Matemática financeira, Resumos de Matemática Financeira

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MATEMÁTICA

FINANCEIRA

Prof. Gilmar Bornatto

Material de apoio para o curso de Administração.

ÍNDICE

CONCEITOS BÁSICOS.................................................................................................................................... - 2 -

1 - CONCEITO DE FLUXO DE CAIXA ........................................................................................- 2 - 2 - A MATEMÁTICA FINANCEIRA E SEUS OBJETIVOS..........................................................- 2 - 3 - MOEDA ESTÁVEL E INFLAÇÃO ............................................................................................- 2 - 4 - O CAPITAL E O JURO ...............................................................................................................- 2 - 5 - REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO .............................................................................................- 3 - 6 - O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO ....................................................................................- 3 - 7 - CLASSIFICAÇÃO DOS JUROS.................................................................................................- 3 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS ..........................................................................................................- 4 -

JUROS SIMPLES .............................................................................................................................................. - 4 -

1 - CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES...........................................................................................- 4 - 2 - TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES ......................................................- 6 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................- 7 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS: .........................................................................................................- 9 -

DESCONTOS SIMPLES ................................................................................................................................. - 11 -

1 - INTRODUÇÃO..........................................................................................................................- 11 - 2 - Desconto comercial ou por fora:................................................................................................- 11 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: .....................................................................................................- 16 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS: .......................................................................................................- 17 -

JUROS COMPOSTOS..................................................................................................................................... - 19 -

1 - CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS E EXEMPLOS................................- 19 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: .....................................................................................................- 20 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: .....................................................................................................- 24 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS: .......................................................................................................- 24 - 2 - ESTUDO DAS TAXAS ............................................................................................................- 26 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ......................................................................................................- 26 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................- 27 - 3 - Inflação, Deflação e Atualização Monetária .............................................................................- 29 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................- 31 - 4 - TAXA DE JUROS APARENTE E TAXA DE JUROS REAL ................................................- 32 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS: .......................................................................................................- 33 -

SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES ............................................................................................................ - 34 -

1 - INTRODUÇÃO : ........................................................................................................................- 34 - 2 - Série uniforme com pagamentos postecipados..........................................................................- 34 -

Utilizando a fórmula......................................................................................................................................... - 36 -

3 - SÉRIE UNIFORME COM PAGAMENTOS ANTECIPADOS ...............................................- 38 - 4 - SÉRIE UNIFORME DIFERIDA...............................................................................................- 41 - 5 - SÉRIE UNIFORME INFINITA (PERPETUIDADE)...............................................................- 43 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS: .......................................................................................................- 44 -

EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA ................................................................................................. - 46 -

1 - Valor Atual ou Valor Presente de um Fluxo de Caixa: .............................................................- 46 - 2 - Desconto de Fluxo de Caixa .......................................................................................................- 47 - 3 - Fluxos de Caixa Equivalentes....................................................................................................- 47 - 4 - Valor Presente Líquido de um Fluxo de Caixa (VPL) ..............................................................- 48 - 5 - Taxa Interna de Retorno de um Fluxo de Caixa .........................................................................- 48 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS: .......................................................................................................- 50 - 6 - Análise de Alternativas de Investimentos pelo Método do Valor Presente Líquido (VPL)......- 52 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................- 53 -

AMORTIZAÇÕES DE EMPRÉSTIMOS........................................................................................................ - 54 -

1 - DEFINIÇÕES IMPORTANTES ...............................................................................................- 54 - 2 - PRINCIPAIS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ....................................................................- 54 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS: .......................................................................................................- 57 -

B I B L I O G R A F I A ................................................................................................................................... - 58 -

 taxa percentual: quando representar os juros de 100 (cem) unidades de capital durante o período financeiro a que se refere;  taxa unitária: quando representar, nas mesmas condições, os juros de uma unidade de capital. Exemplo: Seja a taxa de juros de 15% ao ano. 15% = 100

0,15aoano taxa unitária 15%aoano taxa percentual As taxas de juros, neste trabalho, quando inseridas nos enunciados e nas respostas dos exercícios serão, sempre, indicadas na forma percentual, porém, todos os cálculos e desenvolvimento de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal (taxa unitária).

