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Banco do Brasil - Matemática

Autor:

Equipe Exatas Estratégia

Concursos

26 de Agosto de 2024

Índice

• ..............................................................................................................................................................................................1) Introdução - Diagramas Lógicos
• ..............................................................................................................................................................................................2) Proposições Quantificadas e Categóricas
• ..............................................................................................................................................................................................3) Diagramas Lógicos
• ..............................................................................................................................................................................................4) Validade de Argumentos
• ..............................................................................................................................................................................................5) Questões Comentadas - Proposição Quantificada e Catégorica - Cesgranrio
• ..............................................................................................................................................................................................6) Questões Comentadas - Diagramas Lógicos - Cesgranrio
• ..............................................................................................................................................................................................7) Aviso importante - Orientação de estudo
• ..............................................................................................................................................................................................8) Questões Comentadas - Introdução - Inéditas
• ..............................................................................................................................................................................................9) Questões Comentadas - Validade de Argumentos - Inéditas
• ..............................................................................................................................................................................................10) Lista de Questões - Proposição Quantificada e Catégorica - Cesgranrio
• ..............................................................................................................................................................................................11) Lista de Questões - Diagramas Lógicos - Cesgranrio
• ..............................................................................................................................................................................................12) Lista de Questões - Introdução - Inéditas
• ..............................................................................................................................................................................................13) Lista de Questões - Validade de Argumentos - Inéditas

B) 7 + 3 = 11

É uma outra sentença fechada. Ao resolver a parte esquerda da equação, encontramos que 10 = 11. Dessa forma, vemos que não há variáveis, bem como conseguimos julgar objetivamente a sentença como falsa. C) 0 ⋅ 𝑥 = 5 É uma sentença fechada. Quando resolvemos a parte da esquerda, encontramos 0 = 5. Observe que isso está claramente errado (falso) e a variável também desaparece. D) 13 ⋅ 𝑥 = 7 Opa! Aqui está nosso gabarito. Essa é uma sentença aberta, pois não sabemos o valor de "x" e ele não some quando fazemos a operação do lado esquerdo. Se "x" for 1, por exemplo, a sentença será falsa. Por sua vez, se for igual a 7/13, ela será verdadeira. Tudo dependerá do seu valor. E) 43 – 1 = 42 É uma sentença fechada. Observe que não há variáveis e, na prática, a sentença está nos dizendo que 42=42. Sendo assim, trata-se de uma sentença verdadeira. Gabarito: LETRA D. Vamos avançar mais um pouco. Observe mais um exemplo de sentença aberta.

• 𝑥 ≤ 𝜋 O 𝑥 continua sendo uma variável e não conseguimos julgar a expressão como verdadeira ou falsa. É o mesmo pensamento aqui, pessoal. A inequação "𝑥 ≤ 𝜋", sem qualquer outra informação, é uma sentença aberta, pois não é possível atribuir-lhe um valor lógico. Tudo dependerá do valor de "x". Ressalto que as sentenças abertas não estão apenas relacionadas às expressões matemáticas , podemos também encontrá-las escritas em orações usuais. Veja alguns exemplos:
• Aquele homem é careca. A variável aqui é "aquele homem". Não é possível atribuir um valor lógico a essa sentença por não saber a que homem ela está se referindo. É, portanto, uma sentença aberta.
• A mulher está na praia. A variável aqui é "a mulher". Não sabemos quem é e dependendo de quem estamos falando, a sentença poderá ser verdadeira ou falsa. Trata-se de uma sentença aberta. Para não ficarmos apenas na teoria, vamos praticar o que acabamos de ver em uma questão bem completa. ==3d76e4==

