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Para acharmos as taxas equivalentes utilizamos a fórmula abaixo: Te = ( n^ √ 1+i) – 1 Onde:
Te = Taxa equivalente de determinado período n = número do período i = percentual de juros do período em que você está tentando encontrar a taxa equivalente Exemplo: Se temos uma taxa anual de 32,301% (a.a.) e queremos achar a taxa mensal equivalente, então: Te = (^12 √ 1+ 0,32301) – 1 Te = 2,36 % a.m.
Para acharmos o coeficiente de financiamento utilizamos a fórmula abaixo: CF = [i / 1 - (1+i) -n^ ] Onde:
CF = Coeficiente de Financiamento n = número do período i = percentual de juros do financiamento / = divisão Obs.: Calculamos primeiro os parênteses ( ), depois os colchetes [ ] e depois as chaves { }. Exemplo: Suponha-se que uma pessoa quer comprar um automóvel de R$ 10.000,00, financiado a juros de 1,99% a.m. e deseja saber quanto ficará o valor de suas parcelas se financiar em 24 meses : CF = [0,0199 / 1 - (1+ 0,0199)-24^ ] CF = [0,0199 / 1 - (1,0199) -24^ ] CF = [0,0199 / 1 - 0,623186 ] CF = [0,0199 / 0,376814 ] CF = 0, Então, multiplicaremos o CF pelo valor a financiar e teremos o valor da parcela mensal. 0,052811. R$ 10.000,00 = R$ 528,
Para acharmos o valor presente de um financiamento utilizamos a fórmula abaixo:
PV = PMT. {[1- (1+i) -n^ ] / i }
Onde: PV = Presente Valor ou valor descapitalizado (sem os juros futuros) n = número do período i = percentual de juros do financiamento PMT = Parcela mensal fixa de seu financiamento / = divisão Obs.: Calculamos primeiro os parênteses ( ), depois os colchetes [ ] e depois as chaves { }. Exemplo: Se temos um financiamento de 06 parcelas mensais de R$ 100,00 que foi financiado com taxa de 5% a.m. e queremos quitar este financiamento na data de hoje, adiantando seis meses, então: PV = 100,00. {[1-(1+0,05) -6^ ]/ 0,05} PV = 100,00. {[1- 0,746215] / 0,05} PV = 100,00. {0,253785 / 0,05} PV = 100,00. 5, PV = R$ 507, Ou seja, pagaremos R$ 507,57 para quitar todo o financiamento, pois estamos adiantando-o 06 meses.
Para acharmos o valor futuro de um financiamento utilizamos a fórmula abaixo:
FV = PMT. {[(1+i) n^ -1] / i }
Onde: FV = Futuro Valor n = número do período i = percentual de juros do financiamento PMT = Parcela mensal fixa de seu financiamento / = divisão Obs.: Calculamos primeiro os parênteses ( ), depois os colchetes [ ] e depois as chaves { }. Exemplo: Suponha-se que uma pessoa aplicou R$ 250,00 mensalmente em um determinado produto que rende 3% a.m. de juros durante 12 meses. Para sabermos quanto isso lhe rendeu temos: FV = 250,00. {[(1+0,03)^12 - 1] / 0,03} FV = 250,00. {[(1,03)^12 -1] / 0,03} FV = 250,00. {[1,425761 - 1] / 0,03} FV = 250,00. {0,425761 / 0,03}
para fins de concurso quando pedirem juro simples ordinário trabalhe como juro simples comercial, ok? Tempo Exato e Tempo Aproximado tempo exato -> ano de 365 ou 366 dias e mês de 28, 29 , 30 ou 31 dias (lembrou ?). Normalmente quando é pedido em concurso é fornecido junto com a prova uma tabela para cálculo do tempo exato. Essa tabela é facílima de usar, basta enquadrarmos dia/mês e subtrairmos os números de dias para encontrarmos o resultado.
DIA\MÊS JANEIRO FEVEREIRO 01 1 32 02 2 33 03 3 34 Exemplo : Conte os dias entre 02/Janeiro e 03/Fevereiro. 1°) Enquadramento: 02/Janeiro = 2 e 03/Fevereiro = 34 2°) Diferença: 34 - 2 = 32 (número exato de dias) *Os mais espertos já perceberam que falta um dia. Para esse tipo de cálculo é assim mesmo. Quando tratarmos de Rendas Certas você compreenderá melhor. tempo aproximado -> Já absorvido: ano de 360 dias e o mês de 30 dias. Taxa Percentual e Unitária taxa percentual-> 10%; 2%; 6,5%; 100%; 1.000.000%; etc taxa unitária-> 0,1 (10÷100); 0,02; 0,065; 1; 10.000; etc MONTANTE SIMPLES É o valor do capital acrescido dos juros do período. M = C + J = C + Cit ->colocando em evidência, temos a conhecida fórmula M = C ( 1 + it ), barbada! DESCONTO SIMPLES Lembrete: C (capital) é também conhecido como Valor Atual e M (montante) como Valor Nominal. F 0A E Temos 3 tipos :
1º- Bancário -> é o maior ( cruel ) desconto, pois incide no montante e além disso, ao percentual da taxa de desconto é acrescentado o percentual da taxa administrativa do banco. Db = M(id+ib)t
2º- Por fora ou Comercial ou Irracional -> o nome diz tudo, também incide no montante. Dc = Mit 3º- Por dentro ou Racional -> é o desconto mais suave ( é soft ). Incide no valor do capital, ou seja, é igual ao valor do juro simples.
