Baixe matematica financeira e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity!
Matemática Financeira: Aplicações à
Análise de Investimentos
4ª. Edição
Resolução dos Exercícios
Propostos
Entre os méritos deste livro, que fazem dele um dos preferidos pelos
estudantes e professores, está explicar os diferentes assuntos da
matemática financeira e da análise de investimentos por meio de uma
grande quantidade de exemplos e de exercícios apresentados ao longo
dos capítulos.
Nesta quarta edição, disponibilizamos aos leitores as resoluções
detalhadas dos 366 exercícios propostos no livro.
Esperamos que este novo recurso facilite a compreensão e o estudo dos
diversos assuntos tratados.
Agradeço às pessoas que colaboraram na elaboração deste material,
especialmente a Eduardo Estellita, do curso de Engenharia de Produção
da PUC-Rio, pela valiosa colaboração.
O autor
CAPÍTULO 1
Exercícios Propostos
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 dias.
1. Qual é a taxa anual de juros simples obtida em uma aplicação de $1.300 que produz, após um ano, um montante de $1.750? Dados: P = $1.300, S = $1.750, i =?
S = P × (1 + i) ⇒ $1.750 = $1.300 × (1 + i) ⇒ i = 34,61% a.a.
2. Qual é a remuneração obtida em um capital de $2.400 aplicado durante 17 meses à taxa de juros simples de 60% a.a.? Dados: P = $2.400, i = 60% a.a., n = 17 meses, J =? 0, J P i n J $2.400 17 J= $2. 12
= × × ⇒ = × × ⇒
3. Calcular o rendimento de um capital de $80.000 aplicado durante 28 dias à taxa de juros simples de 26% a.m.. Dados: P = $80.000, i = 26% a.m., n = 28 dias, J =?
0, J P i n J $80.000 28 J= $19.413, 30
= × × ⇒ = × × ⇒
4. Aplicando $80.000 durante 17 meses, resgatamos $140.000. Qual é a taxa anual de juros simples obtida na operação? Dados: P = $80.000, S = $140.000, n = 17 meses, i =?
i S P (1 i n) $140.000 $80.000 (1 17) i 52,94% a.a. 12
= × + × ⇒ = × + × ⇒ =
5. Em quantos meses um capital de $28.000, aplicado à taxa de juros simples de 48% a.a., produz um montante de $38.080? Dados: P = $28.000, S = $38.080, i = 48% a.a., n =?
0, S P (1 i n) $38.080 $28.000 (1 n) n= 9 meses 12
= × + × ⇒ = × + × ⇒
6. Um capital aplicado transformou-se em $13.000. Considerando-se uma taxa de juros simples de 42% a.a e uma remuneração de $4.065,29, determinar o prazo da aplicação. Dados: S = $13.000, i = 42% a.a., J = $4.065,29, n =? (meses)
0, 42 $13.000 × × n S × i × n (^12) J = $4.065, 29 = 1 + i × n 0, 42 1 + × n 12 455 × n $4.065, 29 = n = 13 meses 1 + 0, 035 × n
7. Um capital de $135.000 transformou-se em $180.000 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa de juros obtida na operação. Dados: P = $135.000, S = $180.000, n = 44 dias, i =?
12. Um capital foi aplicado a juros simples de 42% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital, considerando-se que, se a diferença entre ele e os juros obtidos fosse aplicada à mesma taxa, renderia $988,75 em um trimestre. Dados: i = 42% a. a., n 1 = 50 dias, n 2 = 90 dias, P =?
( )
1 =
juros obtidos no prazo de 50 dias = P i n P 50 360 0,42 (^) 0,42 0,42 0, P- P 50 90 $988,75 P 1 50 90 $988,75 P= $10. 360 360 360 360
× × × ×
⎛ × × ⎞× × = ⇒ × − × × × = ⇒
13. Certo capital foi aplicado a juros simples de 30% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital e o rendimento obtido, considerando-se que, se a diferença entre ambos, acrescida de $10.000, fosse aplicada à mesma taxa, renderia $95.000 no prazo de um ano. Dados: i = 30% a. a., n 1 = 50 dias, n 2 = 1 ano, P =?
( ) (^) ( )
1 1
1 2
J = P i n 0, P-J + $10.000 i n $95.000 P 1 50 0, 30 1+ $10.000 0, 30 1 $95. 360 P= $320.
× ×
× × = ⇒ × − × × × × × =
Logo,
1 1 1 1
J = P i n J = $320.000 50 J = $13.333, 360
× × ⇒ × × ⇒
14. Uma pessoa aplicou dois capitais a juros simples, o primeiro a 33% a.a. e o segundo a 45% a.a. Considerando-se que o rendimento de ambas as aplicações totalizou $52.500 no prazo de um ano, determinar o valor dos capitais, sabendo-se que o primeiro é 37,5% menor que o segundo. Dados: P 1 = (1 – 0,375) P 2 , i 1 = 33% a.a., i 2 = 45% a.a., n = 1 ano, S 1 + S 2 = $52.
1 2 1 1 2 2 2 2
J P i n J J = P i + P i n $52.500 0,625 0,33 + 1 0,45 1 P
P = $80.
= × ×
× × × ⇒ = × × × ×
Logo, P 1 = $50.
15. Há 13 meses e dez dias um capital de $10.000 foi aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. Se hoje for aplicada a importância de $8.000 a juros simples de 12% a.a. e o primeiro capital continuar aplicado à mesma taxa, em que prazo os montantes respectivos serão iguais? Dados: n 1 = 400 dias, P 1 = $ 10.000, P 2 = $ 8.000, i 1 = 6% a.a., i 2 = 12% a.a.., n =?
Na data focal, S P (1 i n)
0,06 0, $10.000 1 (n+400) $8.000 1 n 360 360 n = 2.667 dias = 7 anos, 4 meses e 27 dias
= × + ×
× + × = × + ×
16. Uma empresa obteve um empréstimo de $200.000 a juros simples de 10% a.a.. Algum tempo depois liquidou a dívida, inclusive os juros, e tomou um novo empréstimo de $300.000 a juros simples de 8% a.a.. Dezoito meses após o primeiro empréstimo, liquidou todos os seus débitos, tendo pago $35.000 de juros totais nos dois empréstimos. Determinar os prazos (em meses) dos dois empréstimos. Dados: J 1 + J 2 = $35.000, n 1 + n 2 = 18 meses, P 1 = $200.000, P 2 = $300.000, i 1 = 10% a.a., i 2 = 8% a.a., n 1 = ?, n 2 =?
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1
1 2
i i 0, J + J P n + P n $35.000 $200.000 n + $300.000 (18 n ) 12 12 12 12 n 3 meses, n 15 meses
= ⎛^ × × × × ⎞^ ⇒ = ⎛ × × × − × ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⇒ = =
0,08 (^) ⎞ ⎟ ⎠
17. Uma pessoa tomou um empréstimo a juros simples de 9% a.a.. Quarenta e cinco dias depois, pagou a dívida e contraiu um novo empréstimo duas vezes maior que o primeiro, pelo prazo de dez meses a juros simples de 6% a.a.. Sabendo-se que pagou ao todo $111.250 de juros pelos dois empréstimos, calcular o valor do primeiro. Dados: J 1 + J 2 = $111.250, n 1 = 45 dias, n 2 = 10 meses, P 2 = 2 P 1 , i 1 = 9% a.a.., i 2 = 6% a.a., P 1 =?
1 2 1 2 1 1 2 2 1
1
i i 0,09 0, J + J P n + P n $111.250 P 45 + 2 10 360 12 360 12 P $1.000.
⎛ ⎞ ⎛ = (^) ⎜ × × × × (^) ⎟ ⇒ = × (^) ⎜ × × × ⎝ ⎠ ⎝ ⇒ =
⎞ ⎟ ⎠
18. Um capital foi dividido em duas parcelas e aplicado a taxas e prazos diferentes. A primeira foi aplicada a juros simples de 10% a.m. durante seis meses, e a segunda a juros simples de 2% a.m. durante 12 meses. Sabendo-se que a primeira parcela foi $50 maior e rendeu $60 a mais que a segunda, determinar os valores de ambas as parcelas. Dados: J 1 - J 2 = $60, n 1 = 6 meses, n 2 = 12 meses, i 1 = 10% a.m., i 2 = 2% a.m., P 1 = $50 + P2, P 1 =^ ?, P 2 =?
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2
i i J - J P n - P2 n $60 $50+P 6 0,1 - P2 12 0, 12 12 P $133,33, P $83,
= ⎛^ × × × × ⎞ ⇒ = × × × × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ = =
19. Aplicado a juros simples pelo prazo de um ano, um capital transformou-se em $13.000. Esse montante foi reaplicado por mais dois anos a uma taxa 20% maior que a taxa ganha na primeira aplicação, obtendo-se um montante final de $22.360. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado e a taxa de juros ao ano à qual ele foi aplicado. Dados: S 1 = $13.000, S 2 = $22.360, n 1 = 1 ano, n 2 = 2 anos, i 2 = 1,2×i 1 , P 1 = ?, i 1 =?