(PREF. HULHA NEGRA/20 22 ) Analise as sentenças a seguir e classifique as em abertas ou fechadas. A seguir, assinale a sequência CORRETA da classificação das sentenças. I. 𝑥 − 3 = 4. II. Paulo Freire foi presidente da Coreia do Norte. III. Ela é bonita. IV. Donald Trump é presidente dos EUA. A) Aberta — Aberta — Fechada — Fechada. B) Aberta — Fechada — Aberta — Fechada. C) Fechada — Fechada — Aberta — Fechada. D) Fechada — Aberta — Fechada — Aberta. E) Fechada — Fechada - Fechada - Fechada. Comentários: Questão para aplicarmos o que acabamos de ver! Vamos analisar cada uma as afirmativas. I. 𝑥 − 3 = 4. É uma sentença aberta! Não sabemos se é verdadeira ou falsa, pois isso vai depender do valor de "x". II. Paulo Freire foi presidente da Coreia do Norte. É uma sentença fechada! Não há variáveis aqui. Note que conseguimos atribuir um valor lógico a ela ( falso ) pois sabemos que Paulo Freire não foi presidente da Coreia do Norte. III. Ela é bonita. É uma sentença aberta! Ela quem?! Sem saber, não conseguimos afirmar se a sentença é falsa ou verdadeira. IV. Donald Trump é presidente dos EUA. É um outra sentença fechada! Observe também que, por ser fechada, conseguimos avaliá-la, já que sabemos que Donald Trump não é mais o presidente dos EUA (portanto, a sentença é falsa ). Gabarito: LETRA B.

o Todo homem é careca. Substituímos "aquele" na expressão original pelo quantificador universal "todo". Veja que se trata de uma proposição quantificada e que facilmente conseguimos julgá-la como verdadeira ou falsa. (PREF. SÃO GONÇALO/2022) Considere as 4 proposições abaixo. p: ∃𝑥, 𝑥 + 1 = 5 q: ∀𝑥, (𝑥 + 1 )² = 𝑥² + 2 𝑥 + 1 r: 𝑥 > 0 ⇔ 5 𝑥 > 0 s: 𝑥² = 4 ⇒ 𝑥 − 2 ∨ 𝑥 = − 2 A única proposição que apresenta o símbolo do quantificador universal está indicada na seguinte opção: A) p B) q C) r D) s Comentários: Questão bem direta, pessoal! Era visualizar o quantificador e marcar! Observe que a única proposição que contém o quantificador universal (destacado em vermelho) é a "q". 𝑞: ∀𝑥, (𝑥 + 1 )² = 𝑥² + 2 𝑥 + 1 Gabarito: LETRA B. Quantificador Existencial - ∃ O quantificador existencial é representado pelo símbolo ∃ ("existe", "algum", "pelo menos um"). o ∃𝒙 ∶ 𝑥 + 10 = 50 Lemos essa expressão como " existe 𝒙 tal que 𝑥 mais dez é igual a cinquenta.". Observe que, de fato, existe 𝑥 tal que a equação é satisfeita (𝑥 = 40 ). Portanto, ao adicionarmos o quantificador existencial a essa sentença aberta, obtemos uma proposição quantificada de valor lógico verdadeiro. o ∃𝒙 ∶ 𝑥 ≤ 𝜋 Lemos essa expressão como " existe 𝒙 tal que 𝑥 é menor ou igual a pi.". Atente-se que, mais uma vez, é possível atribuir um valor lógico à expressão. De fato, existem números que são menores que pi.

o Algum homem é careca. Podemos usar também "algum" para denotar o quantificador existencial. E aí? Está começando a perceber como os quantificadores atuam? Vejam que, de fato, eles transformam sentenças abertas em proposições. (PREF. DE GRAMADO-RS/2019) A alternativa que apresenta uma sentença aberta com o quantificador existencial é: A) Todos os estabelecimentos comerciais do município de Gramado têm plano de prevenção de incêndio. B) O cinema Palácio dos Festivais tem plano de prevenção de incêndio. C) Algum dos restaurantes do município de Gramado tem plano de prevenção de incêndio. D) Qualquer hotel do município de Gramado tem plano de prevenção de incêndio. E) O centro de eventos do município de Gramado tem plano de prevenção de incêndio. Comentários: São quantificadores existenciais : "existe", "pelo menos um", "há", "algum". A) Todos os estabelecimentos comerciais do município de Gramado têm plano de prevenção de incêndio. Alternativa incorreta. "Todos" é um quantificador universal. B) O cinema Palácio dos Festivais tem plano de prevenção de incêndio. Alternativa incorreta. Não apresenta quantificador algum. C) Algum dos restaurantes do município de Gramado tem plano de prevenção de incêndio. Alternativa correta. "Algum" é um quantificador existencial. D) Qualquer hotel do município de Gramado tem plano de prevenção de incêndio. Alternativa incorreta. "Qualquer" é um quantificador universal. E) O centro de eventos do município de Gramado tem plano de prevenção de incêndio. Alternativa incorreta. Não apresenta quantificador algum. Gabarito: Letra C Negação de Proposições Quantificadas Antes de aprendermos a negar proposições quantificadas, devemos conhecer alguns tipos de proposições que são fundamentais. ==3d76e4==

