Matrizes e Sistemas Lineares: Matrizes, Diagonais, Operações Básicas, Sistemas Lineares, Redação de Matemática

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Matemática

**- Matriz;

• Elementos das Diagonais;
• Classificação de Matrizes;
• Operações Basicas com Matrizes;
• Sistemas Lineares.**

· Identificar os diferentes tipos de matriz;

· Realizar operações: soma, subtração e multiplicação entre matrizes;

· Calcular os determinantes de matrizes quadradas de ordem n ≤ 3;

· Reconhecer situações que envolvam sistemas lineares;

· Utilizar os métodos Cramer e Gauss para a resolução de sistemas

lineares possíveis e determinados.

OBJETIVO DE APRENDIZADO

Matrizes e Sistemas Lineares

Orientações de estudo

Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem

aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua

formação acadêmica e atuação profissional, siga

algumas recomendações básicas:

Assim:

Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte

da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e

horário fixos como o seu “momento do estudo”.

Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma

alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.

No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e

sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também

encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua

interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.

Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão,

pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato

com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.

Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte

Mantenha o foco! Evite se distrair com as redes sociais.

Mantenha o foco! Evite se distrair com as redes sociais.

Determine um horário fixo para estudar.

Aproveite as indicações de Material Complementar.

Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma

Não se esqueça de se alimentar e se manter hidratado.

Aproveite as

Conserve seu material e local de estudos sempre organizados.

Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias! Isso amplia a aprendizagem.

Seja original! Nunca plagie trabalhos.

UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares

Matriz

Define-se por Matriz de m × n a um conjunto de m × n (lê-se m por n) elementos

que são dispostos em m linhas e n colunas.

Os elementos que compõem uma determinada matriz são representados por

uma letra minúscula acompanhada dos índices i (que representa a linha na qual o

elemento está posicionado) e j (que representa a coluna na qual o elemento está

posicionado); a matriz nós representamos por uma letra maiúscula.

Vejamos um exemplo: temos a seguir uma matriz 3 × 3 que denominaremos

matriz A.

Veja a estrutura da matriz com os índices i (linhas) e j (colunas):

A

a a a a a a a a a

11 12 13 21 22 23 31 32 33

E, na sequência, a matriz já com os valores numéricos que, nesse caso, foram

estipulados de forma aleatória, somente para exemplificar uma matriz com valo-

res numéricos:

A   

Os elementos da matriz são localizados pelos dois índices: i (linha) e j (coluna).

A matriz A3x3 possui os seguintes elementos:

a 11 = 6; a 12 = 2; a 13 = 0.

a 21 = -1; a 22 = -3; a 23 = 1.

a 31 = 3; a 32 = 5; a 33 = 8.

O elemento a 32 = 5 é elemento que está localizado na 3ª linha e na 2ª coluna.

Elementos das Diagonais

Chamamos de Diagonal Principal (P) a diagonal da matriz quadrada composta

pelos elementos aij, onde i = j, isto é, no caso de uma matriz quadrada de ordem 3,

a diagonal principal será composta pelos elementos de posição: a 11 , a 22 e a 33.

UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares

Operações Básicas com Matrizes

Soma e Subtração de Matrizes

Considerando duas matrizes A = (a ij)mxn e B = (b ij)mxn, a matriz C = (c ij)mxn será a

matriz soma, das matrizes A + B, na qual os elementos cij serão obtidos por cij =

a ij + bij.

Importante!

Cada elemento cij da matriz soma C será o resultado da soma entre os elementos correspondentes de A e B. Chamamos de correspondentes os termos que possuírem os mesmos índices ij.

Importante!

Ou seja, associamos, por meio da soma, os elementos que possuem o mes-

mo índice:

A=

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

+B=

b (^11) b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b (^33)

C=

a11+ b (^11) a12+ b 12 a13+ b 13 a21+ b 21 a22+ b 22 a23+ b 23 a31+ b 31 a32+ b 32 a33+ b^33

Importante!

A soma ou subtração de matrizes somente ocorre entre matrizes de mesma ordem, ou seja, o número de linhas de uma matriz deve ser igual ao número de linhas da outra matriz, assim como o número de colunas.

Importante!

Exemplos

A  e B e A B

 ^

 ^ ^

 C  e D  e C  D 

A  C

 ^ 

Soma de A + C não é possível

Multiplicação de Matrizes

Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn , a multiplicação entre as matrizes

A e B gerará uma nova matriz C na qual:

Todo elemento c ij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da

linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os

produtos obtidos.

Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la por AB.

Só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas da

matriz A for igual ao número de linhas de B. Além disso, notamos que a matriz

produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B.

Assim, se tivermos uma matriz A 3x2 e uma matriz B 3x3 não teremos o produto

AB, visto que o número de colunas de A não é igual ao número de colunas de B.

Porém, se tivermos uma matriz A 3x3 e uma matriz B 3x3, o produto entre as matrizes

se dará da forma que se expõe a seguir.