5 - REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

A sucessiva incorporação dos juros ao principal ao longo dos períodos financeiros, denomina-se capitalização. Regime de capitalização simples: quando os rendimentos são devidos única e exclusivamente sobre o principal, ao longo dos períodos financeiros a que se refere a taxa de juros. Regime de capitalização composta: quando ao fim de cada período de tempo, a que se refere a taxa de juros, os rendimentos são incorporados ao capital anterior e passam, por sua vez, a render juros no período seguinte.

6 - O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$ 10.000,00 hoje não são iguais a R$ 10.000,00 em uma outra data qualquer, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos, devido à presença da taxa de juros. Assim, sob a ótica da Matemática Financeira devemos observar que: a) os valores presentes em uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas e somadas algebricamente; b) os valores presentes em datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas e somadas algebricamente após serem movimentadas para uma mesma data, com a devida aplicação de uma taxa de juros.

7 - CLASSIFICAÇÃO DOS JUROS

Os juros são classificados em simples ou compostos , de acordo com o regime de capitalização em que se está trabalhando.

7.1-Exemplo Numérico de Juros simples:

Suponhamos que um indivíduo tenha feito, hoje, uma aplicação no valor de R$ 100,00, em um banco que remunera suas aplicações a juros simples, à razão de 20% ao ano. Qual será seu saldo credor no final de cada um dos próximos cinco anos? PLANILHA DO CRESCIMENTO DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO ESCALA FINAL DO SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL 0 - - - R$ 100, 1 1 o^ ano R$ 100,00 0,20  100,00 = 20,00 R$ 120, 2 2 o^ ano R$ 120,00 0,20  100,00 = 20,0 0 R$ 140, 3 3 o^ ano R$ 140,00 (^) 0,20  100,00 = 20,00 R$ 160, 4 4 o^ ano R$ 160,00 0,20  100,00 = 20,00 R$ 180, 5 5 o^ ano R$ 180,00 (^) 0,20  100,00 = 20,00 R$ 200,

É importante observar, que neste caso, o banco sempre aplica a taxa de juros de 20%a.a. sobre o capital inicial de R$ 100,00, e não permite que o indivíduo retire os juros produzidos em cada período. Assim, apesar dos juros estarem sempre à disposição do banco, eles não são remunerados por parte da Instituição.

7.2-Exemplo Numérico de Juros Compostos:

Vamos supor, agora, que a aplicação do exemplo anterior, tenha sido feita a juros compostos. Qual seria o saldo credor do indivíduo ao final de cada um dos próximos cinco anos? PLANILHA DO CRESCIMENTO DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO ESCALA FINAL DO SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL 0 - - - R$ 100, 1 1 o^ ano R$ 100,00 0,20  100,00 = 20,00 R$ 120, 2 2 o^ ano R$ 120,00 (^) 0,20  120,00 = 24,00 R$ 144, 3 3 o^ ano R$ 144,00 0,20  144,00 = 28,80 R$ 172, 4 4 o^ ano R$ 172,80 (^) 0,20  172,80 = 34,56 R$ 207, 5 5 o^ ano R$ 207,36 0,20  207,36 = 41,47 R$ 248, É importante observar, que neste caso, o banco sempre aplicou a taxa de juros de 20%a.a. sobre o saldo existente no início de cada período financeiro. Assim, após cada período, os juros são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros no período seguinte.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Um investidor aplicou R$ 2.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 6% ao trimestre, no regime de juros simples. Mostrar o crescimento desse capital no final de cada trimestre, a contar da data da aplicação dos recursos, e informar o montante que poderá ser retirado pelo investidor no final do quinto trimestre, após a efetivação do depósito. Resposta: R$ 2.600,
2. Um investidor aplicou R$ 2.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 6% ao trimestre, no regime de juros compostos. Mostrar o crescimento desse capital no final de cada trimestre, a contar da data da aplicação dos recursos, e informar o montante que poderá ser retirado pelo investidor no final do quinto trimestre, após a efetivação do depósito. Resposta: R$ 2.676,
3. Suponha que a aplicação de R$ 5.000,00 tenha produzido ao final de um trimestre a quantia de R$ 190, de juros. Qual foi a taxa percentual trimestral da aplicação? Resposta: 3,8% a.t. JUROS SIMPLES

1 - CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES

1.1- Simbologia a ser adotada

Como forma de simplificação e uniformização de procedimentos no desenvolvimento teórico dos juros simples, será usada a seguinte notação: P = principal, valor presente, valor atual, ou seja, valor do capital no dia de hoje; i = taxa efetiva de juros por período de capitalização; n = número de períodos de capitalização; j = valor dos juros; S = montante, valor futuro, ou seja, valor do capital no fim de n períodos.

