : Valor Nominal N: É o valor que vem declarado no documento e dá nome a ele. Quando você se refere a um cheque ou nota promissória , você diz o valor declarado. Um cheque predatado de dez mil reais tem valor nominal N = R$ 10 000,00; Data e local da assinatura do documento, quando se realiza o aceite da dívida; Assinatura do devedor, comprometendo-se a honrar o pagamento na data de vencimen- to,e pagando por ele o valor nominal N; Data de vencimento : É o dia em que o pagamento de N deverá ser efetuado.
Além destes dados escritos no documento, caso o desconto se realize teremos que con- siderar o prazo de adiantamento “n”, a taxa “i” percentual de desconto, o valor do desconto co- brado pelo banco, e o Valor Atual A do documento, que vem a ser igual ao Valor Nominal menos o Desconto d. Ou seja : A = N – d, qualquer que seja a negociação realizada. A respeito do Valor A, quanto menor o prazo de adiantamento, mais próximo de N ele será e, claro, menor será o valor d que será cobrado pelo banco. O comércio financeiro oferece dois tipos de desconto, o Desconto por Dentro (D), e o por Fora (D’). Estudemos cada um deles : Desconto por Dentro : D Suponha que você vá descontar hoje um cheque bom para daqui a “n” dias. Se por dentro, o desconto D será obtido com a aplicação da taxa i multiplicada pelo Valor Nominal N, levando em consideração o prazo n de adiantamento. Valerá portanto a fórmula: D = N. i. n Naturalmente, a taxa e o tempo devem se referir à mesma unidade cronológica. Como vimos, D = N – A e D = N .i .n , então podemos escrever a igualdade : N – A = N. i. n , então : A = N – N. i. n , ou ainda : A = N. (1 - i.n). Desconto por Fora : D’ Na mesma situação do comerciante com documento de crédito vencível em “n” dias, se o desconto for por Fora, ou seja, D’, a taxa i será multiplicada pelo valor atual A, também sendo considerado o prazo “n” de adiantamento e então a fórmula, com i e n na mesma unidade de tempo, será :
D’ = 4600. 0,04. 1,5 – D’. 0,04. 1,5 , ou seja : D’ = 276 – 0,06D’ , que nos remete ao seguinte valor : 1,06 D’ = 276. Assim, D’ = R$ 260,38 , e A = N – D’ = R$ 4 339, 22 OBS - É fácil perceber que o desconto por fora foi mais negócio para o comerciante. Isto é natural, pois no desconto por fora a taxa incide sobre o valor nominal e no por dentro ela recai sobre o valor atual que, como há desconto, só pode ser menor que o que está escrito no cheque. no documento.
- A proprietária de uma loja de roupas femininas leva ao gerente de seu banco um borderô de cheques pré-datados no dia 9 de março com os seguintes dados : Cheque nº -- --Valor-- -- Vencimento-- -- Prazo de Antecipação 023844 1 250,00 10 de abril 32 dias 166095 980,00 24 de março 15 dias 00338A 4 500,00 9 de julho 4 meses 203881 643,00 17 de março 8 dias Ache o valor líquido que ela receberá no banco, se a taxa de desconto for 6% ao mês. Resolução: Novamente a negociação foi realizada em um banco, logo o desconto é bancário ou por dentro : D = N. i. n, e assim, como i será aplicada em todos os valores nominais, os des- contos serão aplicados também neles, e ficaremos com : D = N. i. n. Taxa de desconto : i = 6% am = 0,06 am = (0,06:30) ad = 0,002 ad D = (1250. 32 + 980. 15 + 4500. 120 + 643. 8). 0,002 = D = 599844. 0,002 = R$ 1199, Valor Nominal : N = 1250,00 + 980,00 + 4500,00 + 643,00 = R$ 7373,
Valor líquido, ou atual: A = N – D = 7373,00 – 1199,69 = R$ 6 173,31. OBS- Pode parecer estranho que entre 9 de março e 10 de abril tenham decorridos 32 dias (cro- nologicamente correto - cheque 023844), e os 4 meses do cheque 00338A se transformarem em 120 dias ( cronologicamente incorreto), porém, esta transformação dependerá do contrato firma- do entre as partes. Exercícios :
- Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 9 200,00, 27 dias antes do ven- cimento. Se a taxa de desconto cobrada é 4,6 % ao mês, obtenha o valor atual do documento. ( Resp,: R$ 8 819,12)
- O açougueiro do meu bairro descontou a promissória que recebeu do restaurante da minha rua cujo valor nominal era R$ 12850,00 e recebeu o valor atual de R$ 11900,00. Calcule a da- ta de vencimento da promissória se hoje é 15 de abril e a taxa de desconto por dentro foi 8 % ao mês. Resp.: ( 13 de maio)
- Considere no problema anterior a taxa de desconto por fora, e ache a data de vencimento. Resp.: (15 de maio)
- Um aplicador cobra nas operações de desconto por fora a taxa i mensal. Calcule a taxa de desconto mensal por dentro que oferece o mesmo valor do desconto no mesmo prazo. Resp.: (
N i i A
- O Departamento de cobrança de uma metalúrgica apresenta ao banco um borderô com as seguintes duplicatas no dia 30 de abril , uma segunda-feira :
