Introdu¸c˜ao `a Matem´atica Num´erica
Introdu¸c˜ao `a Matem´atica Num´erica
Eduardo Camponogara
Departamento de Automa¸c˜ao e Sistemas
Universidade Federal de Santa Catarina
DAS-5103: C´alculo Num´erico para Controle e Automa¸c˜ao
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Excelente apostila de Matemática Numérica.
Tipologia: Notas de estudo
2011
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Introdu¸c˜ao `a Matem´atica Num´erica
Eduardo Camponogara
Departamento de Automa¸c˜ao e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina
DAS-5103: C´alculo Num´erico para Controle e Automa¸c˜ao
Sum´ario
Natureza e Objetivos
Algoritmos
Algoritmos Num´ericos
Resolu¸c˜ao de Problemas
Natureza e Objetivos Matem´atica Num´erica
Natureza e Objetivos da Matem´atica Num´erica
◮ (^) M´aquinas de contagem da IBM no in´ıcio do S´eculo XX ◮ (^) Advento das m´aquinas computacionais nos anos 40 ◮ (^) Aplica¸c˜oes em c´alculos bal´ısticos ◮ (^) Log´ıstica de transporte ◮ (^) T´ecnicas de prote¸c˜ao contra submarinos ◮ (^) Importˆancia da matem´atica num´erica ◮ (^) Propriedades da matem´atica real s˜ao perdidas em m´aquinas computacionais ◮ (^) Representa¸c˜ao aproximada de n´umeros ⇒ perda de precis˜ao ◮ (^) Erros, propaga¸c˜ao e amplifica¸c˜ao de erros
Natureza e Objetivos Matem´atica Num´erica
Subdivis˜oes da Matem´atica Computacional
Matem´atica Computacional
A matem´atica computacional ´e a ´area da matem´atica que se preocupa com o desenvolvimento, emprego e estudo de m´etodos num´ericos, podendo ser subdivida em:
- Matem´atica Computacional
- Matem´atica Num´erica
- Matem´atica Simb´olica
- Matem´atica Gr´afica
- Matem´atica Intervalar
Natureza e Objetivos Matem´atica Num´erica
Matem´atica Num´erica
Matem´atica Num´erica
◮ (^) Parte da matem´atica computacional que se preocupa com o desenvolvimento de algoritmos para resolu¸c˜ao aproximada de problemas ◮ (^) Utiliza como sistema de opera¸c˜oes o conjunto {+, −, /, ∗} de operadores matem´aticos
Natureza e Objetivos Matem´atica Num´erica
Matem´atica Simb´olica
Matem´atica Simb´olica
◮ (^) Busca a solu¸c˜ao anal´ıtica de problemas matem´aticos ◮ (^) Por exemplo, a solu¸c˜ao anal´ıtica da integral: ∫ x^2 · dx =
x^3 3
Natureza e Objetivos Matem´atica Num´erica
Matem´atica Intervalar
Matem´atica Intervalar
◮ (^) Trata dados na forma de intervalos, buscando controlar os limites de erro da matem´atica num´erica.
Natureza e Objetivos Matem´atica Num´erica
Area de Concentra¸^ ´ c˜ao
Concentra¸c˜ao
◮ (^) Nos concentramos na matem´atica num´erica ◮ (^) Estudamos processos num´ericos para a resolu¸c˜ao de problemas visando a m´axima economia e confiabilidade em termos de fatores envolvidos, tais como:
- tempo de execu¸c˜ao
- mem´oria utilizada
- erros de arredondamento
Algoritmos Problema Computacional
Problema Computacional
Discuss˜ao de problemas computacionais em geral e a necessidade de algoritmos para resolvˆe-los.
O que ´e um problema computacional?
◮ (^) Consiste em computar o valor de uma fun¸c˜ao para uma entrada que satisfa¸ca as especifica¸c˜oes. ◮ (^) Ou seja, dada uma fun¸c˜ao f : A → B e uma entrada x ∈ A, computar y = f (x). ◮ (^) Definir um problema computacional ´e especificar a rela¸c˜ao entre entrada e sa´ıda. ◮ (^) Exemplo: x codifica um grafo direcionado G = (V , E ), uma fun¸c˜ao w : E → R com os pesos dos arcos, e dois v´ertices s e t. f (x) ´e o caminho mais curto de s a t.
Algoritmos Algoritmo
Algoritmo
O que ´e um algoritmo?
◮ (^) Informalmente, um algoritmo ´e um procedimento computacional bem-definido que toma como entrada um valor (ou conjunto de valores) e produz como sa´ıda um valor (ou conjunto de valores) com a solu¸c˜ao de um problema computacional. ◮ (^) Um algoritmo ´e uma sequˆencia de passos computacionais que transforma entrada em sa´ıda ◮ (^) Podemos ver um algoritmo como uma ferramenta para resolver um problema computacional bem definido.
Algoritmos Problema de Ordena¸c˜ao
Defini¸c˜ao Formal: Ordena¸c˜ao
Entrada
Uma sequˆencia (a 1 , a 2 ,... , an) de n n´umeros.
Sa´ıda
Uma permuta¸c˜ao (a′ 1 , a′ 2 ,... , a′ n) da sequˆencia de entrada tal que a′ 1 ≤ a′ 2 ≤... ≤ a′ n.
◮ (^) Dada uma sequˆencia de entrada (31, 41 , 59 , 26 , 41 , 58) um algoritmo de ordena¸c˜ao produz a sa´ıda (26, 31 , 41 , 41 , 58 , 59). ◮ (^) A entrada (31, 41 , 59 , 26 , 41 , 58) ´e dita instˆancia do problema ◮ (^) Em geral, uma instˆancia consiste de todas as entradas satisfazendo quaisquer restri¸c˜oes impostas na especifica¸c˜ao do problema, necess´arias para computar a sa´ıda
Algoritmos Problema de Ordena¸c˜ao
Ordena¸c˜ao
Aplica¸c˜oes do problema de ordena¸c˜ao
◮ (^) Opera¸c˜ao de ordena¸c˜ao ´e fundamental em ciˆencia da computa¸c˜ao. ◮ (^) O melhor algoritmo para uma certa aplica¸c˜ao depende: ◮ (^) tamanho da entrada ◮ (^) tipo de mem´oria utilizada (RAM, fita ou disco) ◮ (^) grau de ordena¸c˜ao da entrada
Corretude
◮ (^) Um algoritmo ´e dito correto se, para toda a instˆancia, o algoritmo termina com a sa´ıda correta. ◮ (^) Neste caso, dizemos que o algoritmo resolve o problema.
Algoritmos Num´ericos Introdu¸c˜ao
Introdu¸c˜ao
Introdu¸c˜ao a Algoritmos Num´ericos
◮ (^) Algoritmos num´ericos s˜ao fundamentais ao processamento num´erico ◮ (^) Algoritmos num´ericos s˜ao t˜ao importantes ao processamento num´erico, quanto a solu¸c˜ao num´erica de sistemas de equa¸c˜oes lineares a n˜ao-lineares. ◮ (^) Abaixo discutiremos caracter´ıticas desejadas de algoritmos num´ericos
Algoritmos Num´ericos Caracter´ısticas Desej´aveis
Caracter´ısticas Desej´aveis
Caracter´ısticas Desej´aveis
◮ (^) Inexistˆencia de erro l´ogico ◮ (^) Inexistˆencia de erro operacional ◮ (^) Quantidade finita de c´alculos ◮ (^) Existˆencia de um crit´erio de exatid˜ao ◮ (^) Independˆencia de m´aquina ◮ (^) Precis˜ao infinita ◮ (^) Eficiˆencia