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Livro de cálculo para iniciantes
Tipologia: Trabalhos
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Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná/Campus Curitiba Departamento Acadêmico de Matemática (DAMAT)
Caro(a) estudante,
Esta apostila tem o objetivo de auxiliá-lo(a) na revisão de conteúdos básicos para o estudo do Cálculo Diferencial e Integral.
No entanto, este material não dispensa o estudo em livros, uma vez que não tem a riqueza de informações de um bom livro.
Caso você encontre erros de quaisquer tipos ou tenha alguma sugestão a fazer, favor comunicar-me. Assim eu poderei aperfeiçoar o material e colocá-lo a disposição de outros estudantes.
Pode ser usado o conteúdo desta apostila por qualquer pessoa. No entanto, pede-se que seja citada a fonte.
Grata por sua colaboração e bom estudo.
Profª Silvana Heidemann Rocha
1.1) Noção de conjunto: Em Matemática, existem várias teorias de conjuntos e em geral não se define conjunto. Mas, intuitivamente, conjunto é o mesmo que agrupamento, classe ou coleção de elementos. Geralmente, os conjuntos são nomeados por letras maiúsculas e os elementos por minúsculas, entre chaves. Ex.: A = { r, s, t}.
As representações mais comuns de um conjunto é através de uma propriedade de seus elementos, da enumeração desses elementos ou de diagramas. Um conjunto fica caracterizado pelos seus elementos e não pela sua representação ou ordem dos elementos. Ex 1 .: M = { x / x é o número de erros na página de um livro} (por uma propriedade) M = {0, 1, 2, ..., n} (pela enumeração dos elementos) M
(por diagrama)
Ex 2 : S = {0, 3, 10} = {0, 10, 3} = {3, 0, 10} = {3, 10, 0} = {10, 0, 3} = {10, 3, 0} Ex 3 : T = { 1, 3, 3, 5, 5, 5} = {1, 3, 5}
Em geral, usa-se os símbolos ∈ e ∉ para relacionar elementos com conjuntos, ainda que os elementos possam ser também conjuntos.
Ex.: Dado o conjunto P = { 1, 2, {1, 2}, {{5}} }, tem-se: 1 ∈ P; 2 ∈ P; {1, 2} ∈ P; {{5}} ∈ P; 5 ∉ P; {1} ∉ P; {5} ∉ P.
1.2) Conjuntos importantes:
Conjunto unitário: é aquele que possui um único elemento. Ex 1 : {{5}} (Lê-se: O conjunto unitário formado pelo unitário 5). Ex 2 : { {6, 7} } (Lê-se: O conjunto unitário formado pelo par não ordenado 6 e 7).
0 (^1 )
n
Conjunto universo ( U ): é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos do assunto tratado.
Ex 1 : A equação (x - 3).(x + 2).(x - (^) 31 ) .(x + 2 ).( x^2 + 1 )= 0 , tem os seguintes conjuntos soluções: S={3} se U= N (conjunto dos números naturais). S={-2, 3} se U = Z (conjunto dos números inteiros). S={-2, 31 , 3} se U =Q (conjunto dos números racionais).
S = {-2, 31 , 3, - 2 } se U = R (conjunto dos números reais).
S = {-2, 31 , 3, - 2 , j, -j} se U = C (conjunto dos números complexos), com j = − 1. Ex 2 : Num problema de geometria plana, o conjunto universo é um plano α.
Conjuntos iguais: Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A. Em símbolos, tem-se: A=B ⇔ ∀ x , x ∈ A ⇔ x ∈ B
Ex.: {0, 3, 10} = {0, 10, 3} = {3, 0, 10} = {3, 10, 0} = {10, 0, 3} = {10, 3, 0}
Observação: ∀ = para todo, qualquer que seja. Quando se faz ∀ x quer-se dizer: “Para todo x do universo em questão”.
Subconjunto (⊂) : Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se e somente se todo elemento de A
pertence também a B. Em símbolos, tem-se: A ⊂ B ⇔∀ x , x ∈ A ⇒ x ∈ B. Com a notação A ⊂ B indicamos que A é subconjunto de B ou que A está contido em B ou que A é parte de B. O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão. Quando A ⊂ B também podemos escrever B ⊃ A que se lê “ B contém A”. Ex.: Dado o conjunto P = { 1, 2, {1, 3}, {{5}} }, tem-se: {1} ⊂ P, pois 1 ∈ P; {1, 2} ⊂ P, pois 1∈ P e 2 ∈ P; {1, 3} ⊄ P, pois 3∉ P;
{ {{5}} } ⊂ P, pois {{5}} ∈^ P; {5} ⊄ P , pois 5 ∉ P; P ⊂ P.
Observação: Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, tem-se: a) ( A ⊂ B e B ⊂ A ) ⇒ A = B (propriedade anti-simétrica da inclusão ) b) ( A ⊂ B e B ⊂ C ) ⇒ A ⊂ C (propriedade transitiva da inclusão)
Produto cartesiano: Dados A e B dois conjuntos não vazios. Define-se o produto cartesiano de A por B como o conjunto A X B (lê-se: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B ) cujos elementos são todos pares ordenados ( x, y ), onde o primeiro elemento x pertence a A e o segundo elemento y pertence a B. Em símbolos: A X B = {( x, y ) / x ∈ A e y ∈ B }.
Ex.: Dados S = {a, 3, {1, 2}} e T = { 5, {6}}, tem-se: a) S X T = { (a, 5), (a, {6}), (3, 5), (3, {6}), ({1,2}, 5), ( {1,2}, {6} ) } b) T X S = { (5, a), (5, 3), (5, {1,2}), ({6}, a), ({6}, 3), ( {6}, {1,2} ) }
Se A ou B for o conjunto vazio, define-se o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio.
Observações:
1.4) Propriedades das operações com conjuntos:
Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários e U o conjunto universo, tem-se: i) A ∪ A = A
iii) A ∪ U = U iv) A ∩ A = A
vi) A ∩ U = A vii) A ∪ B = B ∪ A (comutativa em relação à união) viii) ( A ∪ B )∪ C = A ∪( B ∪ C )= A ∪ B ∪ C (associativa em relação à união)
ix) A ∩ B = B ∩ A (comutativa em relação à interseção) x) A ∩ ( B ∩ C )=( A ∩ B )∩ C = A ∩ B ∩ C (associativa em relação à interseção)
(^1) Conjunto finito é um conjunto que tem n elementos, sendo n um número natural. Um conjunto X é dito infinito se admitir subconjunto Y , com X ≠ Y , tal que X e Y possam ser colocados em correspondência biunívoca, isto é, f : X → Y é uma bijeção. Um conjunto infinito pode ser enumerável ou não. Um conjunto é dito contável ou enumerável se puder ser colocado em correspondência biunívoca com o conjunto dos números naturais, caso contrário, o conjunto é não contável ou não enumerável. O conjunto dos naturais N é infinito, pois por exemplo considere o subconjunto {0,2,4,6,...} de N. (Cf. SANT’ANNA, Adonai S. O que é um conjunto. Barueri: Manole ( no prelo ) ).
xi) A ∪ ( B ∩ C )=( A ∪ B )∩( A ∪ C ) (distributiva da união em relação à interseção)
xii) A ∩ ( B ∪ C )=( A ∩ B )∪( A ∩ C ) (distributiva da intersecção em relação à união)
xiii) A ∩ ( B − C )=( A ∩ B )−( A ∩ C ) (distributiva da interseção em relação à diferença)
xvi) ( A C^ ) C = A
xvii) A − B = A ∩ BC xviii) A − B = BC^ − AC
xix) ( A ∪ B ) C^ = AC ∩ BC (Primeira Lei de Morgan)
Generalização: C C nC
n i iC
n C i i
A A An C A = A = A ∩ A ∩ ∩ A
= =
1 2 U 1 I 1
xx) ( A ∩ B ) C^ = AC ∪ BC (Segunda Lei de Morgan)
Generalização: C C nC
n i iC
n C i i
A A An C A = A = A ∪ A ∪ ∪ A
= =
1 2 I 1 U 1
xxi) A ∪ B =( AC^ ∩ BC ) C
xxii) A ∪ B = A ∪( B −( A ∩ B )= A ∪( AC^ ∩ B )
xxiii) A ∩ B =( AC^ ∪ BC ) C
xxiv) A= A ∪( A ∩ B )
xxv) A= A ∩( A ∪ B )
xxvi) A =( A ∩ B )∪( A − B )
xxvii) A= ( A ∩ B )∪( A ∩ BC )
xxviii) A ⊂ B ⇒ A C^ ⊃ BC ∨ B C^ ⊂ AC Obs.: ∨ = ou xxix) A ⊂ B e C ⊂ D ⇒ ( A X C )⊂( B X D ), onde X = produto cartesiano.
