MATEMÁTICA INSTRUMENTAL Kroton, Notas de estudo de Automação

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Matemática

instrumental

KLS

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Chiacchio, Rogério Siqueira

ISBN 978-85-8482-350-

1. Matemática. 2. Funções. I. Dias, Junior Francisco. II. Título.

CDD 510

Junior Francisco Dias. – Londrina : Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2016. 208 p.

C532m Matemática instrumental / Rogério Siqueira Chiacchio,

© 2016 por Editora e Distribuidora Educacional S.A. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Editora e Distribuidora Educacional S.A. Presidente Rodrigo Galindo Vice-Presidente Acadêmico de Graduação Mário Ghio Júnior Conselho Acadêmico Dieter S. S. Paiva Camila Cardoso Rotella Emanuel Santana Alberto S. Santana Regina Cláudia da Silva Fiorin Cristiane Lisandra Danna Danielly Nunes Andrade Noé Pareceristas Junior Francisco Dias Rogério Siqueira Chiacchio

Editoração Emanuel Santana Cristiane Lisandra Danna André Augusto de Andrade Ramos Daniel Roggeri Rosa Adilson Braga Fontes Diogo Ribeiro Garcia eGTB Editora

2016 Editora e Distribuidora Educacional S.A. Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza CEP: 86041-100 — Londrina — PR e-mail: [email protected] Homepage: http://www.kroton.com.br/

Unidade 1 | Função afim e função quadrática

Seção 1.1 - Função Seção 1.2 - Função afim Seção 1.3 - Função quadrática Seção 1.4 - Sinal, mínimo e máximo da função quadrática

7

9 23 37 49

Sumário

Unidade 2 | Funções trigonométricas

Seção 2.1 - Trigonometria e aplicações Seção 2.2 - Seno e cosseno Seção 2.3 - Tangente e relações trigonométricas Seção 2.4 - Funções trigonométricas

61

65 79 91 103

Unidade 3 | Função exponencial

Seção 3.1 - Potenciação e radiciação Seção 3.2 - Equação exponencial Seção 3.3 - Função exponencial Seção 3.4 - Aplicações da potenciação

119

121 135 143 153

Unidade 4 | Função logarítmica

Seção 4.1 - Função logarítmica Seção 4.2 - Propriedades dos logaritmos Seção 4.3 - Mudança de base dos logaritmos Seção 4.4 - Aplicações dos logaritmos

165

169 177 185 195

Palavras do autor

Caro aluno, seja bem-vindo!

Nesta unidade curricular será explorado um dos conceitos mais importantes da Matemática: o de função. Utilizamos esse conceito o tempo todo, mas nem sempre nos damos conta disso. Observe um exemplo simples: no supermercado, ao levarmos os produtos ao caixa, o atendente passa o código de barras pelo leitor e o computador registra o preço do item. Nesse caso, o computador desempenha o papel de uma função, que recebe a informação de um código de barras e, como resposta, registra o preço do produto. Essa é a ideia básica de qualquer função, ou seja, dado certo elemento (que pode ser um objeto, um número, uma pessoa etc.), a função o relaciona a outro, podendo este ser tão diverso quanto o primeiro.

Exemplos como o anterior podem ser adaptados para mostrar a aplicação das funções em qualquer relação de comércio, mas não é somente nesse contexto que as funções são utilizadas. Ao andar de carro você já deve ter reparado a funcionalidade do velocímetro. A ação desse mecanismo também pode ser associada a uma função, pois ele recebe o sinal referente à frequência dos giros da roda do carro, transformando essa informação em registro de velocidade.

Esperamos que o fato de as funções estarem tão presentes em nosso dia a dia seja motivador para seus momentos de estudo diário, os quais devem levá-lo a conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções e gráficos do 1° e 2° graus, além de funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.

Para que tudo ocorra de modo organizado, este material didático foi dividido em 4 unidades de ensino, cada qual subdividida em 4 seções de autoestudo, totalizando 16 seções. A primeira unidade trata das funções afim e quadrática , enquanto a Unidade 2 aborda as funções trigonométricas. Na Unidade 3 são trabalhadas as funções exponenciais e, por fim, na Unidade 4 são destacadas as logarítmicas. Desejamos-lhe sucesso nesta empreitada!

Função afim e função quadrática

U

Função afim e função quadrática

U

Seção 1.

Função

Para gerir melhor sua empresa, você deve analisar os custos, as receitas e o lucro, pois sem lucro a empresa não pode ser mantida.

O custo da produção dos bonés é contabilizado a partir de diversos gastos, como matéria-prima, mão de obra, energia elétrica, entre outros. Com isso, há uma relação direta entre o custo e a quantidade de bonés produzida, ou seja, quanto mais bonés produzidos, maior o custo de produção.

Além do custo, outro item importante na gestão da empresa é a receita, que é o valor recebido com a comercialização dos bonés. Vamos imaginar que o preço de venda dos bonés seja de R$ 30,00 por unidade. Qual a receita obtida com a venda de 10 unidades? Com um cálculo simples podemos notar que a receita é de R$ 300,00 (10. R$ 30, = R$ 300,00). Mas, e se quiséssemos escrever isso em uma planilha, de modo que em uma coluna

Diálogo aberto

Fonte:<https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ponte_JK_-_ Bras%C3%ADlia.jpg>. Acesso em: 19 out. 2015.

