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Curso de Graduação em Administração a Distância
- Seja f ( x ) =
x − 1, se x < 3 5, se x = 3 8 − x , se x > 3
Verifique se f ( x ) é contínua em x = 3.
Saiba Mais...
Para aprofundar os conteúdos abordados neste caítulo, consulte: FLEMMInG, D. M.; GOnçALVES, M. B. Cálculo A : Fun- ções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron Books, 1992. LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2ª ed. São Paulo: Harba, 1994. Vol. 1. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/superior.htm
RESuMO
Nesta Unidade, você teve a oportunidade de estudar e compreender a definição de limite de uma forma intuitiva, bem como calcular limite de uma função, usando os teoremas sobre limites, o significado dos limites laterais, limites no infinito e limites infinitos. Percebeu também como levantar uma indeterminação e aprendeu a analisar a continuidade de uma função, aplicando limites laterais. Entendeu tudo até aqui? Não esqueça que a compreensão é fundmaental para que você possa acompanhar a disciplina. Só prossiga após fazer todos os exercícios propostos, já que o que veremos a seguir depende dos conceitos abordados neste capítulo. Consulte o Sistema de Acompanhmento, sempre que achar necessário.
Módulo 2
RESPOStAS
Exercícios propostos – 1
- a) (^) {− ( 2 n − (^1) )} ; b) 1 3 n
- a) 1 2
, −^1
, −^1
b) 4 3
1 , 7 6
2 ,^10 9
3 , 13 12
4 , 21 20
5 .
c) 1, − 1 2
,^1
,^1
- a) 2 3 ; b) ∞ (não existe o limite).
- a) monótona crescente; b) monótona crescente
Exercícios propostos – 2
Exercícios propostos – 3
lim x → 2 + f ( x ) = 12 , lim x → 2 − f ( x ) = 1 e lim x → 2 f ( x )não existe.
lim x → 0 − f ( x ) = 1; lim x → 0 + f ( x ) = + 5. não existe lim x → 0 f ( x ).
lim x → 2 − f ( x ) = 3 , lim x → 2 + f ( x ) = 3 e lim x → 2 f ( x ) = 3.
k = − 8.
lim x → 4 + f ( x ) = 0 , lim x → 4 − f ( x ) = 0 e lim x → 4 f ( x ) = 0.
DerivadasDerivadas
UNIDADE
Objetivo
Nesta unidade você vai interpretar a taxa média de variação; escrever a
definição de derivada e interpretar o seu significado geométrico; calcular e aplicar
algumas regras de derivadas, tais como, a regra da cadeia; enunciar e calcular a
derivada de função inversa; calcular derivadas sucessivas de uma função; e aplicar
o conceito de diferencial em funções marginais.
Curso de Graduação em Administração a Distância
Para a função y = f ( x ) = x^2 + 1 , temos Δ y = f (^) ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 )
= (^) ( x 0 + Δ x ) 2
= x 02 + 2 x 0 Δ x + Δ( x ) 2
= 2 x 0 Δ x + Δ( x ) 2
Portanto, Δ y = 2 ⋅ x 0 ⋅ Δ x + Δ( x ) 2 .
O que acabamos de mencionar, (conceito de incremento), nos motiva a seguinte definição.
Seja f ( x ) uma função definição em um intervalo [ a , b ] e x 0 ∈[ a , b ] , ∀ x ∈[ a , b ] com x ≠ x 0_. Quando a variável x passa para o valor x_ = x 0 para o valor x = x 0 + Δ x sofrendo uma variação Δ x , Δ x = x − x 0 , o correspondente valor da função passa de f ( x 0 ) para o valor f (^) ( x 0 + Δ x ) sofrendo, portanto, uma variação Δ y = f (^) ( x 0 + Δ x ) − f (^) ( x 0 )
Conforme mostra a figura 5.1 abaixo y
(^0) x 0 x x
f ( x 0 )
f ( x )
y = f ( x )
} } ∆ x
∆ y
Figura 5.
Módulo 2
Vale destacar:
O quociente Δ y Δ x = f^ ( x )^ −^ f^ ( x^0 ) x − x 0
f (^) ( x 0 + Δ x ) − f (^) ( x 0 ) Δ x
recebe o nome de taxa média de variação da função f ( x ) quando x passa do valor x 0 para o valor x = x 0 + Δ x e expressa a variação média sofrida pelos valores da função f ( x ) entre estes dois pontos.