2 2 1 2 2 2 2 1 1,
(1 ) $22.360 $13.000 (1 2) 36% a.a. = 30% a.a.
i
S = S × + i × n ⇒ = × + i × ⇒ i = ⇒ i=
Por outro lado, S 1 = P 1 × (1 + i 1 × n ) 1 ⇒ $13.000 = P 1 × (1 + 0,3 × 1) ⇒ P 1 =$10.
20. Um pessoa aplicou um capital em uma conta remunerada que rende juros simples de 30% a.a.. Depois de três anos, resgatou metade dos juros obtidos e reaplicou a outra metade por um ano à taxa simples de 32% a.a., obtendo um rendimento de $20,16 nessa última aplicação. Calcular o valor do capital aplicado inicialmente. Dados: P 2 = 0,5.× J 1 , J 2 = $20,16,-n 1 = 3 anos, n 2 = 1 ano, i 1 = 30% a.a., i 2 = 32% a.a., P =?
( )
( )
Juros ganhos ao término dos 3 anos:
valor reaplicado ao término do terceiro ano:
rendimento do capital reaplicado ao término de 1 ano:
P 0,30 3
0,50 P 0,30 3
$20,16 = 0,50 P 0,30 3 0,32 1
× ×
× × ×
⎡⎣ × × × ⎤⎦× ×
⇒ P= $
21. Dois capitais foram aplicados a juros simples. O primeiro à taxa de 20% a.a., e o segundo a 40% a.a.. Calcular os capitais, considerando-se que, somados, eles perfazem $500 e que os dois, em um ano, renderam juros totais de $130. Dados: P 1 + P 2 = $500 , i 1 = 20% a.a., i 2 = 40% a.a., n = 1 ano, J 1 + J 2 = $130, P 1 = ?, P 2 = ?,
25. Uma pessoa tem duas dívidas a pagar: a primeira de $1.000, com vencimento em 45 dias, e a segunda, de $3.500, com vencimento em 120 dias. A pessoa pretende liquidar as dívidas por meio de dois pagamentos iguais com vencimentos em 90 e 180 dias, respectivamente. Calcular o importe de cada pagamento, considerando-se que ambas as dívidas foram contratadas a juros simples de 2% a.m. (data focal: 180o^ dia) 90 dias 0 45 90 120 180
$1.000 -X $3.500 -X
60 dias 135 dias
0,02 0,02 0, X = $1.000 1 135 + $3.500 1 60 X 1 90 30 30 30 X =$2.296,
⎜ +^ ×^ ⎟ ⎜ +^ ×^ ⎟ −^ ⎜ +^ × ⎟
26. Determinar: a. O tempo necessário para que seja triplicado um capital aplicado a juros simples de 5% a.m.. S P (1 i n) 3P = P (1 0,05 n) n = 40 meses
= × + ×
× + × ⇒
b. O tempo necessário para que seja quintuplicado um capital aplicado a juros simples de 15% a.t.. S P (1 i n) 5P = P (1 0,15 n) n = 26,67 trimestres = 80 meses
= × + ×
× + × ⇒
c. O tempo em que um capital de $12.000 rende $541,68 quando aplicado a juros simples de 12,5% a.a.. J P i n 0, $541,68 $12.000 n n = 130 dias 360
= × ×
= × × ⇒
d. O tempo necessário para que um capital de $7.000 transforme-se em um montante de $7.933,34 quando aplicado a juros simples de 24% a.a..
0, 360
S P (1 i n)
$7.933,34 $7.000 (1 n) n = 200 dias
= × + ×
= × + × ⇒
27. Determinar: a. A taxa de juros simples anual que produz um rendimento de $60 em 36 dias a partir de um capital de $2.000. J P i n i $60 $2.000 36 i = 30% a.a. 360
= × ×
= × × ⇒
b. A taxa de juros simples mensal que produz um rendimento de $6.000 em 30 meses a partir de um capital de $8.000. J P i n
$6.000 $8.000 i 30 i = 2,5% a.m.
= × ×
= × × ⇒
c. A taxa de juros simples anual embutida na compra de um bem cujo valor à vista é de $3.000, sendo que o pagamento consiste de uma entrada de $1.000 mais uma parcela de $2.200 para 60 dias.