Importante!

A multiplicação entre duas matrizes A e B só ocorre se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

Importante!

Para realizar a multiplicação, associaremos os termos da linha 1 (da primeira

matriz) com a coluna 1 (da segunda matriz); posteriormente, os termos da linha 1,

com a coluna 2, e na sequência os termos da linha 1 com a coluna 3.

Após finalizar a associação dos termos da linha 1 com todas as colunas, repeti-

remos o processo com as demais linhas.

A=

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

b (^11) b 12 b 13 *B= b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

C=

a 11 * b 11 + a 12 * b 21 + a 13 * b 31 a 11 * b12+ a 12 * b (^) 22+ a 13 * b 32 a 11 * b13+ a 12 * b (^) 23+ a 13 * b 33 a 21 * b11+ a 22 * b 21+ a 23 * b 31 a 21 * b12+ a 22 * b 22+ a 23 * b 32 a 21 * b13+ a 22 * b 23+ a 23 * b 33 a 31 * b11+ a 32 * b (^) 21+ a 33 * b 31 a 31 * b12+ a 32 * b (^) 22+ a 33 * b 32 a 31 * b13+ a 32 * b (^) 23+ a 33 * b 33

Determinante da Matriz Quadrada de Ordem 2

Para as matrizes quadradas de ordem 2, calculamos o determinante fazendo o

produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da

diagonal secundária.

Exemplo

Calcularemos o determinante da matriz M 

Importante!

O determinante será calculado da seguinte forma: do produto da diagonal principal subtraímos o produto da diagonal secundária.

Importante!

D = produto da diagonal principal: 2*4 = 8

S = produto da diagonal secundária 3*1 = 3

P – S = 8 – 3 = 5. Logo, det(M) = 5

Determinante da Matriz Quadrada de Ordem N = 3

Existem alguns procedimentos para o cálculo do determinante das matrizes

quadradas de ordem 3. Um deles, chamado de REGRA DE SARRUS, consiste em

copiar as duas primeiras colunas da matriz original:

A  

Copiando novamente a matriz e incluindo, após a terceira coluna, novamente as

duas primeiras colunas, teremos:

Da matriz quadrada A 3x3, teremos, agora, uma nova matriz que possui três

diagonais de três elementos no sentido da diagonal principal e três diagonais no

sentido das diagonais secundárias.

A seguir, somamos os produtos obtidos nas três diagonais principais e dessa

soma subtrairemos a soma dos três produtos obtidos nas três diagonais secundárias.

UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares

1 1 2

1 0 4

5

1 1 2

1 0 4

P P P S S S

0 -8 -3 0 -4 20

Figura 3 – Cálculo do determinante da matriz de ordem 3 – Regra de Sarrus

Das diagonais principais (P), temos: 0 – 4 + 20 = 16.

Das diagonais secundárias (S), temos: 0 – 8 – 3 = -11.

Logo, da soma dos produtos das diagonais principais, subtrairemos a soma dos

produtos das diagonais secundárias, ou seja, P – S:

Det(A) = 27

O determinante será a soma dos produtos das diagonais principais com o oposto

da soma dos produtos das diagonais secundárias.

Sistemas Lineares

Quando temos um problema que envolve mais de uma variável e mais de uma

equação, de modo que estão vinculadas, então temos um sistema de equações. Por

exemplo, se temos as equações E 1 3x + 2y = 16 e E 2 4x − 3y = 20, temos um

sistema, que é, usualmente, indicado por chaves no início:

3x + 2y =

4x -3x = 10

Outro exemplo de sistema de equações, com três variáveis (x, y e z), com três

equações, é dado por:

x + y + 3z= 9

-3x +2y -6z = -

4x – 5z = 11

Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto finito de equações, todas elas

nas mesmas incógnitas, que devem ser satisfeitas, simultaneamente.

Uma solução de um sistema linear é uma sequência ordenada de números

tais que as substituições das variáveis, por esses números, transformem todas as

equações do sistema em identidades verdadeiras.

UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares

2

1

1

-

3

-

1

-

2 1

3

-

detA = [(2.(-3)] - [1.(1)] = -6 - detA = -

detAx = [(3.(-3)] - [1.(-2)] = -9 + detAx = -

detA (^) y = [(2.(-2)] - [3.(1)] = -4 - detA (^) y = -

A =

Det A (^) x =

Det B (^) x =

Figura 5 – Cálculo dos determinantes

Os valores de x e y para a solução do sistema serão calculados por:

x detA A

y detA A

x

y

det

det

Logo, os valores de x e y serão:

x detA A

y detA A

x

y

det

det

Portanto, a solução de nosso sistema será x = 1 e y = 1.

