Baixe Prova com gabarito Cálculo e outras Provas em PDF para Cálculo, somente na Docsity! UTrrpr UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DAMAT - Departamento Acadêmico de Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Inácio Andruski Guimarães, D.Sc. Questão 1: Deseja-se construir um tanque, na forma de um cilindro circular de raio re altura h, com capacidade para 2 m3. O material usado nas laterais custa R$ 40,00 / m?, enquanto o material usado no fundo e na tampa custa R$ 10,00 / m?. Quais as dimensões que minimizam o custo com o material? (Valor 1,5 ponto) A superfície lateral é dada por: S; = 2r1rh. O custo com a lateral é: C, = 80nrh A superfície total do fundo e da tampa é dada por: S, = 2172.0 custo é:C, = 2017? Então a superfície do cilindro é: S = 2xrh + 217? Considerando os custos com os materiais tem-se que: C = 40(21rh) + 10(2mr?) c=80nrh+ 20n72 O volume deve ser igual a 2 m3. Então: 2 2 nrh=2 > h=—5 nr Desta forma: 160 2 , 160 160 3/4 C=——+20m7* o C'=-—+40nmr > —-— +4007=0 5 = |— r r r n 1 =| 5 h= |— nr? 2m Caracterização do ponto crítico: Questão 2: Determine o ponto da curva y = 4 — x? que está mais próximo da origem do sistema de coordenadas. (Valor 1,5 ponto) E / N << A distância de um ponto P(x,y) à origem é dada por: d=/xX+y? Como y=4-x2 5 d=/X2+(4-22)2 >» d=Vx!-7x2+16 x=0 , Aê — 14x > d'=-D[]D[[DD—— > x(2xº-D)-=0 5 2vx* — 7x2 + 16 y=4-2 5 y=5 Resposta: O ponto mais próximo é P (Es) Questão 6: Uma página retangular deve conter 24 cm? de área impressa. As margens no topo e na parte inferior da página medem 1,5 cm. As margens laterais medem 1 cm cada. Quais devem ser as dimensões da página para que o consumo de papel seja mínimo? (Valor 1,5 ponto) 1 y 1 1,5 1,5 As dimensões devem ser tais que: 24 xy=24 5 = A área total da página é dada por: A =(x+3(y+2) Então: 24 72 A = (+ 3)[5+2] =30+2x+— 72 4=2-& > x2-36 > x-6 5 y-4 As dimensões devem ser 6 cmx 9 cm Questão 7: Dois postes medindo 8 e 12 metros, respectivamente, estão situados a 20 metros um do outro. Ambos estão estaiados por um cabo, conforme a figura abaixo. A qual distância x deve ser fixado o cabo a fim de que o comprimento do mesmo seja mínimo? (Valor 2,0 pontos) b L 12m L=V64+% L,=/144+Q0-x)2=/544-40x+x? O comprimento total é: L=V64+x2+ 544 —40x+x? x x— 20 [=>D][]DD+>D———— > x54 -40x+x?)=(20-x)2(64+x2) V64+x? 544 40x +x? =—40 80x? + 2560x — 25600 = O fa mw=8 Caracterização do ponto crítico: c"(8) = 160(8)+2560>0 > x=8éponto de mínimo