$2. 1+ i 2
valor à vista = valor da entrada + valor presente da parcela
$3.000 $1.000 + i = 60% a.a. ×
28. Calcular: a. O valor do capital que, aplicado a juros simples de 24% a.a., rende $300 em 126 dias. J P i n 0, $300 P 126 P = $3.571, 360
= × ×
= × × ⇒
b. O valor do capital que, aplicado a juros simples de 26% a.a., rende $800 em 7 trimestres. J P i n 0, $800 P 7 P = $1.758, 4
= × ×
= × × ⇒
c. O rendimento de uma aplicação de $10.000 por 446 dias a juros simples de 24% a.a.. 0, J P i n $10.000 446 = $2.973, 360
= × × = × ×
29. Calcular: a. O rendimento de um capital de $2.000 aplicado a juros simples de 2,5% a.m. desde o dia 12 de março até o dia 5 de junho do mesmo ano. 0, J P i n $2.000 (156-71) = $141, 30
= × × = × ×
b. O valor do capital que rendeu $3.000 no período compreendido entre 4 de abril e 31 de maio do mesmo ano a juros simples de 2% a.m.. J P i n 0, $3.000 P (151- 94) P = $78.947, 30
= × ×
= × × ⇒
c. O valor de resgate de um capital de $5.000 aplicado a juros simples de 2% a.m. pelo período compreendido entre 6 de abril e 26 de junho do mesmo ano.
( )
S P (1 i n) $5.000 1 (177-96) = $5. 30
= × + × = × + ×
d. O valor do capital que se transformou em um montante de $20.000 no período compreendido entre 30 de junho e 31 de dezembro do corrente ano, a juros simples de 2% a.m..
( 30 )
S P (1 i n) 0, $20.000 P 1 (365-181) P = $17.814,
= × + ×
= × + × ⇒
e. A taxa de juros simples mensal ganha por uma aplicação de $24.000 que rendeu $2.800 no período compreendido entre 23 de maio e 18 de agosto do mesmo ano. J P i n i $2.800 $24.000 (230-143) i = 4,023% a.m. 30
= × ×
= × × ⇒
30. No dia 26 de maio foi contratado um empréstimo de $7.000 a juros simples de 24% a.a. para ser totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16 de junho foram amortizados $3.000, e no dia 11 de julho, $2.500. Determinar a data de vencimento da dívida e o valor da quantia que deverá ser paga naquela data para liquidar a dívida (considerar ano civil e data focal no 90o^ dia).
14 dias
02/06 08/06 16/
8 dias
Valor em 16/06 $2.000 1 14 + $500 1 8 $300 $2. 360 360
= ⎛^ + × ⎞^ ⎛^ + × ⎞+ =
15 dias 16/06 26/06 01/
5 dias
Saldo disponível em 01/07 $2.825 1 15 - $200 1 5 $2.654, 360 360
= ⎜ + × ⎟ ⎜ + × ⎟=
34. Hoje uma pessoa tem duas dívidas: a primeira, de $8.000, vence em 36 dias, e a segunda, de $12.000, vence em 58 dias. A pessoa propõe-se a quitá-las por meio de dois pagamentos iguais dentro de 45 e 90 dias, respectivamente. A juros simples de 24% a.a., calcular o valor de cada pagamento (data focal: 90o^ dia). 45 dias 0 36 45 58 90
$8.000 -X $12.000 - X
32 dias 54 dias
0,24 0,24 0, X = $8.000 1 54 + $12.000 1 32 X 1 45 360 360 360 X $10.120,
⎜ +^ ×^ ⎟ ⎜ +^ ×^ ⎟ −^ ⎜ +^ ×
35. Resolver o exercício anterior tomando como data focal o 45o^ dia. - 45 dias
0 36 45 58 90
$8.000 -X $12.000 - X
- 13 dias 9 dias 1 1 0,24 0,24 0, X = $8.000 1 9 + $12.000 1 13 X 1 45 360 360 360 X $10.119,
− − ⎛ (^) + × ⎞ ⎛ (^) + × ⎞ (^) − ⎛ + × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⇒ =
CAPÍTULO 2
Exercícios Propostos
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 dias.
1. Calcular o montante de uma aplicação de $3.500 pelas seguinte taxas de juros e prazos: a) 4% a.m., 6 meses Dados : P = $3.500, = 4% a.m., n = 6 meses
( ) n^6 S = P(1+i) = $3.500 × 1 + 0,04 =$ 4.428,
b) 8% a.t., 18 meses Dados : P = $3.500, i = 8% a.t., n = 18 meses = 6 trimestres
( ) n^6 S = P(1+i) = $3.500 × 1 + 0,08 =$ 5.554,
c)12% a.a., 18 meses Dados : P = $3.500, i =12% a.a., n = 18 meses = 1,5 ano
( ) n 1, S = P(1+i) = $3.500 × 1 + 0,12 =$ 4.148,
2. Em que prazo um capital de $18.000 acumula um montante de $83.743 à taxa de 15% a.m.? Dados : P = $18.000, S = $83.743, i = 15% a.m., n =?