Se tivermos um sistema cuja matriz seja quadrada de ordem três, resolveremos

det A , det Ax , det Ay e det Az que deverão ser calculados conforme vimos na Regra

de Sarrus e os valores de x, y e z será, respectivamente:

x detA A y detA A z detA A

x

y

z

det

det  det

Método de Gauss

Outro método utilizado na resolução de sistemas lineares é o método de Gauss

que consiste em transformar o sistema linear original S em um sistema linear

equivalente, que chamaremos de S’, mas de forma escalonada, ou com matriz

triangular superior.

Os sistemas equivalentes são sistemas que admitem uma mesma solução; por

vezes, é mais prático trabalhar com sistemas equivalentes que permitem soluções

mais rápidas e menos trabalhosas.

Como vimos, um sistema equivalente ao outro é sobretudo um sistema cuja

solução é a mesma do sistema original.

Por exemplo: quando temos a equação 2x + 6 = 18, temos como solução o

valor de x = 6. Podemos obter uma equação equivalente a 2x + 6 = 18 realizando

qualquer operação nessa equação, desde que façamos a operação para todos os

elementos da equação.

Se dividirmos todos os coeficientes da equação 2x + 6 = 18 por 2 , teremos

uma nova equação que será x + 3 = 9. Podemos observar que a solução dessa

equação continua sendo x = 3, ou seja, 2x + 6 = 18 e x + 3 = 9 são equivalentes.

Importante!

Multiplicando-se os membros de uma equação E qualquer de um sistema linear S por um número K≠0, o novo sistema S’ obtido será equivalente a S.

Importante!

Por exemplo, o sistema S é equivalente aos sistemas S’ e S’’:

Sistema S

2x + y = 5

-x +3y = 1

Sistema S’

2x + y = 5

-2x+6y = 2

Sistema S”

6x + 3y = 15

3x - 9y = -

Note que a diferença de S’ para S é que a segunda equação E 2 em S’ é o dobro

da E 2 em S. Também devemos notar que em S”, a equação 1, ou seja, a E 1 , é o

triplo da E 1 de S, mas são todos sistemas equivalentes, cuja solução é x = 2 e y = 1.

Outra transformação importante: “se substituirmos uma equação E de um sistema

linear S, pela soma membro a membro (isto é, de seus respectivos coeficientes e

variáveis) dela com outra, o novo sistema obtido S’ será equivalente a S.

Vamos avaliar novamente nosso sistema S e o equivalente S’:

Sistema S

2x + y = 5

-x +3y = 1

Sistema S’

2x + y = 5

-2x+6y = 2

Em S’, podemos substituir a segunda equação E 2 pela soma dela mesma com a

primeira E 1 , membro a membro, ou seja:

2x + (-2x) = 0 e também y + 6y = 7y e por fim 5 + 2 = 7.

1ª. etapa: eliminar os elementos que estão em destaque em vermelho, ou seja,

os elementos a 21 , a 31 e a 32 da matriz A3x3. Para isso executaremos as multiplicações

e somas necessárias:

• (^) 1º passo: destacar o elemento pivô da primeira etapa, isto é, o elemento

a 11 , pois é por meio dele que anularemos o elemento a 21. Assim, definiremos

a partir de a 11 e a 21 o multiplicador da equação. O elemento pivô é a razão

entre os dois elementos (no caso a 21 e a 11 ) e, por meio desse número, é que

realizaremos a transformação em busca de uma equação equivalente.

Para Equação 1 (E1) e Equação 2 (E2) o pivô será:

m a (^1) a 21 11

m 1 = 2

• (^) 2º passo: determinar a transformação da segunda equação (E2’), que será

dada pela subtração de (E2) com a primeira equação (E1) multiplicada por m 1 ,

ou seja, E2’ = E2 – m 1 * E1.

Acompanhe a transformação de cada um dos termos da segunda equação E2’:

novo a 21

a 21 – m 1 *a 11

novo a 22

a 22 – m 1 *a 12

novo a 23

a 23 – m 1 *a 13

novo a 24

a 24 – m 1 *a 14

Assim, o novo sistema com a substituição de E2 por E2’ ficará:

• (^) 3º passo: anular o termo a 31. Nesse caso, o pivô será determinado por a 11 e

o multiplicador (m 2 ), por a 11 e a 31 :

m a (^2) a 31 11

UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares

m 2 =

• (^) 4º passo: executar a transformação, mas agora da terceira equação (E3), que

será subtraída do triplo da primeira equação (E1).

A nova E3’ será dada por:

novo a 31

a 31 – m 2. a 11

novo a 32

a 32 – m 2 .a 12

novo a 33

a 33 – m 2 .a 13

novo a 34

a 34 – m 2 .a 14

O sistema, com a nova equação ficará:

• (^) 5º passo: anular o termo a 32. O pivô será determinado por a 22 e o multiplicador

por a 22 e a 32 :

m a (^3) a 32 22

1 2 1 9

0 -3 -3 - 0 -7 -5 -

m 3 =7/

• (^) 6º passo: executamos a transformação, mas agora da terceira equação (E3)

que será subtraída da segunda equação (E2), multiplicada por m 3 = 7/3.