1.2- Expressão para o cálculo dos juros

Os juros simples incidem unicamente sobre o principal e geram rentabilidade ou custo, que são diretamente proporcionais ao capital e ao prazo da operação.

1. 5 - Juros Comerciais e Juros exatos

1. 5 .1- Juros Comerciais: São os juros obtidos quando se considera o ano com 360 dias (ano comercial) e o mês com 30 dias (mês comercial).
2. 5 .2- Juros Exatos: São os juros obtidos quando se considera o ano com 365 dias ou 366 dias (ano bissexto). Exemplo: Um capital de R$ 15.000,00 esteve aplicado durante 45 dias à taxa de juros simples de 30% a.a. Determinar os juros comerciais e os juros exatos dessa aplicação.  Juros comerciais j = 15.000 × 0,30 × 360

 j = R$ 562,  Juros exatos j = 15.000 × 0,30 × 365

 j = R$ 554,

1. 6 - Expressão para o cálculo da taxa no período da aplicação

Fazendo n = 1 (um período) na fórmula dos juros j = Pin, teremos: J = PI  i = P j  i = P

S  P

 i = P

P

P

S

  i = 1 P

S

Exemplo: Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 5 meses, gerando um, montante de R$ 10.750,00. a) Determine a taxa de juros do período da aplicação; b) Determine a taxa mensal de juros da aplicação. Solução: P = R$ 10.000, S = R$ 10.750, N = 5 meses a) i = 1 P

S

  i = 1

 ou i = 0,075 = 7,5% (no período de 5 meses) b) i = 7,5%  5 = 1,5% a.m.

2 - TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES

2.1- Conceitos  Duas ou mais taxas de juros são proporcionais quando os seus valores e os períodos a que elas se referem estão na mesma razão. Assim, 20% ao ano e 5% ao trimestre são taxas proporcionais, pois 3 meses 12 meses 5

 Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante. Observação: É importante notar, que no regime de juros simples as taxas proporcionais são, também, equivalentes.

Exemplo: Seja calcular o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 pelo prazo de 6 meses, utilizando as taxas proporcionais 20% a.a. e 5% a.t., respectivamente. a) S = 5.000 (1 + 0,20 × 12

)  S = R$ 5.500,

b) S = 5.000 (1 + 0,05 × 2)  S = R$ 5.500, Conforme podemos observar, os dois montantes são iguais e, portanto, as taxas de 20% a.a. e 5% a.t. são, também, equivalentes. 2.2- Relações entre as taxas proporcionais. Inicialmente, vamos definir: ia = taxa anual de juros. is = taxa semestral de juros. it = taxa trimestral de juros. im = taxa mensal de juros. id = taxa diária de juros. Com base no conceito de taxas proporcionais, podemos escrever: S = P(1 + ia × 1) = P(1 + is × 2) = P(1 + it × 4) = P(1 + im × 12) = P(1 + id × 360). Simplificando os termos comuns, concluímos que: ia = 2is = 4i (^) t = 12im = 360id Aplicação : Determine a taxa mensal proporcional a 45% ao ano. Solução: ia = 12im  45% = 12im  im = 12

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01 - Que capital deverá ser aplicado à taxa de 10% ao trimestre, para produzir ao final de 2 anos, o montante de R$ 14.400,00, no regime de capitalização simples? Solução: S = R$ 14.400, i = 10 % a. t. n = 2 anos = 8 trimestres P =? S = P ( 1 + in )  14.400 = P ( 1 + 0,10  8 )  P = 1,

 P = R$ 8.000,

02 - A que taxa mensal de juros simples deve-se aplicar o capital de R$ 15.000,00 para que em 3 meses e 15 dias, produza o montante de R$ 17.100,00? Solução: P = R$ 15.000, S = R$ 17.100, n = 3 meses e 15 dias = 105 dias i =? S = P ( 1 + in ) 17.100 = 15.000 ( 1 + i  30

= 1 + 3,5 i 1,14 = 1 + 3,5 i  3,5i = 0,14  i = 3,

= 0,04 ou i = 4% a.m.