Podemos aplicar a expressão do montante para, a seguir, destacar o fator financeiro implícito:
n
n
n
S P 1 i
$83.743 $18.000 1 0,
4,65239 1,
= × +
11 meses log1,
log4, aplicando logaritmos: log4,65239=n×log1,15 ⇒n= =
3. Um investimento resultou em um montante de $43.000 no prazo de três meses. Se a taxa de juros efetiva ganha for 10% a.m., calcular o valor do investimento. Dados : S = $43.000, n = 3 meses, i = 10% a.m., P =?
( )
( )
n
3
S P 1 i
$43.000 P 1 0,1 P $ 32.306,
= × + ⇒ =
4. Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000 daqui a quatro anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se as taxas de juros efetivas ganhas forem as seguintes: a) 13% a.t. (ao trimestre) Dados : S = $100.000, i = 13% a.t., n = 4 anos = 16 trimestres, P =?
( )
n 16
S P(1+i) $100.000 P 1 0,13 P $ 14.149,
= × + ⇒ =
b) 18% a.a. (ao ano) Dados : S = $100.000, i = 18% a.a., n = 4 anos, P =?
( )
n 4
S P(1+i) $100.000 P 1 0,18 P $ 51.578,
= × + ⇒ =
c) 14% a.s. (ao semestre) Dados : S = $100.000, i = 14% a.s., n = 4 anos = 8 semestres, P =?
( ) ( )
1 2
$140 E + E $17,
9. Uma casa está sendo vendida por $261.324,40 à vista. Considerando-se que o comprador se propõe a pagar $638.000 daqui a quatro meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na proposta. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $261.324,40 um pagamento de $638.000 daqui a 4 meses
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente do pagamento único:
( )
1/ 4 4
$261.324,40 i 1 i = 25% a.m. 1+i $261.324,
10. Qual o tempo necessário para que seja triplicada uma população que cresce à taxa composta de 3% a.a.? Dados : S = 3P, i = 3% a.a., n =?
( )
( )
n
n (^) n
S P 1 i
3P = P 1 i 3 (1, 03)
log 3 aplicando logaritmos: log 3 n log 1,03 n 37,17 anos log 1,
= × ⇒ = =
11. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% a.a.. Se os juros ganhos foram de $27. sobre um capital investido de $83.000, por quanto tempo o capital ficou aplicado? Dados : S = $110.473 ($83.000 + $27.473), P = $83.000, i = 10% a.a., n =?
( ) n n
S = P 1 i $110.473 $83.000 (1,10)
= ×
log 1, aplicando logaritmos: log 1,331 n log 1,10 n 3 anos log 1,
= × ⇒ = =
12. Nas vendas a crédito, uma loja aumenta em 40% o valor sobre o preço à vista. Desse valor majorado, 20% é exigido como entrada e o resto será quitado em duas prestações mensais de $1. cada, sendo a primeira para daqui a um mês. Considerando-se que o valor à vista é de $2.000, determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $2.000 Entrada = 1,4 × 0,2 × $2.000 = $ mais 2 prestações de $1.
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as quantias pagas na segunda forma de pagamento:
( ) ( ) 1 2
$2.000 $560 + + i 30% a.m. 1+i 1+i
13. Um produto cujo preço à vista é $450 será pago em duas prestações mensais consecutivas de $ e $300, a primeira para 30 dias. Considerando-se que a taxa de juros embutida na primeira prestação é 10% a.m., determinar a taxa embutida na segunda.
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $ 450 1ª. prestação = $280, 2ª. prestação = $ i 1 = 10% a.m.
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as quantias pagas na segunda forma de pagamento:
( ) ( )
( )
2 1 2 2 2 2
$450 + 1+i i 23,89% a.m. 1,10 1+i $195, 45
14. Um apartamento pode ser comprado à vista por $320.000 ou pagando-se 20% de entrada mais duas prestações de $170.000 cada, a primeira para 3 meses e a segunda para 7 meses. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. Se a taxa de juros vigente no mercado para aplicações financeiras for 2% a.m., qual será a melhor opção de compra? 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $320.000 Entrada = 0,2 × $320.000 = $64. mais 2 prestações de $170.000 para 3 e 7 meses
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as quantias pagas na segunda forma de pagamento:
( ) 3 7
$320.000 $64.000 + i = 5,98% a.m. (1+i) (^) 1+i
Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista , pois os juros efetivos da compra são superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção.
15. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 20% do valor à vista como entrada e o restante a ser liquidado em três prestações mensais iguais, a primeira para 30 dias. Considerando-se que a taxa de juros efetiva cobrada será 15% a.m., determinar a porcentagem do valor à vista a ser pago como prestação a cada mês. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = P Entrada = 0,2 × P; mais 3 prestações de valor: R = p × P
Por equivalência de capitais:
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
p P p P p P 0,8 P P 0,2 P + p P = p = 35,05% (1+i) (^) 1+i 1+i 1 1 1 (1,15) (1,15) (1,15)
× × × ×
= × + + ⇒ × ⇒
⎜ +^ + ⎟
16. Uma loja permite pagamento em três prestações iguais. Considerando-se que cada prestação é igual a um terço do valor à vista, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada), calcular a taxa de juros cobrada. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = P valor das prestações: R = P / 3
Por equivalência de capitais:
( )
1 2
P P^ P
P + 3 3 i = 0% a.m. 3 (1+i) (^) 1+i
17. O valor à vista de um bem é de $6.000. A prazo, paga-se uma entrada mais três parcelas mensais de $2.000 cada, sendo a primeira em um mês. Calcular o valor da entrada, considerando-se que a taxa de juros aplicada é 7% a.m..
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 40 30 32 30 2 (^3032) 2 2
J - J = S - S - P - P
$100 = $2.400 1, 05 $1.800 1 i $
$1.861, i = 1 i = 3,19% a.m. $1.
× − × + −
⎜ ⎟ −^ ⇒
23. Um capital foi aplicado por seis meses a juros efetivos de 15% a.a.. Determinar o valor do capital considerando-se que se o montante, ao término do prazo, diminuído da metade dos juros ganhos, fosse reaplicado à mesma taxa efetiva, renderia em 3 meses juros de $18,42.
( (^ ) )
(( ) )
n
0,
0,5 0,
rendimento = P 1 i 1
Montante ao término dos 6 meses: P(1,15)
Valor reaplicado ao término dos 6 meses: P(1,15) 0,5P 1,15 1
Rendimento em 3 meses do valor reaplicado:
P
(( ) ) (( ) )
0,5 0,5^ 3/ ⎡ (^) (1,15) − 0,5P 1,15 − 1 ⎤ 1,15 − 1 = $18, 42 ⇒P = $ ⎣ ⎦
24. Certo capital, após quatro meses, transformou-se em $850,85. Esse capital, diminuído dos juros ganhos nesse prazo, reduziu-se a $549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação.
( )
( ) ( )
n
Montante ao término de 4 meses: $850, Juros ganhos ao término de 4 meses: $850,85 - P Capital menos os juros ganhos em 4 meses: P- $850,85 - P $549,15 P $
S =P 1 i
$850,85=$700 1 i
× +
4 ⇒ i ≈5% a.m.
25. Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% a.a.. Depois de três anos, resgatou-se a metade dos juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% a.a., obtendo-se um rendimento de $102,30 no prazo de um ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.
( (^ ) )
( )
n
3 3 3
3
juros ganhos = P 1 i 1
Montante ao término de 3 anos: P(1,30) Valor reaplicado ao término dos 3 anos: P(1,30) 0,5P (1,30) 1 Rendimento em 1 anos do valor reaplicado:
P(1,30)
( ) (^) (( ) ) 3 1 ⎡⎣ (^) − 0,5P (1,30) − 1 ⎤⎦ 1,32 − 1 = $102,3, 42 ⇒P = $
26. Um capital foi aplicado por 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital inicial e os juros ganhos fosse aplicada à mesma taxa, renderia em 3 meses juros de $44,02. Determinar o valor do capital. Dados : n 1 = 50 dias, n 2 = 3 meses, P 2 = P 1 – J 1 , J 2 = $44,02, i = 3% a.m., P 1 =?