Dr = Cit Para o cálculo do desconto racional é importante o seguinte raciocínio: M = C + J = C + Cit = C ( 1 + it ), como já vimos, então, M F 0B 8( 1 + it ) = C Assim, se Dr = Cit => Dr = Mit F 0B 8( 1 + it )
EQUIVALÊNCIA E PROPORCIONALIDADE
No juro simples ser equivalente é ser proporcional , ou seja 12% a.a. é equivalente e é proporcional a 1% a.m., considerando as demais variáveis constantes (Ceteris Paribus para a turma de Economia ). Neste caso o valor nominal é também o valor efetivo. $ 166,32 aplicado durante 2 anos a uma taxa de 12% a.a. -> j = cit => j = F 0 166,32 x (12B 8 100) x 2 = 39,9168. $166,32 aplicado durante 2 anos a uma taxa de 1% a.m. -> j = cit => j = F 0 166,32 x (1B 8 100) x (2x12) = 39,9168. COMPROVADO! *Há dúvidas com relação ao conceito de nominal e efetivo? Quando estudarmos juros compostos essa questão será esclarecida, ok? *Agora vamos ver uma coisa importante: uma DICA DE PROVA: " 2 ou mais valores são equivalentes quando, em um determinado tempo, seus valores atuais forem iguais." Traduzindo: $1450,02 é resultado de uma aplicação durante t' = 1,3 anos à taxa F 0 i' = 12% a.a., assim, se M = C1 (1 + it) => 1450,02 = C1 (1 +(12B 8 100) x 1,3) => C1 = Valor Atual = 1254,34... -> ..................$1942,22 é resultado de uma aplicação durante t´´= 4,57 anos à F 0 taxa i´´= 12% a.a., assim, se M = C2 (1 + it) => 1942,22 = (1 +(12B 8 100) x 4,57) => C2= 1254,34.... ->.................Logo, se C1 F 0 = C2 => $1450,02 é equivalente a $1942,22, considerando i' = i'' e t' (^) B 9t'' CQD! JUROS COMPOSTOS M = C + J TEMPO MONTANTE FÓRMULA 1 C (1+i) C (1+i) 2 C (1+i) (1+i) C (1+i)² 3 C (1+i) (1+i) (1+i) C (1+i)³ Assim, M = C ( 1 + i ) t No montante composto em função dos juros serem capitalizados ("juro sobre juro" ), o juro incide sobre o capital já corrigido, assim o valor do juro é crescente, enquanto que no juro simples o valor do juro é constante. CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL
(1+0,15)¹ = (1+i)³ => 1,15 = (1+i)³ => achando-se a raiz cúbica dos dois termos encontramos 1,047689 = 1+i, assim a taxa mensal equivalente a 15% a.t. é 4,76% a.m.. RENDAS CERTAS São depósitos ou pagamentos que irão constituir um capital ou resgatar uma dívida. Com referência às rendas certas precisamos saber o que são diferidas, postecipadas e antecipadas: antecipadas -> quando os depósitos ou pagamentos são feitos no início dos períodos ; postecipadas ou imediatas -> quando os depósitos ou pagamentos são feitos no final dos períodos ; diferidas -> quando os depósitos ou pagamentos são diferidos (ou adiados ) "m" períodos. CONVENÇÕES NOVAS R = série de pagamentos iguais n = tempo v = (1+i) Trabalhando com rendas certas creio que facilitará o estudo se conhecermos os seguintes fatores:
- an¬i = [v n^ - 1] ÷ iv n -> todos os cálculos podem ser feitos com esta fórmula , entretanto acho melhor usarmos as fórmulas modificadas para a renda antecipada e para a diferida.