Para negar o fato de que "todo brasileiro gosta de futebol" devemos falar que "pelo menos um brasileiro não gosta de futebol". Afinal, só basta um brasileiro não gostar de futebol para que a sentença "todo brasileiro gosta de futebol" não seja verdade. Veja que: p: Todo brasileiro gosta de futebol. ¬p: Pelo menos um brasileiro não gosta de futebol. r: Qualquer pessoa consegue passar. ¬r: Alguma pessoa não consegue passar. s: Todos os empregados foram demitidos. ¬s: Algum empregado não foi demitido. Então, comece a perceber que para negar uma proposição quantificada, precisamos substituir o seu quantificador por outro. Nesse caso, estamos substituindo um quantificador universal por um quantificador existencial. Além de realizar essa troca, estamos negando sempre o predicado da oração.

Você lembra o que é predicado? Predicado é tudo na oração que se declara sobre o

sujeito, seja afirmando algo sobre ele ou negando. Confira alguns exemplos:

Todo brasileiro gosta de futebol.

[Sujeito = "todo brasileiro" ; Predicado = "gosta de futebol" ]

Algum engenheiro não faltou à aula.

[Sujeito = "algum engenheiro" ; Predicado = "não faltou à aula" ]

Então, quando falamos que devemos negar o predicado, queremos transformar o que está sendo afirmado em uma negação ou que já está sendo negado em uma afirmação. Por exemplo, ao negar o predicado "gosta de futebol" ficamos com "não gosta de futebol", ao negar o predicado "não faltou à aula", ficamos com "faltou à aula".

Predicado

Tudo na oração que se declara sobre o sujeito

Todo estudante alcança seus objetivos. Qualquer auditor ganha muito bem.

(IPE SAÚDE/20 22 ) Considerando a proposição “Todo professor de estatística é professor de lógica”, dizer que, de acordo com as regras da lógica para a negação de proposições quantificadas, a sua negação, é: A) Todo professor de estatística não é professor de lógica. B) Nenhum professor de estatística é professor de lógica. C) Nenhum professor de lógica é professor de estatística. D) Existe professor de estatística que não é professor de lógica. E) Existe professor de lógica que não é professor de estatística. Comentários: Galera, aqui temos uma proposição quantificada universal afirmativa. Para negá-la, precisamos substituir o quantificador universal por um quantificador existencial. Com essa afirmação, já era possível eliminar as alternativas A, B e C, pois todas elas apresentam quantificadores universais. Ademais, além de trocar o quantificador, precisamos negar o predicado da oração. Vamos esquematizar essas mudanças. p: Todo professor de estatística é professor de lógica. ¬p: Existe professor de estatística que não é professor de lógica. Gabarito: Letra D. E se for necessário negar uma proposição universal negativa, como fazemos? Realizamos exatamente a mesma coisa! Vamos trocar o tipo de quantificador e negar o predicado da sentença. Acompanhe alguns exemplos: p: Todo brasileiro não gosta de música clássica. ~p: Existe um brasileiro que gosta de música clássica. Substituímos " todo" que é um quantificador universal por "existe um" que é um quantificador existencial. Além disso, tínhamos o predicado "não gosta de música clássica", ao negá-lo ficamos com "gosta de música clássica". Vamos ver mais um exemplo? q: Nenhum investidor quer perder dinheiro. ~q: Pelo menos um investidor quer perder dinheiro. Observe que quando temos o quantificador universal "nenhum" , não precisamos negar o predicado. Isso acontece pois quando falamos "nenhum", na verdade já temos uma negação subentendida.