07 - Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado à taxa de 30% ao ano, no regime de capitalização simples, pelo prazo de 45 dias: a) Determinar os juros exatos dessa aplicação; b) Determinar os juros comerciais dessa aplicação. Solução: P = R$ 10.000, i = 30% a.a. n = 45 dias j =? a) j = Pin  j = 10.000  0,30  365

 j = R$ 369, b) j = Pin  j = 10.000  0,30  360

 j = R$ 375,

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

Observação : Nos exercícios que seguem, a não ser que seja dito explicitamente o contrário, considere juros comerciais. 01 - Determine os juros simples de uma aplicação de R$ 8.500,00 à taxa de 3 % ao mês, durante 5 meses. Resposta: R$ 1.275,00. 02 - Aplica-se R$ 5.000,00 a uma taxa mensal de 2,5%. Calcule os juros simples produzidos após 3 meses. Resposta: R$ 375,00. 03 - Aplica-se a quantia de R$ 5.400,00 à taxa de 2% ao mês, no regime de capitalização simples. Qual é o montante obtido ao fim de 4 meses? Resposta: R$ 5.832,00. 04 - Determine os juros e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00, no regime de capitalização simples, nos seguintes casos: a) à taxa de 22% ao ano, após um ano; Resposta: R$ 2.200,00 e R$ 12.200,00. b) à taxa de 30% ao ano, após 8 meses; Resposta: R$ 2.000,00 e R$ 12.000,00. c) à taxa de 18% ao ano, após 45 dias; Resposta: R$ 225,00 e R$ 10.225,00. d) à taxa de 2,5% ao mês, após 5 meses; Resposta: R$ 1.250,00 e R$ 11.250,00. e) à taxa de 3,5% ao mês, após 21 dias; Resposta: R$ 245,00 e R$ 10.245,00. f) à taxa de 2% ao mês, após um ano. Resposta: R$ 2.400,00 e R$ 12.400, 05 - A que taxa mensal de juros simples: a. o capital de R$ 8.000,00 produz, em um ano, R$ 3.648,00 de juros? Resposta:3,8% a.m b) o capital de R$ 6.500,00 produz, em 5 meses, R$ 845,00 de juros? Resposta: 2,6% a.m. c) o capital de R$ 5.000,00 produz, em 2 meses e 20 dias, R$ 1.000,00 de juros? Resposta: 7,5% a.m. 06 - Paulo aplicou R$ 8.000,00 a juros simples à taxa de 22% ao ano. Se ele recebeu R$ 2.200,00 de juros, qual o prazo da aplicação? Resposta: 1 ano e 3 meses. 07 - Qual o montante de uma aplicação de R$ 12.000,00, no regime de capitalização simples, à taxa de 5% ao mês, após 3 meses? Resposta: R$ 13.800,00. 08 - Qual o montante de uma aplicação de R$ 7.500,00 ao fim de 6 meses e 17 dias, à taxa de 72% ao ano, no regime de capitalização simples? Resposta: R$ 10.455,00. 09 - Quanto se deve aplicar hoje, para se obter um valor de resgate de R$ 15.200,00, ao fim de 2 anos, à taxa de 4% ao mês, no regime de capitalização simples? Resposta: R$ 7.755,10. 10 - Que quantia se deve aplicar à taxa de 42% ao ano, durante 5 meses e 10 dias, no regime de capitalização simples, para se obter o montante de R$ 7.751,25? Resposta: R$ 6.531, 11 - Um aparelho de som é vendido à vista por R$ 820,00 ou por R$ 164,00 de entrada mais uma parcela de R$ 721,60 após 2 meses. Qual a taxa de juros simples cobrada? Resposta: 5% ao mês.