Exemplo 5.1 Seja a função f , tal que f ( x ) = 2 x + 1 , para x ∈°. De- termine a taxa média de variação de f , quando x passa de x 0 = 1 para x 0 + Δ x = 4_._
Resolução: Como x 0 + Δ x = 4 temos 1 + Δ x = 4 ⇒ Δ x = 4 − 1 = 3 ; f ( x 0 ) = f (1) = 2 × 1 + 1 = 3 e f ( x 0 + Δ x ) = f (4) = 2 × 4 + 1 = 9. Logo, Δ y Δ x = f^ ( x^0 + Δ x )^ −^ f^ ( x^0 ) Δ x
= 9 −^3
Exemplo 5.2 Seja a função f tal que f ( x ) = x^2 + 4 , para x ∈°. De- termine a taxa média de variação de f , quando x passa de x 0 = 2 para x 0 + Δ x = 5_._
Resolução: Como x 0 + Δ x = 5 temos 2 + Δ x = 5 ⇒ Δ x = 5 − 2 = 3 ; f ( x 0 ) = f (2) = 2 2 + 4 = 4 + 4 = 8 e f ( x 0 + Δ x ) = f (5) = 52 + 4 = 25 + 4 = 29. Logo, Δ y Δ x = f^ ( x^0 + Δ x )^ −^ f^ ( x^0 ) Δ x
= 29 −^8
Módulo 2
Exercícios propostos – 1
- Determinar a taxa média de variação das funções seguintes entre os pontos indicados: a) f ( x ) = 3 ; 2 e 4 b) f ( x ) = x^2 + x ; −2 e 2 c) f ( x ) = 1 − 1 x ; 3 e 6
d) f ( x ) = − x^2 ; −4 e − 1 e) f ( x ) = − x + 1 ; −2 e 6
Determinar a taxa média de variação da função f ( x ) = x + 1 entre os pontos x 0 e x 0 + Δ x.
Uma fábrica de doces verificou que o custo total diário, para produzir x caixas de doces cristalizados, em reais, era dado por C ( x ) = 1 2 x^2 + x + 2. Determinar a taxa média de variação do custo em relação a x.
Definição de derivada
na seção anterior , compreendemos o significado de taxa média de variação de uma função f ( x ) , quando x passa do valor x 0 para o valor x 0 + Δ x. Isto nos leva a seguinte definição.
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Derivada da função. A derivada de uma função f em relação à variável x do domínio de f é a função f '( x ) , dada por f '( x ) = (^) Δlim x → 0^ f^ ( x^ + Δ x )^ −^ f^ ( x ) Δ x se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função f ( x ) é derivável em x.
Derivada de uma função no ponto x 0. Se x 0 for um número particular no domínio de f , então a derivada da função f no ponto x 0 , denotada por f '( x 0 ) , é dada por
f '( x 0 ) = (^) Δlim x → 0^ f^ ( x^0 + Δ x )^ −^ f^ ( x^0 ) Δ x
se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função f ( x ) é derivável em x 0 , ou seja, existe f '( x 0 ).
Há várias maneiras de representar a derivada, por exemplo,
f '( x 0 ) , Df ( x 0 ) , y ʹ ( x 0 ) , ( df dx ) x 0 , ( dy dx ) x 0 , f '( x ) , y ' , df dx , dy dx , etc.
Exemplo 5.4 Dada f ( x ) = 4 x^2 + 8 , calcular a derivada de f.
Resolução: Se x é algum número no domínio de f , então pela definição 5.2 vem f ´( x ) = (^) Δlim x → 0^ f^ ( x^ + Δ x )^ −^ f^ ( x ) Δ x
= (^) Δlim x → 0
⎡ (^4) ( x + Δ x )^2 + 8 ⎣⎢^
− (^) ( 4 x^2 + (^8) ) Δ x = (^) Δlim x → 0
(^4) ( x^2 + 2 x Δ x + (Δ x ) (^2) ) + 8 − 4 x^2 − 8 Δ x = (^) Δlim x → 04 x
(^2) + 8 x Δ x + 4(Δ x ) 2 − 4 x 2 Δ x = (^) Δlim x → 08 x Δ x^ +^ 4(Δ x )^
2 Δ x
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dy dx = (^) Δlim x → 0
3 − x − Δ x 2 + x + Δ x − 3 −^ x 2 + x Δ x
= (^) Δlim x → 0
( 2 +^ x ) ⋅^ ( 3 −^ x^ − Δ x ) −^ (^2 +^ x^ + Δ x ) ⋅^ ( 3 −^ x ) ( 2 +^ x^ + Δ x ) ⋅^ ( 2 +^ x ) Δ x
= (^) Δlim x → 0 ( 6 +^ x^ −^ x^2 −^2 ⋅ Δ x^ −^ x^ ⋅ Δ x ) −^ (^6 +^ x^ +^3 ⋅ Δ x^ −^ x^2 −^ x^ ⋅ Δ x ) Δ x ⋅ (^) ( 2 + x + Δ x ) ⋅ (^) ( 2 + x ) = (^) Δlim x → 06 +^ x^ −^ x
(^2) − 2 ⋅ Δ x − x ⋅ Δ x − 6 − x − 3 ⋅ Δ x + x (^2) + x ⋅ Δ x Δ x ⋅ (^) ( 2 + x + Δ x ) ⋅ (^) ( 2 + x ) = (^) Δlim x → 0 −^5 ⋅ Δ x Δ x ⋅ (^) ( 2 + x + Δ x ) ⋅ (^) ( 2 + x ) = (^) Δlim x → 0 −^5 ( 2 +^ x^ + Δ x ) ⋅^ (^2 +^ x )
= −^5
( 2 +^ x )
Portanto, dy dx
= −^5
(^2 +^ x )
Exemplo 5.7 Dada y = 3 −^ x 2 + x , encontre dy dx
⎠⎟^ x 0 = − 1
, ou seja, encontre f '(−1).