(MPE-AL/2018) Considere a afirmação: “Existem insetos que não são pretos”. Se essa afirmação é falsa, então é verdade que: A) nenhum inseto é preto. B) todo inseto é preto. C) todos os animais pretos são insetos. D) nenhum animal preto é inseto. E) nem todos os insetos são pretos. Comentários: Se a afirmação fornecida é falsa, a sua negação será verdadeira. A proposição quantificada do enunciado possui um quantificador existencial, sabemos que para negá-la basta substituí-lo por um quantificador universal e negar seu predicado. Lembre-se: Quantificadores existenciais: "existe", "pelo menos um", "algum"; Quantificadores universais: "todo(s)", "toda(s)", "qualquer", "nenhum". 𝑝: Existem insetos que não são pretos. (F) ~𝑝: Todo inseto é preto. (V) Gabarito: Letra B. Pessoal, para confundir o candidato, as bancas gostam de colocar termos "adicionais" na proposição. Observe uma questão bem recente: (CM TAUBATÉ/2022) O avô de Luciano disse: “Com óculos, todas as fotos são nítidas.” Se essa frase é FALSA é correto concluir que a) sem óculos todas as fotos são nítidas. b) com óculos todas as fotos não são nítidas. c) sem óculos há fotos que não são nítidas. d) com óculos há, pelo menos, uma foto que não é nítida. e) com óculos nenhuma foto é nítida.

Esse "com óculos" aparece cirurgicamente para confundir o candidato e deixa uma pulga atrás da orelha na hora de marcar a correta. O que fazer nessas situações? Galera, se você identificou que está diante de um problema de negação de proposição quantificada, você

deve focar no que vimos aqui: substituir o quantificador e negar o predicado. O resto não muda!!!

"Com" não vira "sem"! "Quente" não vira "frio"! "Bom" não vira "ruim"! "Noite" não vira "dia"! "Esquerda" não vira "direita"! O examinador vai tentar te pegar jogando termos assim na proposição. Vamos ver alguns exemplos. p: À noite , todas as estrelas aparecem no céu. ¬p: À noite , alguma estrela não aparece no céu. q: Todo dia quente agrada aos turistas. ¬q: Algum dia quente não agrada aos turistas. r: Quando virou à esquerda , todos os semáforos estavam verdes. ¬r: Quando virou à esquerda , algum semáforo não estava verde. Observe que em nenhuma negação nós substituímos "noite" por "dia", "quente" por "frio"... O foco é a substituição do quantificador e a negação do predicado. Não caiam nessas pegadinhas! Proposições Categóricas Proposição categórica é um tipo especial de proposição quantificada. Essas proposições vão estabelecer uma relação entre termos de categorias distintas. Quando dizemos, por exemplo, que todo cachorro é obediente , estou estabelecendo uma relação de inclusão entre a categoria dos cachorros e a categoria dos obedientes. Trata-se, portanto, de uma proposição categórica. Por serem proposições quantificadas, elas podem ser classificadas nos tipos vistos nessa aula : "proposição universal afirmativa", "proposição universal negativa", "proposição particular positiva" e "proposição

• Proposições subcontrárias: São proposições particulares que possuem qualidades distintas , isto é, todo par afirmativo-negativo de proposições particulares. Algum empresário é rico. [Forma I] Algum empresário não é rico. [Forma O] Note, dessa vez, que as proposições categóricas de forma I e O serão sempre subcontrárias.
• Proposições subalternas: São proposições que, apesar de possuírem a mesma qualidade , diferem pela quantidade. A: Todo estudante é preparado. I: Algum estudante é preparado. E: Nenhum cachorro é feio O: Algum cachorro não é feio. Todas as proposições categóricas de forma A e I são subalternas entre si, bem como as proposições de forma E e O.
• Proposições contraditórias : São proposições que diferem , simultaneamente , em qualidade e quantidade. A: Todo animal é dócil. O: Algum animal não é dócil. E: Nenhum jogador é amigável. I: Algum jogador é amigável. Todas essas informações são resumidas em uma estrutura muito conhecida no mundo da Lógica, essa estrutura é denominada de quadrado das oposições ou simplesmente quadrado lógico. É exatamente a imagem representada na figura acima. Calma aí, professor! Pessoal, eu sei que essas classificações podem ser um pouco chatas! Para melhorar um pouco sua vida, te aviso que esse não é o tema mais cobrado dentro do tópico que estamos estudando. Pelo contrário, essas classificações costumam cair bem pouco. No entanto, como queremos gabaritar a prova, vale a pena dedicar um pouco de tempo para entendê-las.

