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UNIP – Tatuapé – Matemática Financeira - :. Apostila 1 :. Conceitos básicos: Capital, Juro, Taxa, Prazo, Montante :. Capitalização Simples :::. Juros simples utilizando o prazo exato e o prazo comercial :::. Desconto Simples Conceitos Básicos Capital Em Matemática Financeira, entende-se por capital qualquer valor expresso em dinheiro e disponível em uma determinada data. O capital que dá início a uma dada operação financeira é chamado de capital inicial ou principal. Ora indica-se o capital inicial por C (Capital), ora P (Principal), ora PV ( present value ). Juro É a remuneração que o tomador de um empréstimo deve pagar ao dono do capital como compensação pelo uso do dinheiro. Indicaremos o juro por J. Quem empresta dinheiro a alguém espera recebê-lo, depois de um certo tempo, acrescido de uma quantia adicional cobrada a título de aluguel do dinheiro. quantia emprestada = quantia emprestada + adicional A quantia adicional cobrada a título de aluguel do dinheiro emprestado é o que chamamos de juro. Prazo É o tempo que decorre desde o início até o final de uma dada operação financeira. O prazo é contado em períodos de tempo, sendo o menor deles o dia (dia, mês, bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre, ano, etc.). Ora indica-se o prazo por t (tempo), ora por n. Na prática, o prazo pode ser contado a partir de duas convenções: Prazo exato : é aquele que leva em conta o chamado ano civil, no qual os dias são contados pelo calendário, isto é, o mês pode ter 28 dias (fevereiro), 29 dias (fevereiro em anos bissextos), 30 dias (abril, junho, setembro, novembro) ou 31 dias (janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro ou dezembro); e o ano pode ter 365 dias ou 366 dias (anos bissextos).
o Observação : a fim de agilizar e facilitar a contagem do número de dias entre duas datas do ano civil, apresentaremos na última página uma tabela com esse fim. Prazo Comercial (ou aproximado) : é o que leva em conta o chamado ano comercial, isto é, aquele em que o mês (qualquer que seja ele) é considerado como tendo 30 dias e o ano (qualquer que seja ele), 360 dias. Taxa de juro É a razão entre o juro obtido no fim do primeiro período financeiro e o capital inicial. A Taxa de juro refere-se sempre a um dado período financeiro: ao dia (ad), ao mês (am), ao bimestre (ab), ao semestre (as), ao ano (aa), etc. Indicaremos a taxa de juro por i. A taxa de juro ( i ) costuma apresentar-se, principalmente, de duas maneiras. Forma percentual : representa o juro de 100 unidades do capital, no período tomado como unidade de tempo. Exemplo: 30%am = 30 por cento ao mês. Forma unitária (ou centesimal) : representa o juro de 1 unidade do capital, no período tomado como unidade de tempo. Exemplo: i = 0,3 am. Montante Montante ou valor acumulado, relativo à aplicação de um capital C , é definido como o capital C acrescido de seu respectivo juro J. Ora indica-se o montante por M (montante), ora por FV ( Future Value ). Exercícios:
- Qual o prazo de uma aplicação financeira iniciada em 7 de junho de 2012 e com vencimento em 14 de novembro de 2012?
- Um empréstimo foi feito em 3 de fevereiro de 1990, com prazo de pagamento para 30 dias. Tendo em vista o critério do prazo exato, qual é a data de vencimento dessa operação?
- Reduzir pelo critério do prazo comercial, 3 anos, 4 meses e 12 dias a: um período anual, um período mensal e um período diário.
- A quantos anos, meses e dias correspondem, pelo critério do prazo comercial, 1.926 dias?
Cálculo do Montante a Juros Simples Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Capital + Juros M = C + J Montante = Capital + (Capital x Taxa de juros x Número de períodos) M = C [1 + (i. n)] Dados: F. Algébrica HP 12c TECLAS C = 1.000 M = C. [1 + i. n )] 1.000 ENTER i = 10% M = 1.000. [ 1 + 0,10. 3)] 0,10 ENTER n = 3 meses M = 1.000. [ 1 + 0,3] 3 M =? M = 1.000. 1,3 1 M = 1. M = 1. Cálculo 2 – Montante a Juros Simples Cálculo do Capital a Juros Simples 1ª) SOLUÇÃO: Fórmula do Capital C =
J
i. n Dados: F. Algébrica HP 12c TECLAS J = 300 C =
J 300 ENTER
i = 10% a.m. i. n 0,10 ENTER N = 3 meses C =
C =? 0,10. 3 0,30 Visor C =
300 C = 1.
C = 1.
Cálculo 3 – Capital a Juros Simples
2ª Solução: Fórmula do Período J = C. i. n Dados: F. Algébrica HP 12c TECLAS M = 1.300 J = C. i. n 300 ENTER C = 1.000 300 = 1.000. 0,10. n 1. J = 300 300 = 0,10. n 0,3 Mémoria i = 10% a.m. 1.000 0, n =? 0,3 = 0,10. n n = 3 meses n =
n = 3 meses Cálculo 6 – Período Simples – Fórmula dos Juros Cálculo da Taxa a Juros Simples 1ª) Solução: Fórmula da Taxa i =
J
C. n Dados: F. Algébrica HP 12c TECLAS C = 1. i =
J 300 ENTER
N = 3 meses C. n 1.000 ENTER J = 300 i =
i =? 1.000. 3 3.000 (Visor) i =
3.000 I = 10% ao mês i = 0,
- Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 6 = 0. É dividido por 6 porque um trimestre tem 6 quinzenas, logo 4m15d = 0.02167. 0.02167 X 9 = 0. É multiplicado por 9 porque 4 meses e 15 dias totalizam 9 quinzenas. J = 1.200,00 x 0.195 = 234,
- Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: J = C.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40.000,00 x 0,001.125 = 5.000,
- Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = C.i.n ou seja: 3500 = C.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012. 2,5 = C. 0,030; Daí, vem: C = 3500 / 0,030 = R$116.666,
- Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.C Dobrar o capital Dados: i = 150/100 = 1, Fórmula: M = C [1 + (i.n)] Desenvolvimento: 2C = C [1 + 1,5 n] 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses (2/3). 12