12 - Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou então a prazo com R$ 450,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada? Resposta: 3,57% a.m. 13 - Certo capital acrescido dos juros simples, calculados à taxa de 22% ao ano, em um mês e dez dias, importa em R$ 7.376,00. Determine esse capital. Resposta: R$ 7.200,00. 14 - Um vestido de noiva é vendido à vista por R$ 2.400,00 ou, então, a prazo com 20% de entrada mais uma parcela de R$ 2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada? Resposta: 5,99% a.m. 15 - Foi contraído um empréstimo no valor de R$ 20.000,00 no dia 02/06/1994. Qual foi o valor resgatado no dia 03/12/1994, se a taxa de juros simples cobrada foi de 8% ao mês? (Obs.: O tempo transcorrido entre duas datas deve ser contado de forma exata). Resposta: R$ 29.813,33. 16 - Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples, com taxa de 4% ao mês, para que o seu valor seja triplicado? Resposta: 4 anos e 2 meses. 17 - Uma aplicação financeira com prazo de 4 meses, rende juros simples à taxa de 22% ao ano, porém o investidor deve pagar, no ato do resgate, um imposto de renda igual a 20% do valor dos juros auferidos: a ) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de R$ 12.000,00? Resposta: R$ 12.704,00. b ) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de R$ 11.500,00? Resposta: R$ 10.862,72. 18 - Uma pessoa aplicou 1/3 de seu capital a 42% ao ano e o restante a 36% ao ano. No fim de 2 anos, os juros simples obtidos somaram R$ 6.840,00. Qual foi o capital aplicado? Resposta: R$ 9.000,00. 19 - A terça parte de um capital foi aplicada a 36% a.a., a quarta parte, a 42% a.a. e o restante a 30% a.a. No fim de 3 anos os juros simples obtidos somaram R$ 15.750,00. Qual foi o capital aplicado? Resposta: R$ 15.000,00. 20 - Um capital de R$ 3.000,00 foi aplicado em 23 de março de 1999 a juros simples com taxa de 96% a.a..O resgate foi feito em 17 de setembro de 2000. Determine os juros exatos e os juros comerciais desta aplicação. (O número de dias decorridos foi de 544 ). Respostas: R$ 4.292,38 e R$ 4.352,00. 21 - Aplica-se R$ 12.500,00 a 3,8% ao mês, pelo prazo de 180 dias, no regime de capitalização simples a)Calcular os juros exatos; Resposta: R$ 2.810,96. b) Calcular os juros comerciais. Resposta: R$ 2.850,00. 22 - Calcular os juros simples exatos do capital R$ 3.800,00, colocado à taxa de 5% a.m., de 2 de janeiro a 28 de maio do mesmo ano. Resposta: R$ 912,00. 23 - Um determinado capital aplicado a juros simples exatos, e a certa taxa anual, rendeu R$ 240,00. Determine os juros auferidos nesta aplicação se fossem juros comerciais. Resposta: R$ 243,

Diagrama da operação :  Cálculo do valor líquido: Juros = 60.000  0,06  30

IOF = 60.000  0,000041  35 = 86,

Valor líquido = 60.000,00 – 4.200,00 - 86,10 = 55.713,  Cálculo do custo efetivo : S = P(1 + in) 60.000,00 = 55.713,90 (1 + i  30

)  i = 0,0659404 ou i = 6,59404 % a.m. 2.2- Considerações sobre o Saldo Médio: Para obter uma faixa de desconto de uma duplicata ou de uma promissória nos bancos comerciais, normalmente são consideradas as reciprocidades que o cliente (tomador) oferece. A mais importante costuma ser o saldo médio, que nada mais é que a média diária dos saldos mantidos em conta corrente durante o período considerado. Quando o cliente precisa descontar uma nota promissória para obter dinheiro emprestado será considerado pelo banco o seu saldo médio, isto é, se não tiver saldo médio poderá ser difícil obter o empréstimo. Assim sendo, quando fazemos essa operação estamos pagando por nosso próprio capital que está em reciprocidade no saldo médio. Por isso, esse saldo médio deve ser considerado como custo para quem opera freqüentemente com bancos, como é o caso de empresas que descontam títulos. Exemplo: Uma empresa desconta num banco uma nota promissória no valor de R$ 40.000,00, com prazo de 45 dias e taxa de desconto de 6 % ao mês. Sabendo-se que a taxa de IOF é de 0,0041% ao dia, e, que o banco exige um saldo médio de 20 % do valor do título, determinar o custo efetivo desse empréstimo.  Cálculo do custo efetivo: S = P(1 + in) Diagrama da operação: Solução : Valor do saldo médio  0,20  40.000,00 = 8.000, Valor do desconto (juros)  40.000,00  0,06  30