(^ ( ) ) (( ) )
n 2 3 J 2 = P 2 1 + i − 1 ⇒ $44,02 = P 2 1, 03 − 1 ⇒ P = $474,73 2
Por outro lado,
{ (^ ) } { (^ ) }
n 1 5 2 1 1 1 1
1
P = P - J = P 2 1+i $474,73 = P 2 1,
P = $
0 30
27. Um capital foi aplicado durante dez meses à taxa efetiva de 2% a.m.. Ao término desse prazo, seu montante foi reaplicado durante 11 messes a 3% a.m.. A que taxa mensal única deveria ser aplicado o capital durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante? Dados : n = n 1 + n 2 , n1,= 10 meses, n 2 = 11 meses, i 1 = 2% a.m., i 2 = 3% a.m., i =? Por equivalência de capitais:
( )
( ) ( )
1 n^1 2 n^2 n (^10 11 )
P(1+i ) (1+i ) P(1+i)
1,02 1,03 = (1+i) i 2,523% a.m.
× =
× ⇒ =
28. Um capital aplicado à taxa de 4% a.m. rendeu após um ano $480,83 de juros. Do montante obtido, foram retirados $600 e o saldo restante reaplicado à mesma taxa, resultando em um novo montante de $1.226,15 depois de um certo prazo. Determinar o valor do capital inicial e o prazo da reaplicação. Dados : n 1 = 12 meses, P 2 = S 1 – $600, J 1 = $480,83, S 2 = $1.226,15, i = 4% a.m., P 1 = ?, n 2 =?
( )
( )
( ) ( ) ( )
( (^ ) ) (^ )
2
2
n 1 1 1 1 12 1 1 1
n n 2 1 12 n
2 2
S = P + J = P 1+i
P + $480,83 = P 1,04 P = $ Por outro lado, S P 1 i S = S $600 1 i
$1.226,15 $800 1,04 $600 1,
aplicando logaritmos: log 1,8 n log 1,04 n 15 meses
= × −
= × ⇒ =
29. Dois capitais, o primeiro igual ao dobro do segundo, foram aplicados pelo mesmo prazo e à mesma taxa efetiva de 4% a.m.. Sabendo-se que o primeiro capital ganhou $400 de juros e que a soma do primeiro capital mais os juros ganhos pelo segundo totaliza $1.032,91, calcular os capitais e o prazo da aplicação. Dados : P 1 = 2 × P 2 , J 1 = $400, P 1 + J 2 = $1.032,91, i = 4% a.m., P 1 = ?, P 2 = ?, n =?
( (^ ) )
( ) ( )
n
n n 2 2
juros ganhos pelo primeiro capital: J P 1 i 1
$ $400 = 2 P 1, 04 1 1, 04 1 P
× ⎡^ − ⎤ ⇒ =
Por outro lado,
( )
( )
n 1 2 n 1 = 2
2 2 2 2
primeiro capital mais juros do segundo: P P 1, 04 1 $1.032,
substituindo o valor de 1, 04 na equação anterior e P 2P :
2P P 1 1 $1.032,91 P = $416,
P
×
×
+ ⎡^ − ⎤=
P = $832,91 1
34. Dois capitais, o primeiro igual ao triplo do segundo, foram aplicados, respectivamente, a taxas efetivas de 5% a.m. e 10% a.m.. Determinar o prazo em que os montantes dos dois capitais se igualam. Dados : i 1 = 5% a.m., i 2 = 10% a.m, P 1 = 3 × P 2 , S 1 = S 2 , n =?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 n n 1 2 n n 2 2
S S
P 1, 05 P 1,
3 P 1, 05 P 1,10 1, 04762 3
n
× = ⇒ =
aplicando logaritmos: log 3 = n × log 1,04762 ⇒ n =23,6159 meses = 23 meses e 18 dias
35. Uma empresa tem duas dívidas. A primeira, de $10.000, contratada a juros efetivos de 3% a.m., vence em 48 dias, e a segunda, de $15.000, a juros efetivos de 4% a.m., vence em 63 dias. A empresa pretende liquidar as dívidas com o dinheiro proveniente do desconto financeiro de uma promissória com valor nominal de $27.033 que vence em 90 dias. Calcular a taxa mensal efetiva aplicada pelo banco no desconto do título. Dados : i 1 = 3% a.m., n 1 = 48 dias, i 2 = 4% a.m, n 2 = 63 dias, D 1 = $10.000, D 2 = $15.000, P = $27.033, n = 90 dias, i =?
Por equivalência de capitais:
( )
90 30 48 30 63 30
i = 5% a.m. (1+i) (1,03) (^) 1,
36. Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao o próprio capital, aplicando-se uma taxa efetiva de 5%a.m.? Dados : J = P; i = 5% a.m.; n =?