- postecipada = an¬i =[v n^ - 1] ÷ iv n
- antecipada = ä (^) n¬i = [v^ n^ - 1] ÷ iv^ n-
- diferida = m / an¬i = [v^ n^ - 1] ÷ iv^ n+m
- fator de acumulação de capital :
- Sn¬i =[v n-1] ÷ i FORMULÁRIO DE RENDAS CERTAS
- com fator de valor atual :
- postecipada -> C = R x an¬i
- antecipada -> C = R x än¬^ i
- diferida -> C = R x m/a (^) n¬i
- com fator de acumulação de capital^ :
- M = R x Sn¬ (^) i AMORTIZAÇÃO :Refere-se ao pagamento do principal de uma dívida. PRESTAÇÃO :É o somatório da amortização mais o juro de cada período. SISTEMAS PRINCIPAIS DE AMORTIZAÇÃO
SISTEMA FRANCÊS
SISTEMA SAC OU HAMBURGUÊS
SISTEMA MISTO
SISTEMA AMERICANO
1- SISTEMA FRANCÊS
1.1- Sem prazo de carência : Um empréstimo de $200.000,00 para ser pago em 4 parcelas mensais, à taxa de 2% a.m.. Cálculo da Prestação: R = C F 0B 8 a (^) n¬i = 200.000,00 F 0B 8a (^) 4 ¬ 2 = 52.524,
Cálculo dos Juros: J = C x i = 200.000,00 x 0,02 = 4.000, N Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 200.000,00 - - - 1 151.475,25 48.524,75 4.000,00 52.524, 2 101.980,00 49.495,25 3.029,50 52.524, 3 51.494,85 50.485,15 2.039,60 52.524, 4 - 51.494,85 1.029,90 52.524, Total 200.000,00 10.099,00 210.099, 1.2- Com prazo de carência : Um empréstimo de $200.000,00 para ser pago no prazo de 4 meses, à taxa de 2% a.m., com carência de 2 meses. J = C x i = 200.000,00 x 0,02 = 4.000, R = C ÷ a (^) n¬i = 200.000,00 ÷ a 2 ¬ 2 = 103.009, *obs: n = 2 em função da carência de 2 meses, ok. N Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 200.000,00 - - - 1 200.000,00 - 4.000,00 4.000, 2 200.000,00 - 4.000,00 4.000, 3 100.990,10 99.009,90 4.000,00 103.009, 4 - 100.990,10 2.019,80 103.009, Total 200.000,00 14.019,80 214.019, 1.3- Com carência e capitalização de juros : Um empréstimo de $200.000,00 para ser pago no prazo de 4 meses, à taxa de 2% a.m., com carência de 2 meses e capitalização de juros no saldo devedor. Cálulo da Prestação: R = 208.080,00 ÷ a 2 ¬ 2 = 107.171, N Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 200.000,00 - - - 1 204.000,00 - - - 2 208.080,00 - - - 3 105.070,10 103.009,90 4.161,60 107.171,
Total 200.000,00 5.000,00 205.000,
2.2- Com Prazo de Carência
Um empréstimo de $200.000,00 para ser pago no prazo de 4 meses, à taxa de 1% a.m., com prazo de carência de 2 meses, de acordo com o sistema SAC. Cálculo do Valor da Amortização: 200.000,00÷2= 100.000,
N Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 200.000,00 - - - 1 200.000,00 - 2.000,00 2.000, 2 200.000,00 - 2.000,00 2.000, 3 100.000,00 100.000,00 2.000,00 102.000, 4 - 100.000,00 1.000,00 101.000, Total 200.000,00 7.000,00 207.000,
2.3- Com Prazo de Carência e Capitalização de Juros no Saldo.
Um empréstimo de $200.000,00 para ser pago no prazo de 4 meses, à taxa de 1% a.m., com prazo de carência de 2 meses e juros capitalizados no saldo, de acordo com o sistema SAC.
Cálculo do Valor da Amortização: 204.020,00÷2= 102.010,
N Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 200.000,00 - - - 1 202.000,00 - - - 2 204.020,00 - - - 3 102.010,00 102.010,00 2.040,20 104.050, 4 - 102.010,00 1.020,10 103.030, Total 204.020,00 3.060,30 207.080,
3- SISTEMA MISTO
Neste sistema as prestações, os juros e o saldo devedor são resultado da média aritmética entre os valores do SAC e do Sistema Francês.
Média Aritmética: [(Valor Sistema Francês + Valor SAC) ÷ 2 ] para todos os valores.
4- SISTEMA AMERICANO
A amortização do principal é feita no final do período. 4.1- Juros pagos na carência Um empréstimo de $200.000,00, para ser pago no prazo de 4 meses, à taxa de 1% a.m..
N Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 200.000,00 - - - 1 200.000,00 - 2.000,00 2.000, 2 200.000,00 - 2.000,00 2.000, 3 200.000,00 - 2.000,00 2.000, 4 - 200.000,00 2.000,00 202.000, Total 200.000,00 8.000,00 208.000,
4.2- Juros capitalizados no saldo devedor
Um empréstimo de $200.000,00 ,para ser pago no prazo de 4 meses, à taxa de 1% a.m.. Cálculo da Prestação: 206.060,20 x 1,01 = 208.120,80, onde 1,01 é 1+i. 208.120,80 - 200.000,00 (Amortização) = 8.120,80 (Juros)
N Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 200.000,00 - - - 1 202.000,00 - -^ - 2 204.020,00 - -^ - 3 206.060,20 - -^ - 4 - 200.000,00 8.120,80 208.120, Total 200.000,00 8.120,80 208.120,