IOF  40.000,00  0,000041  45 = 73,

Valor disponível  40.000,00 - 8.000,00 – 3.600,00 - 73,80 = 28.326,

Valor a ser desembolsado no vencimento  40.000,00 - 8.000,00 = 32.000, Cálculo da taxa mensal de custo efetivo : S = P ( 1 + in ) 32.000,00 = 28.326,20 ( 1 + i  30

)  i = 0,08646 ou i = 8,646 % a.m. 2.3- Relação Entre Taxa de Desconto e Taxa de Rentabilidade  Simbologia a ser adotada: d = taxa de desconto por período i = taxa de rentabilidade por período Dc = desconto comercial N = valor nominal do título (valor de face) P = principal, valor presente ou valor atual n = número de períodos (prazo) Conforme podemos observar nos exercícios anteriores, o desconto comercial equivale aos juros simples cobrados sobre o valor nominal do título, isto é: Dc = Ndn O valor atual ou valor presente de um título é, por definição, igual ao valor nominal menos o desconto, isto é: P = N – Dc  P = N - Sdn  P = N ( 1^ – dn )^ ( 1 ) A taxa de rentabilidade i, é calculada através da fórmula do montante, isto é: N = P ( 1 + in )  P = 1 in

N

Comparando as relações ( 1 ) e ( 2 ), podemos escrever: N ( 1 – dn ) = 1 in

N

, de onde se conclui que:

1 dn

d

i

  (taxa de rentabilidade i, a partir da taxa de desconto d, e do número de períodos n)

d = 1 in i   (taxa de desconto d, a partir da taxa de rentabilidade i, e do número de períodos n) Aplicações: Consideremos, como exemplo, o problema seguinte, já mencionado anteriormente: Uma empresa desconta, num banco, um título no valor de R$ 60.000,00, no dia 10/06/97, com vencimento para 15/07/97. A taxa de desconto cobrada pelo banco é de 6% a.m. Sabendo-se que a taxa de IOF é de 0,0041% ao dia, determinar: a) o valor do desconto comercial; b) o valor atual ou valor presente do título; c) a taxa de rentabilidade do banco; d) o custo efetivo desse empréstimo para a empresa.

A taxa média é obtida por meio da média ponderada, onde o valor nominal e o prazo representam os pesos. Sejam: N 1 , N 2 , N 3 , ..., Nh os valores nominais dos títulos com prazos iguais a n 1 , n 2 , n 3 , ..., nh e taxas de desconto comercial iguais a d 1 , d 2 , d 3 , ..., dh, respectivamente. Chamando de d a taxa média de desconto, teremos: N 1 d n 1 + N 2 d n 2 + N 3 d n 3 + ... + Nh d nh = N 1 d 1 n 1 + N 2 d 2 n 2 + N 3 d 3 n 3 + ... + Nhdhnh (N 1 n 1 + N 2 n 2 + N 3 n 3 + ... + Nhnh) d = N 1 d 1 n 1 + N 2 d 2 n 2 + N 3 d 3 n 3 + ... + Nhdhnh N 1 n 1 N 2 n 2 N 3 n 3 ... Nhn h d N^1 d^1 n^1 N^2 d^2 n^2 N^3 d^3 n^3 ... Nhdhn^ h          Exemplo: Calcular a taxa média no desconto comercial do seguinte conjunto de títulos: VALOR NOMINAL PRAZO TAXA DE DESCONTO R$ 5.000,00 4 meses 3% a.m. R$ 2.000,00 5 meses 4% a.m. R$ 8.000,00 6 meses 5% a.m. d = 5000 4 2000 5 8000 6

d = 78000

= 0,043590 ou 4,359 0 % a.m. Observação : Esta taxa média significa que, se os três títulos fossem descontados a uma taxa única de 4,359% ao mês, produziriam o mesmo desconto que seria produzido caso esses títulos fossem descontados às taxas de 3% ao mês, 4% ao mês e 5% ao mês, respectivamente. Comprovação: a) Valor do desconto calculado com base nos valores nominais, taxas e prazos especificados para cada título.  

D 8000 0,05 6 2.400,

D 2000 0,04 5 400,

D 5000 0,03 4 600,

3 2 1  Dc = R$ 3.400, a) Valor do desconto calculado com base nos valores nominais e nos prazos especificados em cada título e, na taxa média.  

