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Histogramas e Medidas estatísticas - Prof. Robson
Orientações para estudar com exemplos e exercícios.
Estude o capítulo 2 da referência bibliográfica:
LARSON, R. e FARBER, B., Estatística Aplicada, 4a edição, Ed. Pearson, São Paulo, 2010.
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1. ESTATÍSTICA – UMA CIÊNCIA PARA ESTUDAR POPULAÇÃO e AMOSTRA
Segundo Paul Velleman,
“Estatística é a Ciência que permite obter conclusões a partir de dados.”
(Ph.D. Princeton University 1976 Estados Unidos - Dissertação: Suavizadores robustos de dados não lineares
- teoria, definições e aplicações.)
BIG DATA é um imenso volume
de dados – estruturados e não
estruturados – que impactam os
negócios, a sociedade, o
ecossistema e a sua vida. Mais
importante do que a quantidade
de dados e os algoritmos criados
para analisá-los, é o que as
empresas pretendem fazer com
toda a informação gerada.
Paul Velleman - USA
Histogramas e Medidas estatísticas - Prof. Robson
1.1 – Medidas de tendência central
a) Média Aritmética (𝑥̅ ).
𝑖
𝑛
𝑖= 1
1
2
3
𝑛
A média aritmética é uma medida de tendência central, pois 𝒙̅ é um valor compreendido entre o menor e
maior valor de uma distribuição de valores numéricos.
b) Mediana (Me)
Define-se ROL como uma sequência de valores numéricos em ordem crescente ou decrescente.
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d) Média aritmética ponderada (𝑋
𝑝
Sejam os valores n valores x 1
, x 2
, x 3
... e x n
, considerando os pesos p 1
, p 2
, p 3
... e p n
, respectivamente. Define-se a
média aritmética ponderada por
𝒑
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝒏
𝒏
𝟏
𝟐
𝟑
𝒏
Exemplo: Distribuição de Frequências
Histogramas e Medidas estatísticas - Prof. Robson
1.2 Medidas de dispersão
a) Amplitude (A)
A = Maior valor – Menor valor.
b) Desvio (d)
d
i
= x
i
EXEMPLO:
Sejam as medidas de tempo, em minutos, do atendimento ao cliente em duas filas numa agência
bancária.
x (min) x 1
x 2
x 3
x 4
Fila A 2 7 6 1
Fila B 3 5 4 4
Com base nas informações, DETERMINE :
a) A média de atendimento de cada fila.
b) A moda de cada fila.
c) A mediana de cada fila.
d) A amplitude de cada fila.
e) Qual fila apresenta maior dispersão? Justifique.
f) O desvio de cada tempo medido por fila.
g) A média dos desvios de cada fila
Resolução
a) 𝑥̅
𝐴
2 + 7 + 6 + 1
4
16
4
= 4 min. e 𝑥̅
𝐵
3 + 5 + 4 + 4
4
16
4
= 4 min.
b) Mo A
= não se define e Mo B
= 4 min.
c) Rol (A)
= {1, 2, 6, 7} => Me (A)
2 + 6
2
= 4 min. e Rol (B)
= {3, 4, 4, 5} => Me (A)
4 + 4
2
= 4 min.
d) A (A)
= 7 – 1 = 6 min. e A (B)
= 5 – 3 = 2 min.
e) A fila que apresenta maior dispersão é a fila A, pois a amplitude da fila A é maior do que a amplitude da
Fila B.
NOTA: Valores mais dispersos apresentam maiores diferenças entre um e outro.
Valores menos dispersos apresentam menores diferenças entre um e outro. Os valores estão mais
concentrados , apresentando-se maior regularidade.
f)
g) A média dos desvios => d (A)
= 0/4 = 0 min. e d (B)
= 0/4 = 0 min.
NOTA: A média dos desvios sempre resultará no valor nulo.
Histogramas e Medidas estatísticas - Prof. Robson
e) Desvio padrão da população ( )
EXEMPLO:
Sejam as medidas de tempo, em minutos, do atendimento ao cliente em duas filas numa agência
bancária. Considere os valores da tabela como uma população.
x (min) x 1
x 2
x 3
x 4
Fila A 2 7 6 1
Fila B 3 5 4 4
Com base nas informações, DETERMINE :
a) A variância de cada fila.
b) O desvio padrão de cada fila.
Resolução
a) Sabe-se que 𝑥̅
𝐴
2 + 7 + 6 + 1
4
16
4
= 4 min. e 𝑥̅
𝐵
3 + 5 + 4 + 4
4
16
4
= 4 min.
Var
(A)
=
(x
1
− x̅)² + (x
2
− x̅)² + (x
3
− x̅)² + (x
4
− x̅)²
4
=
( 2 − 4 )
2
2
2
4
Var
(A)
=
(− 2 )
2
2
2
4
=
4 + 9 + 4 + 9
4
=
26
4
=
13
2
= 6 , 5 𝑚𝑖𝑛²
Var
(B)
=
(x
1
− x̅)² + (x
2
− x̅)² + (x
3
− x̅)² + (x
4
− x̅ )²
4
=
( 3 − 4 )
2
2
2
4
Var
(B)
=
( − 1
)
2
( 1
)
2
( 0
)
2
4
=
2
4
=
1
2
= 0 , 5 𝑚𝑖𝑛²
NOTA: A Fila A apresenta maior dispersão do que a Fila B, pois o Var (A)
Var (B)
b) 𝜎
𝐴
𝐴
6 , 5 𝑚𝑖𝑛² = 2 , 55 𝑚𝑖𝑛 e 𝜎
𝐵
𝐵
NOTA: A Fila A apresenta maior dispersão do que a Fila B, pois o 𝜎
𝐴
𝐵
Logo, a Fila B apresenta maior regularidade no processo de atendimento.
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2. DADOS BRUTOS E DADOS AGRUPADOS (Distribuição de frequências)
Exemplo 1:
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3. GRÁFICOS DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
3.1 – Histogramas
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Em estatística, os dados para análise nem sempre estão organizados de forma clara. Veja uma situação
prática.
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Exemplo 4:
Exemplo 5:
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3. 2 – Ogiva de Galton (gráfico da frequência acumulada)
Exemplo 6:
