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Aperfeiçoando o uso da Matematica, fonte CRC/CE
Tipologia: Notas de estudo
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Não perca as partes importantes!
Ao longo dos tempos constatou-se que o problema econômico dos governos; das instituições; das organizações e dos indivíduos, decorria da escassez de produtos e/ou serviços, pelo fato de que as necessidades das pessoas eram satisfeitas por bens e serviços
cuja oferta era limitada. Ao longo do processo de desenvolvimento das sociedades, o problema de satisfazer as necessidades foi solucionado através da especialização e do processo de troca de um bem pelo outro, conhecido como escambo. Mais tarde surgiu um bem intermediário, para este processo de trocas que foi a moeda. Assim, o valor monetário ou preço propriamente dito, passou a ser o denominador comum de medida para o valorizar os bens e os serviços e a moeda um meio de acúmulo deste valor constituindo assim a riqueza ou capital.
Constatou-se assim, que os bens e os serviços poderiam ser consumidos ou guardados para o consumo futuro. Caso o bem fosse consumido ele desapareceria e, caso houvesse o acúmulo, surgiria decorrente deste processo o estoque que poderia servir para gerar novos bens e/ou riqueza através do processo produtivo. E começou a perceber que os estoques eram feitos não somente de produtos, mas de valores monetários também, que se bem administrado poderiam aumentar gradativamente conforme a utilidade temporal.Surge-se daí a preocupação e a importância do acúmulo das riquezas em valores monetários como forma de investimento futuro e aumento do mesmo conforme o surgimento das necessidades.
Com o passar dos tempos essa técnica foi sendo melhorada e aperfeiçoada conforme as necessidades de produção e tão quanto à necessidade mercantis que aflorava cada vez mais tornando os produtores mais competitivos quanto ao aumento de oferta de suas produções.
Atualmente a técnica utilizada para compreensão de como o capital se comporta em uma aplicação ao longo do tempo é realizado pela Matemática Financeira. De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira é o ramo da Matemática Aplicada e/ou Elementar, que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira busca quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta, a variável tempo, quer dizer, o valor monetário no tempo ( time value money ).
As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: o capital, a taxa de juros e o tempo.
Capital é todo o acúmulo de valores monetários em um determinado período de tempo constituindo assim a riqueza como expresso anteriormente. Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i) , é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo. (n)
Deve ser entendido como Juros, a remuneração de um capital (P) , aplicado a uma certa taxa (i) , durante um determinado período (n) , ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) = preço do crédito.
A existência de Juros decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se:
a) inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo;
A quantia de R$ 3.000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.
Solução:
Temos: P = 3000,
i = 5% = 5/100 = 0,05 e
n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses.
Portanto, M = 3.000,00 x (1 + 0,05 x 60) = 3.000,00 x (1+3) = R$ 12.000,00.
A fórmula J = Pin , onde P e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função juros simples, senão vejamos:
Façamos P.i = k.
Teremos, J = k.n, onde k é uma constante positiva. (Observe que P. i > 0)
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque usei o termo semi-reta ao invés de reta?). Portanto, J/n = k, o que significa que os juros simples J e o número de períodos n são grandezas diretamente proporcionais. Daí infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma função linear, cujo crescimento depende do produto P.i = k, que é o coeficiente angular da semi-reta J = kn.
10,
10,
10,
10,
10,
1 º^ mês 2 º^ mês 3 º^ mês 4 º^ mês 5 º^ mês
0 meses
É comum nas operações de curto prazo onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Nestes casos o número de dias pode ser calculado de duas maneiras:
Exercício Proposto 01:
Calcule o montante ao final de dez anos de um capital R$ 10.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s).
Resposta: R$ (?)
Vimos anteriormente, que se o capital (P) for aplicado por (n) períodos, a uma taxa de juros simples (i) , ao final dos n períodos, teremos que os juros produzidos serão iguais a J = Pin e que o montante (capital inicial adicionado aos juros do período) será igual a M = P(1 + in).
O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n têm de ser referidos à mesma unidade de tempo.
Assim, por exemplo, se num problema, a taxa de juros for i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o período n = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos colocá-las referidas à mesma unidade de tempo, ou seja:
a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3 anos , ou
b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante 36 meses, etc.
Exemplos:
01 – Quais os juros produzidos pelo capital R$ 12.000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre durante 5 anos?
