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DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Inácio Andruski Guimarães, D.Sc.
Questão 1: Deseja-se construir um tanque, na forma de um cilindro circular de raio r e altura
h, com capacidade para 2 m
3
. O material usado nas laterais custa R$ 40,00 / m
2
, enquanto o
material usado no fundo e na tampa custa R$ 10,00 / m
2
. Quais as dimensões que minimizam
o custo com o material? (Valor 1,5 ponto)
A superfície lateral é dada por: 𝑆
= 2𝜋𝑟ℎ. O custo com a lateral é: 𝐶
A superfície total do fundo e da tampa é dada por: 𝑆
ଶ
. O custo é: 𝐶
ଶ
Então a superfície do cilindro é: 𝑆 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟
ଶ
Considerando os custos com os materiais tem-se que: 𝐶 = 40
ଶ
ଶ
O volume deve ser igual a 2 m
3
. Então:
ଶ
ଶ
Desta forma:
ଶ
ᇱ
ଶ
ଶ
య
ଶ
య
Caracterização do ponto crítico:
ᇱᇱ
ଷ
ᇱᇱ
య
ቍ > 0 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
Resposta: As dimensões que minimizam o custo com o material são:
య
య
Questão 2: Determine o ponto da curva 𝑦 = 4 − 𝑥
ଶ
que está mais próximo da origem do
sistema de coordenadas. (Valor 1,5 ponto)
A distância de um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) à origem é dada por:
ଶ
ଶ
Como
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଶ
ᇱ
ଷ
ସ
ଶ
ଶ
ଵ
ଶ
ଶ
Resposta: O ponto mais próximo é 𝑃 ቆට
ଶ
ଵ
ଶ
Limites de integração:
ଷ
ଶ
ଶ
ଷ
ଶ
ଵ
ଶ
ଷ
Cálculo da área:
ଷ
ିଶ
ଷ
ଶ
ସ
ଶ
ିଶ
ସ
ଶ
ଶ
Questão 5: Calcule o volume do sólido gerado pela revolução em torno da reta y = 1, da
região limitada pelos gráficos de 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥
ଶ
e 𝑔(𝑥) = 1. (Valor 1,5 ponto)
Limites de integração:
ଶ
ଶ
ଵ
ଶ
Cálculo do volume:
[
ଶ
]
ଶ
ଵ
ିଵ
[
ଶ
]
ଶ
ଵ
ିଵ
[
ଶ
ସ
]
ଵ
ିଵ
ଷ
ହ
ିଵ
ଵ
Questão 6: Uma página retangular deve conter 24 cm
2
de área impressa. As margens no topo
e na parte inferior da página medem 1,5 cm. As margens laterais medem 1 cm cada. Quais
devem ser as dimensões da página para que o consumo de papel seja mínimo? (Valor 1,
ponto)
1 y 1
x
As dimensões devem ser tais que:
A área total da página é dada por:
௧
Então:
௧
௧
ଶ
ଶ
As dimensões devem ser 6 cm x 9 cm
Questão 7: Dois postes medindo 8 e 12 metros, respectivamente, estão situados a 20 metros
um do outro. Ambos estão estaiados por um cabo, conforme a figura abaixo. A qual distância
x deve ser fixado o cabo a fim de que o comprimento do mesmo seja mínimo? (Valor 2,
pontos)