D 8000 0,04359 6 2.092,

D 2000 0,04359 5 435,

D 5000 0,04359 4 871,

3 2 1  Dc = R$ 3.400, 2.5.2-Prazo médio O prazo médio é o prazo único com o qual se deve descontar um conjunto de títulos para se obter o mesmo desconto que seria obtido caso os títulos fossem descontados com os seus respectivos prazos. O prazo médio é obtido pela média ponderada, onde o valor nominal e a taxa representam os pesos. Assim, representando por n o prazo médio de um conjunto de títulos, no desconto comercial, temos: N 1 d 1 n + N 2 d 2 n + N 3 d 3 n + ... + Nhdh n = N 1 d 1 n 1 + N 2 d 2 n 2 + N 3 d 3 n 3 + ... Nhdhnh Colocando n em evidência, resulta: (N 1 d 1 + N 2 d 2 + N 3 d 3 + ... + Nhdh) n = N 1 d 1 n 1 + N 2 d 2 n 2 + N 3 d 3 n 3 + ... Nhdhnh n = N 1 d 1 N 2 d 2 N 3 d 3 ... Nhd h N 1 d 1 n 1 N 2 d 2 n 2 N 3 d 3 n 3 ... Nhdhn h        

Exemplo: Calcular o prazo médio do seguinte conjunto de títulos no desconto comercial. VALOR NOMINAL PRAZO TAXA DE DESCONTO R$ 10.000,00 4 meses 6% a.m. R$ 5.000,00 3 meses 4% a.m. R$ 8.000,00 5 meses 5% a.m. Solução: n = 10.000 0,06 5.000 0,04 8.000 0,

n = 600,00 200,00 400,

n = 4, 1.200,

Resposta. : O prazo médio é de 4,1667 meses ou 4 meses e 5 dias. Observação: Este prazo médio significa que, se os três títulos fossem descontados com um prazo único de 4 meses e 5 dias, produziriam o mesmo desconto que seria produzido caso estes títulos fossem descontados com os prazos de 4 meses, 3 meses e 5 meses, respectivamente. Comprovação: a) Valor do desconto calculado com base nos valores nominais, taxas e prazos especificados para cada título.  

D 8.000 0,05 5 2.000,

D 5.000 0,04 3 600,

D 10.000 0,06 4 2.400,

3 2 1  Dc = R$ 5.000, b) Valor do desconto calculado com base nos valores nominais e nas taxas especificados em cada título e, no prazo médio.  

D 8.000 0,05 4,166667 1.666,

D 5.000 0,04 4,166667 833,

D 10.000 0,06 2.500,

3 2

1 4 ,^166667

 Dc = R$ 5.000,

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

01 - Uma empresa desconta uma nota promissória no valor de R$ 9.000,00, 72 dias antes do vencimento, em um banco, a uma taxa de desconto comercial de 5% ao mês. Sabendo-se que a taxa de IOF cobrada é de 0,0041% ao dia e que o banco cobra uma taxa administrativa de 0,5% sobre o valor nominal do título para esse tipo de operação, determinar: a)o valor do desconto; b)o valor líquido recebido pela empresa; c)a taxa efetiva de juros da operação no período. Solução: a) Dc = Ndn Dc = 9.000 × 0,05 × 30

b) IOF = 9.000 × 0,000041 × 72 = 26, Desp. adm. = 9.000 × 0,005 = 45, Valor Líq. = 9.000,00 – 1.080 – 26,57 – 45,00 = 7.848,