xxx) A X ( B ∪ C )=( A X B )∪( A X C ) (distributiva do produto cartesiano em relação à união)
xxi) A X ( B ∩ C )=( A X B )∩( A X C ) (distributiva do produto cartesiano em relação à interseção)
xxxii) ( A ⊂ B )∧( B ⊂ C )⇒ A ⊂ C. Obs.: ∧ = e
Observações:
Ex:
Em resumo, uma partição de um conjunto U é uma coleção de subconjuntos não-vazios e disjuntos de U , cujas uniões são iguais a U.
1.6) Conjuntos numéricos:
1.6.1) Conjunto dos números naturais ( N ):^2
N = {0, 1, 2, 3, ... } ou..... ... 0 1 2 3 4 No conjunto dos naturais são definidas duas operações fundamentais: a adição e a multiplicação.
Propriedades: Sendo a, b e c ∈ N , tem-se: (a + b) + c = a + (b + c) (associativa da adição) a + b = b + a (comutativa da adição) a + 0 = a (elemento neutro da adição) (ab)c = a(bc) (associativa da multiplicação) ab = ba (comutativa da multiplicação) a.1 = a (elemento neutro da multiplicação) a(b + c) = ab + ac (distributiva da multiplicação em relação à adição)
Observação: Sendo a e b números naturais, o símbolo a - b não tem significado em N , pois o simétrico de b não existe em N (em símbolos, -b ∉ N ). Dessa forma, a subtração não é uma operação em N e os demais conjuntos numéricos ( Z, Q, R-Q , R e C ) constituem ampliações de N , a fim de solucionarem os problemas que motivaram essa ampliação.
(^2) Historicamente, aceita-se que o número zero foi inventado aproximadamente 800 depois de Cristo, para representar a linha vazia do ábaco. Mas há evidências de que outros povos além dos hindus tinham um símbolo para representar o nada. ( Cf. BOYER, Carl B. História da matemática. 2 ed. São Paulo: Blücher, 1996). Aqui será assumido que o zero pertence ao conjunto dos naturais, embora exista controvérsia a respeito. A criação dos números naturais foi motivada pela necessidade de contagem e o ser humano efetua processos de contagem desde a idade antiga. Sobre a origem dos números negativos, racionais, irracionais, reais e complexos, ver BOYER, 1996 ou GARBI, Gilberto. O romance das equações algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997.
An
An-
1.6.2) Conjunto dos números inteiros ( Z ):
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } ou ........ ... -2 -1 0 1 2
Subconjuntos de Z : Z+ = {0, 1, 2, 3, ... } = N (conjunto dos inteiros não negativos) Z- = {..., -3, -2, -1, 0} (conjunto dos inteiros não positivos) Z* = Z - {0}= {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } (conjunto dos inteiros não nulos) Z (^) +^ * ={1, 2, 3, ... } (conjunto dos inteiros positivos) Z (^) −^ * ={..., -3, -2, -1} (conjunto dos inteiros negativos)
Propriedades: Sendo a, b e c ∈ Z , tem-se: (a + b) + c = a + (b + c) (associativa da adição) a + b = b + a (comutativa da adição) a + 0 = a (elemento neutro da adição) a + (-a) = 0 (simétrico ou oposto aditivo) (ab)c = a(bc) (associativa da multiplicação) ab = ba (comutativa da multiplicação) a.1 = a (elemento neutro da multiplicação) a(b + c) = ab + ac (distributiva da multiplicação em relação à adição)
Devido a existência ( ∃ = existe ) em Z de elemento simétrico para a adição ( ∀ a ∈ Z , ∃ - a ∈ Z tal que a + ( − a )= 0 ) é possível definir em Z a operação de subtração, estabelecendo que ∀ a ∈ Z , ∀ b ∈ Z , tem-se a − b = a +( − b ).