( )
( ) ( )
n
n n
J P 1 i 1
P =P 1,05 1 1, 05 2
= ⎡^ + − ⎤
aplicando logaritmos: log 2 = n × log 1,05 ⇒ n = 14, 2067 meses ≈427 dias
37. Quanto tempo é necessário para que a relação entre um capital de $8.000, aplicado a juros efetivos de 4% a.m., e seu montante seja igual a 4/10? Dados : P = $8.000, S = (10/4) x P, i = 4% a.m., n =?
( )
( )
n
n n
P 4
P 1 i^10 $8.000 4 1, 04 2, $8.000 (1,04) 10
×
aplicando logaritmos: log 2,5 = n × log 1,04 ⇒ n =23,3624 meses = 23 meses e 11 dias
38. Três dívidas, a primeira de $2.000 com vencimento em 30 dias, a segunda de $1.000 com vencimento em 60 dias e a terceira de $3.000 com vencimento em 90 dias serão liquidadas por meio de um pagamento único de $6.000. Se a taxa de juros efetiva aplicada for de 3% a.m., determinar daqui a quanto tempo deve ser efetuado esse pagamento. Dados : i = 3% a.m., n 1 = 30 dias, n 2 = 60 dias, n 3 = 90 dias, D 1 = $2.000, D 2 = $1.000, D 3 = $3.000, P = $6.000, n =? (data focal = valor presente)
Por equivalência de capitais:
( ) ( )
n n 30 1 2 3
aplicando logaritmos: log 6,7581 = n × log 1,03 ⇒ n =65 dias
39. Quanto tempo é necessário para que o montante de um capital de $5.000 aplicado a juros efetivos de 6% a.m. se iguale ao montante de outro capital de $8.000 aplicado à taxa efetiva de 4% a.m.? Dados : i 1 = 6% a.m., i 2 = 4% a.m, P 1 = $5.000, P 2 = $8.000, n =?
( )
( ) ( ) ( )
n
n n
S P 1 i
$5.000 1, 06 $8.000 1, 04 1, 01923 1, 6
× = × ⇒ =
n
aplicando logaritmos: log 1,6 = n × log 1,01923 ⇒ n =24, 67444 meses = 740 dias
40. Calcular o rendimento de um capital de $7.000 aplicado à taxa efetiva de 1% a.m. no período compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano (considere o ano civil). Dados : i= 1% a.m., P = $7.000, J =? n = 03/04 até 06/06 = 157-93 ⇒n= 64 dias
( ) ( )
n 64 30 J = P ⎡⎣^1 + i − 1 ⎤⎦ = $7.000 ⎡⎣^ 1, 01 − 1 ⎤⎦ =$150,
41. Qual a taxa de juros anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses? Dados : S = 2 x P, n = 42 meses, i =?
( ) ( )
n
42 12
S P 1 i
2 P = P 1 i i = 21,9% a.a.
× + ⇒
42. Um capital de $20.000 foi aplicado por 90 dias à taxa efetiva diária de 0,1% a.d.. Determinar o rendimento ganho entre o 46o^ e o 87o^ dia. Dados : i= 0,1% a.d., P = $20.000, n 1 = 46 dias, n 2 = 87 dias, J - J 2 1 =?
(^ ( ) )
(( )^ (^ ) )
( ) ( )
2 1
n
n n 2 1 87 46 2 1 2 1
J = P 1 i 1
J - J = P 1 i 1 1 i 1
J - J = $20.000 1, 001 1, 001 J - J = $875,
43. Duas dívidas, uma de $20.000 e outra de $30.000, com vencimento em 2 e 4 meses, respectivamente, serão liquidadas por meio de um único pagamento a ser efetuado em 3 meses. Considerando-se juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor desse pagamento. Dados : i= 5% a.m., n 1 = 2 meses, n 2 = 4 meses, D 1 = $20.000, D 2 = $30.000, n = 3 meses, P =? (data focal = valor presente)
Por equivalência de capitais:
( )
3 2 4
P $20.000 $30.
P = $49.571,
44. Uma pessoa necessita dispor de $20.000 daqui a 8 meses. Para tanto, pretende efetuar duas aplicações em um fundo que rende juros efetivos de 3% a.m.. A primeira aplicação, de $10.000, foi efetuada hoje, e a segunda o será daqui a um mês. De quanto deverá ser esta segunda aplicação de modo que a pessoa possa dispor da quantia necessitada ao término do oitavo mês? Dados : i = 3% a.m., n 1 = 8 meses, n 2 = 7 meses, P 1 = $10.000, D = $20.000, n = 8 meses, P 2 =?