Resolução: Do exemplo acima, temos dy dx
= −^5
( 2 +^ x )
2 , logo
dy dx
⎠⎟^ x 0 = − 1
= −^5
( 2 +^ (−1))
Portanto, dy dx
⎠⎟^ x 0 = − 1
ou seja, f '(−1) = − 5.
Módulo 2
Exemplo 5.8 Calcular f ʹ( x ) , onde f ( x ) = x^2 − 3 x.
Resolução: Pela definição 5.2, temos
f ʹ( x ) = (^) Δlim x → 0^ f^ ( x^ + Δ x )^ −^ f^ ( x ) Δ x
Substituindo os valores, obtemos
f ʹ( x ) = (^) Δlim x → 0 ( x^ + Δ x )^
(^2) − 3( x + Δ x ) − ( x (^2) − 3 x ) Δ x = (^) Δlim x → 0^ x
(^2) + 2 Δ x ⋅ x + (Δ x ) 2 − 3 x − 3 Δ x − x (^2) + 3 x Δ x = (^) Δlim x → 02 x Δ x^ +^ (Δ x )^
(^2) − 3 Δ x Δ x = (^) Δlim x → 0 Δ x (2 x^ + Δ x^ −^ 3) Δ x = (^) Δlim x → 0 (2 x + Δ x − 3) = 2 x − 3.
Portanto, se f ( x ) = x^2 − 3 x , então f ʹ( x ) = 2 x − 3.
Observação
(i) Se não existe o limite ou se é igual a ±∞ , dizemos que a função não é derivável no ponto x 0 , isto é, ∃ f ʹ( x 0 ).
(ii) Se existe apenas lim x → x 0 +
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 ou lim x → x 0 −
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0
dizemos que a derivada é lateral, e indicaremos por
a) lim x → x 0 +
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = f +ʹ ( x 0 ) - derivada à direita de x 0_._
b) lim x → x 0 −
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = f −ʹ ( x 0 ) - derivada à esquerda de x 0_._
c) Se f +ʹ ( x 0 ) = f −ʹ ( x 0 ) , dizemos que a função é derivável no ponto x 0 , isto é, f +ʹ ( x 0 ) = f −ʹ ( x 0 ) = f ʹ( x 0 ).
Módulo 2
Interpretação geométrica da derivada
A derivada de uma função num dado ponto, quando existe, tem um significado geométrico importante, que será discutido nesta seção. Seja f ( x ) uma função definida e contínua em[ a , b ]. Seja G o gráfico da função f ( x ). Seja x ∈[ a , b ] e x 0 ∈[ a , b ) , x ≠ x 0. Veja a figura 5.2 abaixo:
y
(^0) x 0 x x
f ( x 0 )
f ( x )
y = f ( x )
} } ∆ x
∆ y
s
t
α
ρ
β α
Figura 5.
A reta s é determinada pelos pontos P ( x 0 , f ( x 0 )) e Q ( x , f ( x )) é uma secante à curva G e o se o coeficiente angular α é
tg α = f^ ( x )^ −^ f^ ( x^0 ) x − x 0
Se f é derivável no ponto x , quando x → x 0 , Q → P e s → t , onde t é tangente geométrica à curva G no ponto P , isto é,
tg β = f ʹ( x ) = f^ ( x )^ −^ f^ ( x^0 ) x − x 0
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Assim...