Galera, um último ponto que eu gostaria de tocar antes de finalizarmos esse tópico, é uma equivalência bastante comum em prova. Considere a seguinte proposição: "Todo engenheiro é responsável." Vocês concordam comigo que a afirmativa acima equivale a dizer: "Se uma pessoa é engenheiro, então ela é responsável."? Note que, como todos os engenheiros são pessoas responsáveis, então, é correto concluir a condicional acima. Além disso, sabemos que existem mais relações de equivalência que envolvem condicionais, lembre-se das aulas anteriores o seguinte: 𝑝 ⇒ 𝑞 ⇔ ~𝑞 ⇒ ~𝑝 Usando essa equivalência para reescrever a condicional citada anteriormente, ficamos com: "Se uma pessoa não é responsável, então não é engenheiro." Portanto, partindo de uma única proposição categórica conseguimos reescrevê-la sob duas formas igualmente válidas. Em algumas questões, teremos que realizar esse tipo de equivalência para podermos marcar a alternativa correta. Vamos ver na prática? (MPE-BA/2017) Considere a afirmação: “Todo baiano é um homem feliz”. Uma afirmação logicamente equivalente é: A) Todo homem feliz é baiano; B) Um homem que não é feliz não é baiano; C) Quem não é baiano não é feliz; D) Um homem é baiano ou é feliz; Comentários: O examinador está buscando uma afirmação logicamente equivalente. Se "Todo baiano é feliz", sabemos imediatamente que é equivalente dizer: " se é baiano então é feliz". Normalmente, essa equivalência imediata não é o suficiente para marcarmos a alternativa correta e devemos ir mais fundo, revisitando a aula de Equivalências Lógicas para lembrar que: 𝑝 ⟹ 𝑞 ⇔ ~𝑞 ⟹ ~𝑝 Logo, a condicional "se é baiano então é feliz" é equivalente a: "se não é feliz, então não é baiano". Essa conclusão está disfarçada na alternativa B: "um homem que não é feliz, não é baiano.' Gabarito: Letra B.

• Algum engenheiro não é responsável É uma situação praticamente análoga a anterior. No entanto, a parte do diagrama que estaremos interessados será o conjunto dos engenheiros que não é responsável , ou seja, a parte do conjunto que está fora da intersecção. Veja como fica: (PREF. F. VASCONCELOS/2020) Em determinado município, alguns médicos são professores e todo professor é funcionário público. Sendo assim, é correto afirmar que (A) todo funcionário público é médico. (B) todo médico é funcionário público. (C) não existe funcionário público que é médico. (D) não existe médico que é funcionário público. (E) existe funcionário público que não é médico Comentários: Você deve ter começado a perceber que a Vunesp gosta muito dessas questões. Para resolvê-la, vamos desenhar diagramas. Se alguns médicos (M) são professores (P), Ademais, como todo professor (P) é funcionário público (FP), temos a seguinte possibilidade de diagrama: Agora, devemos analisar as alternativas. (A) todo funcionário público é médico. Responsáveis Engenheiros ==3d76e4==

Alternativa incorreta. Essa afirmativa não é necessariamente verdade. A região azul no diagrama abaixo representa os funcionários públicos que não são médicos. Isso contraria o que está na afirmativa. (B) todo médico é funcionário público. Alternativa incorreta. A região azul no diagrama abaixo representa médicos que não são funcionários públicos. Sendo essa uma possibilidade, a alternativa erra ao generalizar e afirmar que todo médico é funcionário público. (C) não existe funcionário público que é médico. (D) não existe médico que é funcionário público. Alternativas incorretas. Se alguns médicos são professores e todos os professores são funcionários públicos, então os médicos que são professores também são funcionários públicos. Logo, existe sim funcionário público que é médico. (E) existe funcionário público que não é médico Alternativa correta. Há professores que são funcionários públicos e não são médicos e até funcionários públicos que não são professores. Observe a região azul do diagrama: Gabarito: LETRA E.