No entanto, o inverso de um número inteiro q , com q ≠ 1 e q ≠ –1, não existe em Z, isto é, (^) q^1^ ∉ Z se
q ∈ Z −{− 1 , 1 }. Por isso não se define em Z a operação de divisão. O símbolo (^) qp^ não tem significado em Z. O
conjunto dos racionais supera esta dificuldade.
Todavia, os números decimais com uma quantidade infinita de algarismos não periódicos (dízimas não periódicas) não podem ser obtidos através da divisão de dois números inteiros. Por isso, as dízimas não periódicas não são consideradas números racionais.
Se (^) b^ a^ ∈ Q e n é um número natural tal que n ≥ 2 , nem sempre n ba^ é racional. Assim, a operação de
radiciação não pode ser definida em Q. O conjunto dos reais supera este impedimento.
1.6.4) Conjunto dos números irracionais ( R - Q ):
Os números irracionais são dízimas não periódicas como, por exemplo, 2 =1,4142136...;
irracionais.
1.6.5) Conjunto dos números reais (R ): O conjunto dos números reais é formado por todos os números decimais, sejam eles decimais exatos, dízimas periódicas ou dízimas não periódicas, isto é, os números reais são formados pelos racionais e pelos irracionais.
Assim, R = Q ∪ (R - Q ) e geometricamente a reta dos números reais é a única reta contínua dos conjuntos até aqui estudados. Os conjuntos N, Z, Q e ( R – Q) são representados geometricamente por um conjunto de pontos espaçados entre si. Você sabe dizer por quê?
A reta dos reais é representada pela figura e estão localizados sobre essa reta todos os números racionais e irracionais.
Propriedades: Sendo a, b e c ∈ R , tem-se: ( a + b )+ c = a +( b + c ) (associativa da adição) a + b = b + a (comutativa da adição) a + 0 = a (elemento neutro da adição) a + ( − a )= 0 (simétrico ou oposto aditivo) ( a. b ). c = a ( b. c ) (associativa da multiplicação) a. b = b. a (comutativa da multiplicação) a. 1 = a (elemento neutro da multiplicação) a ( b + c )= ab + ac (distributiva da multiplicação em relação à adição) a. (^1) a = 1 , com a ≠ 0 (simétrico ou inverso para a multiplicação)
R
Como os conjuntos Q e ( R – Q) são subconjuntos de R , então a radiciação pode ser definida em R +,
isto é, n^ a ∈ R para todo a ∈ R +. Desde que o índice da raiz ( n ) seja ímpar, os radicais da forma n^ − a , com
a ∈ R +, também representam números reais.
No entanto, n^ − a ∉ R se a ∈ R * +. Por exemplo, − 1 ∉ R , pois − 1 = x ⇒− 1 = x^2 e tal situação é
impossível se x ∈ R .O conjunto dos números complexos dá conta desse impedimento.
1.6.6) Conjunto dos números complexos ( C ): Pode-se definir o conjunto dos números complexos como o conjunto dos pares ordenados ( x, y ) de números reais para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a multiplicação conforme abaixo.
Tomando dois elementos (a,b) e (c,d) ∈ R^2 , com R^2 = R X R , tem-se: (i) igualdade: ( a, b ) = ( c, d ) ⇔ a = c e b = d (ii) adição: ( a, b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ) (iii) multiplicação: ( a, b ).( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc )
Todo número complexo z = (a,b) pode ser escrito sob a forma algébrica z = a + bi, onde a unidade
imaginária i é definida como i = − 1 , obtendo-se i^2 =− 1.
É isso que justifica a definição da multiplicação em C como ( a, b ).( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc ), uma vez que essa igualdade equivale a
( a + bi ).( c + di )= ac + adi + bci + bdi^2 = ac − bd +( ad + bc ) i =( ac − bd , ad + bc )
Nos livros de engenharia, é usual denotar-se a unidade imaginária por j , obtendo-se por exemplo z = a + bj.