Podemos dizer que a derivada de uma função f ( x ) quando existe, assume em cada ponto x 0 , um valor que é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f ( x ) , no ponto de abscissa x 0_._
Observação A equação de uma reta não vertical passando em um ponto ( x 0 , y 0 ) , é dada por y − y 0 = a ( x − x 0 ) , onde a é o coeficiente angular da reta. Se f ( x ) é uma função derivável em x = x 0 segue da interpretação geométrica da derivada que a reta tangente ao gráfico de f ( x ) , no ponto (^) ( x 0 , f ( x 0 )) , tem coeficiente an- gular a = f ´( x 0 ). Portanto, a equação da reta tangente é y − f ( x 0 ) = f ´( x 0 )( x − x 0 ).
Exemplo 5.10 Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f ( x ) = x^2 , no ponto (2,4).
Resolução: Vamos determinar o coeficiente angular da reta que é f '(2) , temos
f '(2) = (^) Δlim x → 0
f (^) ( 2 + Δ x ) − f (2) Δ x = (^) Δlim x → 0 ( 2 + Δ x )^2 −^2 Δ x = (^) Δlim x → 0 ( 2 2 +^4 Δ x^ +^ (Δ x )^2 ) −^4 Δ x = (^) Δlim x → 04 Δ x^ +^ (Δ x )^
2 Δ x = (^) Δlim x → 0
Δ x (^) ( 4 + Δ x ) Δ x = (^) Δlim x → 0 ( 4 + Δ x ) = 4
Assim,
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qualquer função. A seguir, apresentaremos alguns exemplos de cálculo de derivada, usando a definição de derivada da função. Posteriormente, estes exemplos vão ser utilizados como regras de derivação.
Derivada da função constante
Se f ( x ) = k , onde k é uma constante, então f ʹ( x ) = 0. De fato, f ʹ( x ) = (^) Δlim x → 0^ f^ ( x^ + Δ x )^ −^ f^ ( x ) Δ x = (^) Δlim x → 0^ k^ −^ k Δ x
Logo, se f ( x ) = k , então f ʹ( x ) = 0. Por exemplo, se f ( x ) = 4 , então f ʹ( x ) = 0.
Derivada da função afim
Se f ( x ) = ax + b , onde a e b são constantes e a ≠ 0 , então f ʹ( x ) = a. De fato, f ʹ( x ) = (^) Δlim x → 0^ f^ ( x^ + Δ x )^ −^ f^ ( x ) Δ x = (^) Δlim x → 0^ a ( x^ + Δ x )^ +^ b^ −^ ( ax^ +^ b ) Δ x = (^) Δlim x → 0^ ax^ +^ a Δ x^ +^ b^ −^ ax^ −^ b Δ x = a.
Logo, se f ( x ) = ax + b , então f ʹ( x ) = a.
Por exemplo: (i) Se f ( x ) = 5 x + 4 , então f ʹ( x ) = 5 ; (ii) Se f ( x ) = 2 − 6 x , então f ʹ( x ) = − 6.
- Derivada da função potência
Se f ( x ) = x n^ , onde n ∈• , então f ʹ( x ) = nx n^ −^1.
Por exemplo:
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(i) Se f ( x ) = x^4 , então f ʹ( x ) = 4 x^3 ; (ii) Se f ( x ) = x^2 , então f ʹ( x ) = 2 x.
Observação Podemos estender a potência n ∈• , para qualquer n que seja inteiro ou racional. Por exemplo, se f ( x ) = x
3 (^4) , então f '( x ) = 3 4 x
3 4 −^1 = 3 4 x − (^14) , aqui n = 3 4
Derivada da função soma
Sejam g ( x ) e h ( x ) duas funções deriváveis no ponto x , então f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) também é derivável no ponto x e f ʹ( x ) = g ʹ( x ) + h ʹ ( x ). Logo, se f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) , então f ʹ( x ) = g ʹ( x ) + h ʹ ( x ).
Observação Podemos estender a propriedade dada acima para a soma de n funções, isto é, se
f ( x ) = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + K + f (^) n ( x ) , então, f ʹ( x ) = f 1 ʹ( x ) + f 2 ʹ( x ) + K + f (^) n ʹ( x ).
Por exemplo, se f ( x ) = x^4 + 3 x^2 + x , então f ʹ( x ) = 4 x^3 + 6 x + 1_._
Derivada da função produto
Sejam u ( x ) e v ( x ) duas funções deriváveis em x , então f ( x ) = u ( x ) ⋅ v ( x ) também é derivável em x (^) , e f ʹ( x ) = u ( x ) ⋅ v ʹ( x ) + u ʹ ( x ) ⋅ v ( x ). Logo, se f ( x ) = u ( x ) ⋅ v ( x ) , então f ʹ( x ) = u ( x ) ⋅ v ʹ( x ) + v ( x ) ⋅ u ʹ ( x ). Para simplificar a notação, às vezes escrevemos simplesmente, f ʹ= u ⋅ v ʹ+ v ⋅ u ʹ.
