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UNIVERSIDADE FEDERAL DE S AO CARLOS˜
Centro de Ciˆencias Exatas e de Tecnologia
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica
Disserta¸c˜ao de Mestrado
Medidas quˆanticas, descoerˆencia e emaranhamento em
cen´arios de f´ısica de neutrinos.
Victor Augusto Sant Anna Valderramos Bittencourt
Orientador: Alex Eduardo de Bernardini
Coorientador: Celso Jorge Villas-Boas
Disserta¸c˜ao apresentada no Departamento de F´ısica da Universidade Federal de S˜ao Car- los para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em F´ısica.
S˜ao Carlos, 11 de fevereiro de 2014
Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar
B624mq
Bittencourt, Victor Augusto Sant Anna Valderramos. cenários de física de neutrinos / Victor Augusto Sant AnnaMedidas quânticas, descoerência e emaranhamento em Valderramos Bittencourt. -- São Carlos : UFSCar, 2014.80 f. Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2014.
- Descoerência. 5. Emaranhamento. I. Título.1. Mecânica quântica. 2. Neutrinos. 3. Medidas quânticas.
CDD: 530.12 (20 a)
Science offers the boldest metaphysics of the age. It is a thoroughly human cons- truct, driven by the faith that if we dream, press to discover, explain, and dream again, thereby plunging repeatedly into new terrain, the world will somehow come clearer and we will grasp the true strangeness of the universe. And the strangeness will all prove to be connected, and make sense. Edward O. Wilson
Agradecimentos
Gostaria de agradecer ao meu orientador Alex Eduardo de Bernardini pela paciˆencia e tempo investidos em mim, por me guiar atrav´es de todos esses anos desde a inicia¸c˜ao cient´ıfica at´e este trabalho, al´em do coleguismo e aten¸c˜ao constantes. Ao meu coorientador, Celso Jorge Villas-Boas, agrade¸co tamb´em a paciˆencia, os atendimentos sempre atenciosos e pela ajuda decisiva neste trabalho. Agrade¸co aos meus pais, Angela Sant Anna Valderramos Bittencourt e Fernando Pereira Bittencourt, por sempre me apoiarem em minhas escolhas e estarem do meu lado de todas as maneiras poss´ıveis. Agrade¸coa minha segunda m˜ae, minha madrinha, Carmem Luzia da Silva, que me apoiou de maneira decisiva em v´arios momentos. Minhas irm˜as, Cristal Cremon Raduan Miguel Barzilai, que mesmo longe sempre esteve a par de todas as minhas atividades e sempre se dispˆos a me ajudar com energia e amizade, Stephanie Sant Anna Valderramos Bittencourt e Maria Fernanda Sant Anna Valderramos Bittencourt, minhas queridas irm˜as ca¸culas que me encheram de alegrias e bons momentos. Agrade¸co a minha companheira Nat´alia Lumi Watanabe pelo carinho, paciˆencia, compre- ens˜ao e alegria que tanto fizeram diferen¸ca no meu dia-a-dia e que me ajudaram a superar os momentos de tens˜ao. Agrade¸co aos docentes da Universidade Federal de S˜ao Carlos participaram de minha forma¸c˜ao. Em especial, Giuliano Augustus Pavan Ribeiro, pelas li¸c˜oes de f´ısica matem´atica e mecˆanica quˆantica que jamais esquecerei, C´esar Constantino, pelas conversas agrad´aveis de fim de tarde e pelas li¸c˜oes de eletrodinˆamica, e Paulo Daniel Emmel, pela aten¸c˜ao e por diversos ensinamentos de f´ısica fundamental. N˜ao posso deixar de agradecer aos meus amigos, tanto os geograficamente pr´oximos quanto os distantes. Ao Thiago Silva Tavares pelas diversas discuss˜oes de f´ısica que sempre abriram minha mente em diversas quest˜oes e tamb´em pelos momentos de descontra¸c˜ao. A Mar´ ılia Mancini agrade¸co pela aten¸c˜ao e pelos conselhos. Aos amigos que me ajudaram com conversas e opini˜oes em n´ıvel pessoal, Andr´e Doneg´a Gargantini, Alan Michel Franco, Pedro Cesar Zavitoski e Monique Deriggi. Agrade¸co, tamb´em, aos meus companheiros de sala Rodrigo
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Resumo
Na primeira parte deste trabalho descrevemos os neutrinos cosmol´ogicos como um sistema quˆantico composto e utilizamos a teoria generalizada das medidas quˆanticas para obter uma correla¸c˜ao probabil´ıstica entre energias observ´aveis e autoestados de sabor. Associamos as energias m´edia e ponderada de sabor a, respectivamente, esquemas de medidas quˆanticas se- letivas e n˜ao seletivas e avaliamos o impacto destas diferentes defini¸c˜oes de energia no c´alculo de massa efetiva de um sabor que determinam a contribui¸c˜ao dos neutrinos para a densidade de energia do invent´ario c´osmico. Nossos resultados estabelecem que se o estado dos neutrinos cosmol´ogicos for uma mistura maximal todos os procedimentos de c´alculo da densidade ir˜ao gerar o mesmo resultado. Na segunda parte voltamos nossa aten¸c˜ao `a propaga¸c˜ao livre de es- tados de sabor no formalismo de pacotes de ondas. Interpretando cada autoestado de massa, associado a uma distribui¸c˜ao de momentum Gaussiana, como um estado de trˆes qubits, um estado de sabor ´e descrito como um sistema quˆantico composto de trˆes subsistemas. Consi- deramos as diferentes correla¸c˜oes entre as componentes da superposi¸c˜ao quˆantica em termos de quantificadores apropriados e obtemos uma escala de coerˆencia compat´ıvel com a escala de amortecimento das oscila¸c˜oes presente nas probabilidades de sobrevivˆencia de um sabor, indicando rela¸c˜ao entre este amortecimento e as correla¸c˜oes estudadas. Investigamos mais a fundo essa rela¸c˜ao em termos do desvio padr˜ao entre o amortecimento e a densidade de estados associada aos quantificadores de correla¸c˜ao, desvio que ´e m´ınimo apenas para certos valores da largura da distribui¸c˜ao de momentum dos estados de massa.