03 - O desconto comercial de um título foi de R$ 150,00, adotando-se uma taxa de desconto de 30% ao ano. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título se o seu valor nominal fosse de R$ 4.000,00? Resp.: 45 dias. 04 - Determine o valor a ser pago hoje por um título de R$ 27.000,00, cujo vencimento ocorrerá daqui a quatro meses, supondo que a taxa de desconto comercial simples seja de 4,8% ao mês. Resposta:R$ 21.816,00. 05 - Uma pessoa precisa de R$ 18.000,00 para saldar um compromisso. Que valor deverá pedir emprestado em um banco que cobra 4,5% ao mês de desconto comercial, mais uma taxa de serviço de 2% sobre o valor nominal do título, com prazo de 60 dias? Resposta: R$ 20.224,72. 06 - Uma duplicata no valor de R$ 5.000,00 foi descontada em um banco, 45 dias antes do seu vencimento, à taxa de desconto comercial de 4,5% ao mês. Determinar o valor creditado ao cliente, sabendo-se que a taxa de IOF é de 1,5% ao ano. Resposta:R$ 4.653,13. 07 - (QC-MM) Para pagar uma dívida de R$ 4.027,50, certo comerciante juntou um cheque ao portador de R$ 1.332,50 à importância líquida (valor atual) produzida pelo desconto comercial de uma letra de R$ 2.750,00, vencível em três meses. A que taxa anual foi calculado o desconto do referido título? Resposta.: 8% a.a. 08 - Uma letra do Tesouro Nacional está sendo negociada com um prazo de 48 dias, com taxa de desconto comercial de 7% a.m. Calcule o valor da taxa de rentabilidade mensal do papel. Resposta: 7,88% a.m. 09 - Foram aplicados, na mesma data, os seguintes valores, a juros simples: R$ 2.400,00, com taxa de 4,5% ao mês, em quatro meses; R$ 5.000,00, com taxa de 4% ao mês, em seis meses e R$ 3.500,00, com taxa de 5% ao mês, em três meses. Objetivando estabelecer um vencimento único para as três aplicações, calcular o prazo médio, ou seja, em quanto tempo esses valores colocados com suas respectivas taxas renderão o mesmo total de juros? Resposta: 4 meses e 14 dias, aproximadamente. 10 - (TCI-RJ) Um título com 180 dias a decorrer até seu vencimento está sendo negociado, no regime de juros simples, com uma taxa de desconto comercial de 15% ao ano. Determine o valor da aplicação, que proporciona um resgate de R$ 2.000,00. Resposta: R$ 1.850,00.

JUROS COMPOSTOS

1 - CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS E EXEMPLOS

1.1-Conceito Diz-se que um capital está aplicado a juros compostos ou no regime de capitalização composta, quando, no fim de cada período financeiro, previamente estabelecido, os juros são adicionados ao capital anterior e passam a render juros no período seguinte. 1.2-Expressão para o cálculo do montante O valor dos juros em cada período financeiro, no regime de juros compostos, é obtido pela aplicação da taxa de juros sobre o saldo existente no início do período correspondente. Assim, considerando-se o principal P aplicado a juros compostos à taxa i durante n períodos, segue-se que: o valor dos juros no fim do primeiro período é dado por: j 1 = Pi O valor do montante S no fim desse período será: S 1 = P + Pi  S 1 = P  1 + i) No final do segundo período os juros acumulados serão representados por: j 2 = S 1 .i , isto é: j 2 = P1 + ii O montante no final do segundo período será, portanto, representado por: S 2 = S 1 + j 2 , isto é: S 2 = P1 + i + P1 + ii  S 2 =  1 + i ^2. Por indução, podemos concluir que a expressão genérica para o cálculo do montante S , à taxa i de juros compostos, no fim do período n será representada por: S = P  1 + i  n A expressão acima mostra que, no regime de capitalização composta, o montante cresce de forma exponencial ao longo do tempo. Para simplificar a avaliação numérica, o termo  1 + i  n^ será denominado FATOR DE CAPITALIZAÇÃO e será representado por FPS ( i, n . Assim, podemos escrever: FPS ( i, n  =  1 + i  n E, como conseqüência imediata temos : (^) S = P  FPS ( i, n ) Observação: Os valores do fator de capitalização FPS ( i, n ) estão contidos nas tabelas financeiras. 1.3 - Expressão para o cálculo do valor atual A expressão S = P(1 + i ) n^ nos permite escrever: P =   n 1 i

S

ou (^) P = S  1 + i  -^ n A expressão acima permite determinar o principal P , que aplicado à taxa i de juros compostos, durante n períodos, produz o montante S. O termo  1 + i  -^ n^ é denominado FATOR DE VALOR ATUAL e, será representado por FSP ( i, n , isto é, FSP ( i, n  =  1 + i  -^ n E, como conseqüência imediata temos : (^) P = S  FSP ( i, n  Observação: Os valores do fator de valor atual FSP ( i, n ) estão contidos nas tabelas financeiras.