Observações :
números complexos são representados num plano denominado plano de Argand-Gauss.
Os intervalos (- ∞ , b], (- ∞ ,b), [ a , + ∞ ) , ( a , + ∞ ) e (- ∞ , + ∞ ) são denominados intervalos ilimitados. Os intervalos (- ∞ , b] e (- ∞ ,b), por exemplo, podem ser denominados também intervalos limitados superiormente. Analogamente, os intervalos [ a , + ∞ ) e ( a , + ∞ ) são intervalos limitados inferiormente.
a) A ∩ B ∩ C b) A ∪( B ∩ C ) c) A − ( B ∩ C ) d) ( B ∪ C )− A e) ( A ∪ B )−( A ∩ C ) f) A −( B ∪ C ) g) A − BC. h) ( A ∪ B ) C i) AC^ −( A ∪ B )
Desenhe um diagrama de Venn representando quatro conjuntos A, B, C e D não vazios de modo que se tenha A ⊄ B , B ⊄ A , C ⊃ ( A ∪ B ) e D ⊂ ( A ∩ B ).
Expresse através de um diagrama de Venn o seguinte teorema: “Se A ⊂ B , então A C^ ⊃ BC ou B C^ ⊂ AC ,
onde AC e B C são os conjuntos complementares de A e de B em relação a U , respectivamente”.
a) Se a > b e b > c , então a > c b) Se a > b e c > 0 , então ac < bc. c) Se a > b e c < 0 , então ac > bc d) Se a> b , então a + c > b +c para todo c real e) Se a > b e c > d , então a + c > b + d f) Se a > b> 0 e c > d > 0 , então ac < bd g) x < a ⇔− a < x < a ,onde a > 0 h) x > a ⇔− a < x < a ,onde a > 0
i) Se a, b ∈ R , então | a. b | = | a |. | b |. j) Se a, b ∈ R e b ≠ 0, então (^) ba^ = (^) ba.
l) Se a, b ∈ R ,então a + b ≥ | a | + | b |. m) Se a, b ∈ R ,então a − b ≤ | a | + | b |.
n) Se a, b ∈ R ,então | a | − | b | ≥ a − b
o) Se a, b ∈ R ,então a − b ≤| a |−| b | ≤ a − b ≤ | a | + | b |.
p) Se | a | = | b | então a = b. q) a^2 = a , para todo a ∈ R.
r) | a |^2 = a^2 , com a ∈ R
A B
U
C
b) x > a ⇔ x>a ou x < -a , onde a > 0.
a) (^5) x^ < 43 b) 2 x − 5 < 31 +^34 x +^1 − 3 x c) x^2 ≤ 8
d) ( x − 3 ) 4 > 0 e) (3x – 7,5)^5 < 0 f) (4 – 5x)^6 ≤ 0
j) x^3 + 1 > x^2 + x l) x^3 – x^2 – x – 2 > 0 m) x^3 – 3x + 2 ≤ 0
n) 8x^3 – 4x^2 < 2x –1 o) (^) x^1 + 1 ≥ x^3 − 2 p) (^) x −^2 2 ≤ x^ x −^ + 22 ≤^1
q) (^) x
x x
x −^ < +
r)
x x x x
x
x
2 s)^
( ) (^0) ( 3 7 2 ).( 3 )
2 3
4 2 xx −+ x −+ x + x − x − ≥
g) | 4 – 3x | = 3 x – 4 h) | x +3 | + | x | = 7 i) (^) xx −+ 22 = 5
e ) 1 < | x + 2 | < 4 f ) (^2) x^5 − 1 ≥ x^1 − 2 g ) 3 | x - 1 | + | x | < 1 h ) (^) x + 1.^1 x − 3 ≥^15
i) (^) xx^ +− 11 //^22 < 1 j) x^2 − 6 x + 5 + 1 < x l) x^2 − 4 < 3 x m) 2 x − 6 − x ≤ 4 − x
n) x − 2 + x − 4 ≥ 6
Distância entre dois pontos no sistema linear: A distância d entre dois pontos dados P 1 (^) ( x 1 ) e P 2 (^) ( x 2 ) é definida como o valor absoluto do
comprimento do segmento retilíneo determinado por estes dois pontos. Assim:
d = P 1 P 2 = x 2 − x 1
Ponto de acumulação e vizinhança na reta real: Um número a ∈ R chama-se ponto de acumulação do conjunto X ⊂ R quando todo intervalo aberto
Se a é ponto de acumulação à direita do conjunto X , então todo intervalo [ a, a + ε ), com ε >0, contém algum ponto de X diferente de a. Analogamente, se a é ponto de acumulação à esquerda do conjunto X , então todo intervalo ( a - ε , a ], com ε >0, contém algum ponto de X diferente de a.