Figura 1.1 | Ponte Juscelino Kubitschek, em Brasília

Função afim e função quadrática

U

Ainda sobre esses conjuntos numéricos, nenhum elemento de Q pertence a I, e nenhum elemento de I pertence a Q, ou seja, na interseção desses dois conjuntos, não há elementos, e indicamos isso por Q + I =Q, em que Q é o conjunto vazio. Por fim, ao reunir os dois conjuntos, Q e I, obtemos o conjunto dos números reais, ou seja, Q U I = R; ambos são subconjuntos de R.

Para mais detalhes sobre a teoria de conjuntos, acesse o link disponível em:<http://www.uel.br/projetos/matessencial/medio/conjuntos/ conjunto.htm>. Acesso em: 20 out. 2015. Elaborado pelo professor Ulysses Sodré, da Universidade Estadual de Londrina, esse site possui alguns dos fundamentos da teoria de conjuntos, notações mais utilizadas e exemplos numéricos com linguagem bastante acessível. Vale a pena conferir!

Pesquise mais

• Números inteiros: Z = {..., -7, - 6,..., -1,0,1,2,...,5,6,7,...};
• Números inteiros, sem o zero:
• Números racionais:

a | a d Z e b d Z* b

Q = (^) (lê-se: (^) Q é o conjunto dos números a b

tais que (^) a pertence a z e (^) b pertence a z*);

• Números reais: ;
• Números irracionais: I = {x|x d R e x d Q} (lê-se: I é o conjunto dos números

x tais que x pertence a R e x não pertence a Q ).

Em relação aos conjuntos numéricos, temos as seguintes inclusões (Figura 1.2): (lê-se: N está contido em.

Fonte: Os autores

Figura 1.2 | Conjuntos numéricos

Função afim e função quadrática

U

Relação

Outro conceito muito importante para o entendimento de uma função é o de relação.

Produto cartesiano

Outro conceito importante para o entendimento de uma função é o de produto cartesiano.

Veja um exemplo numérico de produto cartesiano:

Assimile

Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B é o conjunto dos pares ordenados (a,b) tais que a d A e b d B.

Assimile

Dados dois conjuntos A e B, uma relação R de A em B é qualquer subconjunto de A # B, ou seja,.

Exemplificando

Considerando os conjuntos A= {0,2,3} e B = {-2,0,3,7}, escreva o produto cartesiano de A por B.

Resolução:

A # B= {(a,b) | a d A e b d B}

Para a = 0, temos: (0, -2); (0,0); (0,3); (0,7);

Para a = 2, temos: (2, -2); (2,0); (2,3); (2,7);

Para a = 3, temos: (3, -2); (3, 0); (3,3) (3,7).

Logo,

A # B = {(a,b) | a d A e b d B}

↓

Produto cartesiano de A por B.

}

Função afim e função quadrática

U

Observe que a representação de R corresponde a três pontos no plano. Em relação ao ponto p = (2,0), o par ordenado (2,0) corresponde a suas coordenadas. O primeiro valor, 2, é denominado abscissa de P e o segundo, 0, a ordenada. O valor x = 2 corresponde à distância a que o ponto P se encontra do eixo vertical, eixo y (ou eixo das ordenadas), e o valor y = 0 à distância a que o ponto se encontra do eixo horizontal, eixo x (ou eixo das abscissas). O ponto de coordenadas (0,0) é denominado origem.

Em um plano cartesiano, as:

• abscissas são: positivas se estiverem à direita da origem; negativas se estiverem à esquerda da origem;
• ordenadas são: positivas se estiverem acima da origem; negativas se estiverem abaixo da origem.

O conjunto A é o domínio de f (denotado por D(f)) e o conjunto B é o contradomínio de f (denotado por CD(f)). Convenciona-se utilizar o símbolo x para representar um elemento qualquer de A e y para representar um elemento qualquer de B. Além disso, se x está relacionado a y por meio da função f, escrevemos y=f(x) para simbolizar essa associação, e o par ordenado correspondente será (x,y) ou (x,f(x)).

Im(f) = {y d B|y=f(x) e x d A} é denominado conjunto imagem de f. Além disso, se

Função

A partir dos conceitos aprendidos até agora, podemos definir função.

Veja mais detalhes sobre a construção de um plano cartesiano e a localização de pontos a partir de suas coordenadas no link disponível em: <https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/ overview_hist_alg/v/descartes-and-cartesian-coordinates>. Acesso em: 22 out. 2015.

Pesquise mais

Assimile

Dados dois conjuntos A e B , uma função f de A em B , denotada , é uma relação tal que para cada está associado um único .

Função afim e função quadrática

U

y=f(x), então y é a imagem de x obtida por meio de f.

Para compreender melhor, considere as relações R = {(0,0) (2,0), (3,3)} e S = {(0,0), (2,0), (3,3), (2,3)} de A= {0,2,3} em B={-2,0,3,7}. Temos que R é uma função e S não é uma função, pois o valor 2 d A está associado por meio de S a dois elementos de B, a saber, 0 e 3. Essa constatação pode ser feita mais facilmente por meio de um diagrama de Venn, como os apresentados na Figura 1.4.

Observe que no caso da relação S há duas setas partindo do número 2 d A, uma relacionando-o a 0 e outra relacionando-o a 3, e isso não se encaixa na definição de função.

Fonte: Os autores

Figura 1.4 | Diagrama de Venn: (a) da relação R; (b) da relação S

(a) (b)

Considerando os conjuntos A={-2, -1, 0, 1, 3} e B= {0,1,2,4,3,9} e e a função f: A→B, de modo que y = f (x) = x^2 , identifique o domínio, contradomínio e a imagem de f.

Resolução:

Como visto anteriormente, A é o domínio de f e B é o contradomínio, logo:

D(f) = A = { -2, -1,0,1,3}; CD(f) =B = {0,1,2,4,3,9};

Para escrevermos o conjunto imagem precisamos determinar os elementos (x,y) pertencentes à relação (vide quadro ao lado). Logo, Im(f) = {0,1,4,9}.

Exemplificando

x y = x^2 (x,y) –2 y = (-2) 2 = 4 (-2,4) –1 y = (-1) 2 = 1 (-1,1) 0 y = 0 2 = 0 (0,0) 1 y = 1 2 = 1 (1,1) 3 y = 3 2 = 9 (3,9)

Função afim e função quadrática

U

Uma empresa de táxi cobra pela corrida um valor fixo de R$ 4, (bandeirada) mais um valor variável de R$ 2,90 por quilômetro rodado. Construa a lei de formação da função que retorna o preço f(x) para uma distância x percorrida. Além disso, escreva o domínio, a imagem e esboce o gráfico de f. Calcule também o valor a ser pago por uma corrida de 6 km.

Resolução:

A corrida é composta por um valor fixo de R$ 4,85 e um valor variável de R$ 2,90 por quilômetro rodado; matematicamente, essas informações podem ser traduzidas da seguinte forma: f(x) = 4,85 + 2,90. x, em que x é a distância percorrida e f(x) é o preço. Essa é a lei de formação.

A função f: A→B é tal que A (domínio) é o conjunto com todos os valores possíveis e adequados ao problema, que pode ser qualquer quantidade maior ou igual a zero, ou seja, x > 0. Logo, A = { x d R | x > 0}. A imagem de f é o conjunto Im(f) B que possui todos os possíveis preços a serem pagos, cujo mínimo é R$ 4,85; não há valor máximo. Logo, Im(f) = {x ∈ R | x > 4,85}.

Para esboçar o gráfico de f, montamos uma tabela com alguns valores de (x, f(x)) e esboçamos os pares ordenados em um plano cartesiano (Figura 1.6).

Exemplificando

Fonte: Os autores

Figura 1.6 | Gráfico de f

Distância (km)

Preço (R$)

0 f(0)=4,85+2,90.0=4, 1 f(1)=4,85+2,90.1=7, 2 f(2)=4,85+2,90.2=10, 3 f(3)=4,85+2,90.3=13,

essa constatação de forma mais dinâmica, acesse o link disponível em: <http://tube. geogebra.org/m/1886475> acesso em: 23 out. 2015. A linha reta da Figura 1.5 (b) é o que denominamos gráfico da função v. Mais formalmente, o gráfico de uma função f: A→B é o conjunto G(f) = { (x,y) | x d A, y d B e y = f (x)}.

Por fim, o valor a ser pago por uma corrida de 6 km é f (6) = 4,85 + 2,90. 6 = 22,25 → R$ 22,

Função afim e função quadrática

U

Para esclarecer possíveis dúvidas, leia mais sobre relações, funções e seus gráficos em : <http://www.uel.br/projetos/matessencial/medio/funcoes/ funcoes.htm>. Acesso em: 23 out. 2015.

Pesquise mais

Vamos retomar o problema proposto no início desta seção. Um dos questionamentos feitos foi: como agilizar os cálculos das receitas para diversas quantidades de bonés comercializados? Como fazer isso em uma planilha, por exemplo?

Lembre-se de que o preço de venda de cada boné é R$ 30,00.

• Se nenhum boné for vendido, não há receita ( );
• Se 1 boné for vendido, a receita é R$ 30,00 ( );
• Se 2 bonés forem vendidos, a receita é R$ 60,00 ( );
• Se x bonés forem vendidos, a receita é x. R$30,00 = R$30,00. x. Portanto, a função receita é R(x) = 30.x. Esse cálculo pode ser agilizado em uma planilha, como na Figura 1.7.

Sem medo de errar!

Fonte: Os autores

(a) (b) (c)

Figura 1.7 | Planilha de cálculo da receita de bonés vendidos a R$ 30,00 por unidade

(a)(a)(a) (b)(b)(b) (c)(c)(c)