Resposta: (?) anos.
3.2 – Juros Compostos
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades, a saber:
a) Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros;
b) Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando um montante, capital mais juros, do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante e assim sucessivamente.Pode-se dizer então, que cada montante formado é constituído do capital inicial, juros acumulados e dos juros sobre juros formados em períodos anteriores.
Este processo de formação de juros compostos é diferente daquele descrito para os juros simples, onde somente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores.
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo:
Suponha que R$ 1.000,00 são empregados a uma taxa de 20% a.a.,por um período de 4 anos a juros simples e compostos Teremos:
P= R$ 1.000,00 i= 20% a.a n= 4 anos
n Juros por periodo Montante Juros por periodo Montante 1 1.000,00 x 0,2 = 200 1.200,00 1.000,00 x 0,2 = 200 1.200, 2 1.000,00 x 0,2 = 200 1.400,00 1.200,00 x 0,2 = 240 1.440, 3 1.000,00 x 0,2 = 200^ 1.600,00 1.440,00 x 0,2 = 288^ 1.728, 4 1.000,00 x 0,2 = 200 1.800,00 1.728,00 x 0,2 = 346 2.074,
Juros Simples Juros Compostos
O gráfico a seguir permite uma comparação visual entre os montantes no regime de juros simples e de juros compostos. Verificamos que a formação do montante em juros simples é linear e em juros compostos é exponencial:
-
500,
1.000,
1.500,
2.000,
2.500,
Períodos Juros Simples Juros Compostos
Fonte: Elaborado pelo autor
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL , portanto tem um crescimento muito mais "rápido".
Exemplo 2:
Um empresário faz uma aplicação de R$ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês por um prazo de dois meses.
1º Mês:
O capital de R$ 1.000,00 produz um juros de R$ 100,00 (10% de R$ 1.000,00), pela fórmula dos juros simples já estudada anteriormente, ficaria assim:
2º Mês:
O montante do mês anterior (R$ 1.100,00) é o capital deste 2º mês servindo de base para o cálculo dos juros deste período. Assim:
Tomando-se como base a fórmula dos juros simples o montante do 2º mês pode ser assim decomposto:
NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (n), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3 x 12=36 meses.
4.1 - Taxa nominal
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira, pode ser calculada pela expressão:
Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo
Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por:
Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,
Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50%
4.2 - Taxa real
A taxa real expurga o efeito da inflação.
Um aspecto interessante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, negativas!
Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in.
O montante S 1 ao final do período será dado por S 1 = P(1 + in).Consideremos agora que durante o mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante S 2 = P (1 + j).
A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S 2 , produzirá o montante S 1. Poderemos então escrever:
S 1 = S 2 (1 + r)
Substituindo S 1 e S 2 , vem:
P(1 + in) = (1+r). P (1 + j)
Daí então, vem que:
(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde:
in = taxa de juros nominal
j = taxa de inflação no período
r = taxa real de juros
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são coincidentes.
Veja o exemplo a seguir:
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000, para ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, pede-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo.
Teremos que a taxa nominal será igual a:
in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25% Portanto in = 25%
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:
(1 + in) = (1+r). (1 + j)
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)
1,25 = (1 + r).1,
1 + r = 1,25/1,10 = 1,
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros:
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)
1,25 = (1 + r).1,
1 + r = 1,25/1,30 = 0,
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros negativa!
considerando esta convenção de sinais. Usaremos sempre a convenção de sinal negativo para VP e em conseqüência, sinal positivo para FV. Veremos com detalhes este aspecto, no esenvolvimento do curso.
xemplos Práticos:
um título pelo prazo de meses à taxa de juros composta de 3,5% a .m.?
olução:
00,
a. m. V =?
V= PV (1 + i) n^ FV= 12.000,00 (1+0,035) 8
V= 12.000,00 X 1,316 = R$ 15.801,
uanto deverá ela epositar hoje numa poupança que rende 1.7% de juros compostos ao mês?
olução:
eses) a. m. V =?
d
E
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em 8
S
PV = R$ 12. n = 8 meses i = 3,5 % F
F
F FV
Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, q d
S
FV = R$ 27.500, n = 1 ano (12 m i = 1.7% P
PV = FV. PV = 27.500,00. PV = 27.500,0 0 (1 + i) n^ (1 + 0,017) 12 1,
= 22.463,
xercícios Propostos 03:
m prazo de dois anos a uma taxa de 5% ao semestre, qual será montante no fim do período?
esposta: R$ (?)
xercícios Propostos 04:
Aplicando-se R$ 1.000,00 por u o
R
E
icado durante um ano e três meses à taxa de 2% a.m. uais os juros gerados no período?