A condição “ a é ponto de acumulação de X” exprime-se simbolicamente por:
Geometricamente, tem-se:
2.2) Sistema bidimensional de coordenadas: Conceito: É um sistema no qual um ponto pode se mover livremente para todas as posições num plano.
Para localizar um ponto num plano é necessário um sistemas de coordenadas que pode ser, por exemplo, o sistema cartesiano de coordenadas retangulares, o sistema cartesiano oblíquo ou o sistema de coordenadas polares. Em geral, em Cálculo Diferencial e Integral I é dado enfoque ao estudo do sistema de coordenadas cartesianas retangulares ou sistema cartesiano ortogonal. O sistema de coordenadas polares, o sistema cartesiano oblíquo, bem como os sistemas tridimensionais de coordenadas ficam a cargo de outras disciplinas.
2.2.1) Sistema de coordenadas cartesianas retangulares ou plano cartesiano: Este sistema é formado por duas retas orientadas denominadas eixos coordenados , perpendiculares entre si. O ponto O de intersecção entre os eixos coordenados é denominado origem do sistema. Vide figura 1.
O eixo Ox ou mais comumente eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo Oy ou eixo y é o eixo
das ordenadas. A orientação positiva do eixo x é para a direita. A orientação positiva do eixo y é para cima. Os eixos coordenados x e y dividem o plano em quatro quadrantes, numerados conforme a figura 1.
a − ε a a + ε ( ) R
X
Sobre o eixo das abscissas e à direita de O , marca-se o ponto A , correspondente a unidade de comprimento do eixo x. Analogamente, sobre o eixo das ordenadas e acima de O , marca-se o ponto B ,
correspondente a unidade de comprimento do eixo y. Os segmentos OA e OB , que representam as escalas utilizadas respectivamente no eixo x e no eixo y , não necessitam ter exatamente a mesma medida, uma vez que x e y geralmente representam grandezas distintas como, por exemplo, tempo e velocidade, tempo e deslocamento, lado e área, etc. Como em Matemática x e y são grandezas quaisquer, é usual adotar a mesma escala para ambos os eixos coordenados. Essa escala é denominada escala identidade.
Cada ponto P pode ser inequivocadamente localizado no plano cartesiano mediante um par ordenado ( x , y ), onde x é a abscissa de P e y é a sua ordenada. No par ordenado ( x,y ) x e y não podem ser trocados de
lugar, pois há uma relação de ordem no par. Os números reais x e y são denominados coordenadas retangulares de P. O módulo da abscissa x representa a distância que P está do eixo y e o módulo da ordenada y representa a distância que P está do eixo x.
Para cada ponto distinto P no plano cartesiano há um e apenas um par de coordenadas ( x, y ). Inversamente, qualquer par de coordenadas ( x, y ) determina um e apenas um ponto no plano coordenado. Portanto, no sistema de coordenadas retangulares, há uma correspondência biunívoca entre cada ponto geométrico e um par ordenado de números reais.
A localização de um ponto por meio de suas coordenadas é denominada gráfico do ponto. O gráfico de pontos é facilitado pelo uso de papel de coordenadas retangulares (papel quadriculado).
Os pontos do plano cujas ordenadas são zero localizam-se sobre o eixo x e os pontos cujas abscissas são zero localizam-se sobre o eixo y.
O x
y P(x,y)
Px
Py Px =projeçãoortogonaldoponto P sobreoeixo x Py =projeçãoortogonaldoponto P sobreoeixo y
1 A
y
O x
II( -,+ ) I(+,+)
III(-, -) IV (+,_)
B (^) 1
Figura 1