Um capital de R$ 2.000.000,00 é apl Q
Resposta: R$ (?)
E xercícios Propostos 05:
eses, rende uma quantia de juros ual ao valor aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação?
esposta: R$ (?)
xercícios Propostos 06:
Determinado capital aplicado a juros compostos durante 12 m ig
R
E
alcule o montante de R$1.000,00 aplicados a 10% a.a. durante 50 dias.
esposta: R$ (?)
- Equivalência Financeira
s seus valores m um determinado período n, calculados com essa mesma taxa, forem iguais.
Exemplo 01:
Diz-se que dois capitais são equivalentes a uma determinada taxa de juros, se o e
Capital (R$) Vencimento Capital (R$) Vencimento 1.100,00 (^) 1 º a.a 2.200,00 (^) 1 º a.a 2.420,00 (^) 2 º a.a 1.210,00 (^) 2 º a.a 1.996,50 (^) 3 º a.a 665,5 (^) 3 º a.a 732,05 4 º a.a 2.196,15 4 º a.a
1º Conjunto 2º Conjunto
Verificar se os conjuntos de valores nominais, referidos à data zero, são equivalentes à taxa de juros de 10% a.a.
Para o 1.º conjunto:
732,05 x FAC (10%; 4) 000 + 1.500 + 500 P 0 = 5.000,
Para o 2.º conjunto:
196,15 x FAC (10%; 4) 000 + 500 + 1. P 0 = 5.000,
P 0 = 1.100 x FAC (10%; 1) + 2.420 x FAC (10%; 2) +
P 0 = 2.200 x FAC (10%; 1) + 1.210 x FAC (10%; 2) +
Dc = desconto comercial. d = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Teremos:
V = N - Dc
No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. Logo:
Dc = Ndn
Substituindo, vem:
V = N(1 - dn)
Exemplo:
Considere um título cujo valor nominal seja R$10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução :
V = 10000. (1 - 0,05. 3) = 8500
Dc = 10000 - 8500 = 1500
Resp: valor descontado = R$ 8.500,00; desconto = R$1.500,
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras. É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título.
Exemplo:
Um título de R$ 100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.
Solução:
Desconto comercial: Dc = 100000. 0,05. 6 = 30000
Despesas administrativas: da = 100000. 0,02 = 2000
IOF = 100000. (0,015/360). 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250
Logo, V = R$ 67.250,
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao banco.
Duplicatas
Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata: Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.
Observação:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para trocá-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.
Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de R$ 50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação.
SOLUÇÃO:
Desconto comercial = Dc = 50000. 0,04. 3 = 6000
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de 800, pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 o primeiro ano, 200 no segundo, 700 no quarto e 200 no quinto ano.
o
n
dinheiro recebido flecha para cima valor positiv Convenção: dinheiro pago flecha para baixo valor negativo
Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C 0 , C 1 , C 2 , C 3 , ..., Cn são capitais referidos às datas, 0, 1, 2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor presente (PV).
O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de referencia. Neste caso, vamos trazer todos os capitais para a data zero. Pela fórmula de Valor Presente vista acima, concluímos que o valor presente resultante - NPV - do fluxo de caixa, mbém conhecido como Valor Presente Líquido (VPL), dado será:
tilizada como critério de escolha de alternativas, como eremos nos exercícios a seguir.
oja de veículos usados são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um carro:
ta
Esta fórmula pode ser u v
Exercícios:
1 - Numa l
Plano A: dois pagamentos, um de $ 1.500,00 no final do sexto mês e outro de $ 2.000,00 no final do décimo segundo mês.
Plano B: três pagamentos iguais de $ 1.106,00 de dois em dois meses, com início no final do segundo mês.
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento?
Inicialmente , devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes:
PLANO A:
Teremos para o plano A:
Para o plano B, teremos:
alor presente), concluímos o A é mais atraente do ponto de vista do consumidor.
Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou v que este plan
Exercício:
2 - Um certo equipamento é vendido à vista por $ 50.000,00 ou a prazo, com entrada de $ 17.000,00 mais três prestações mensais iguais a $ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira