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Abstract
In the first part of this work we describe the cosmological neutrinos as a composite quantum system and use the generalized theory of quantum measurements to acquire a probabilistic correlation between observable energies and flavor eigenstates. We associate flavor averaged and flavor weighted energies to, respectively, selective and non selective quantum measure schemes and avaliate the impact of these definitions in the calculation of a flavor effective mass that determines the neutrino contribution to the energy density of the cosmic inventory. Our results establish that if the cosmic neutrinos state is a maximal mixture all the procedures for the calculation of the energy density will generate the same results. In the second part we turn our attention to the free propagation of flavor states in the wave packet formalism. Interpreting each mass eigenstate, associated to a Gaussian momentum distribution, with a three qubit states, a flavor state is described as a quantum system composed of three subsystems. We consider the different correlations between the quantum superposition components in terms of subtle quantifiers and obtain a coherence scale compatible with the damping scale present in survival probabilities of a flavor, indicating a relation between the damping an the studied correlations. We investigate this relation in terms of the standard deviation between the damping and the density of states associated to the correlation quantifiers a deviation that is minimun only for certain values of the mass eigenstate momentum distribution width.
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- 1 Introdu¸c˜ao
- 2 Formalismo de matriz densidade
- 2.1 Matriz densidade
- 2.1.1 Teoria quˆantica das medidas
- 2.2 Sistemas quˆanticos compostos
- 2.3 Estados de qubits e a entropia de von Neumann
- 2.3.1 Entropia de von Neumann e medidas
- 2.4 Emaranhamento e correla¸c˜oes
- 2.4.1 A entropia de emaranhamento
- 2.4.2 Negatividade logar´ıtmica
- 2.4.3 Emaranhamento de forma¸c˜ao
- 2.5 Informa¸c˜ao m´utua e disc´ordia quˆantica
- 3 Oscila¸c˜ao quˆantica de sabores
- 3.1 Estados de sabor e estados de massa
- 3.2 Evolu¸c˜ao livre de estados de sabor
- 3.2.1 Probabilidade de sobrevivˆencia e de transi¸c˜ao
- 3.2.2 Aproxima¸c˜oes ultra relativ´ısticas
- 3.3 Tratamento da oscila¸c˜ao quˆantica de sabores no formalismo de matriz densidade - densidade 3.3.1 Tratamento da oscila¸c˜ao de dois sabores com o formalismo de operador
- mol´ogicos 4 Teoria das medidas quˆanticas e a densidade de energia dos neutrinos cos-
- 4.1 Conceitos b´asicos de cosmologia
- 4.1.1 Expans˜ao do universo e a equa¸c˜ao de Friedmann-Robertson-Walker
- 4.1.2 Evolu¸c˜ao da densidade de energia
- 4.1.3 Desacoplamento
- 4.2 Densidade de energia dos neutrinos cosmol´ogicos
- 4.3 Energia m´edia e energia ponderada de estados de sabor
- 4.3.1 Aplica¸c˜ao aos neutrinos cosmol´ogicos
- das. 5 Descoerˆencia entre autoestados de massa no formalismo de pacotes de on-
- 5.1 O formalismo de pacote de ondas em f´ısica de neutrinos
- 5.1.1 Pacotes de ondas Gaussianos
- 5.2 Emaranhamento e correla¸c˜oes entre dois estados de massa.
- 5.2.1 Quantificadores de emaranhamento para dois sabores
- 5.2.2 Disc´ordia quˆantica e informa¸c˜ao m´utua para dois sabores
- 5.3 Emaranhamento e correla¸c˜oes entre trˆes estados de massa
- 5.3.1 Quantificadores de emaranhamento
- 5.3.2 Correla¸c˜oes quˆanticas e totais
- os estados de massa 5.4 Rela¸c˜ao fenomenol´ogica entre probabilidade de sobrevivˆencia e correla¸c˜oes entre
- 6 Conclus˜oes
Lista de Figuras
1 Esquema de medidas segundo a teoria generalizada das medidas quˆanticas... 9 2 Probabilidade de sobrevivˆencia de transi¸c˜ao para um estado inicialmente eletrˆonico descrito em termos de uma superposi¸c˜ao de dois autoestados de massa..... 26 3 Representa¸c˜ao diagram´atica das duas poss´ıveis hierarquias de massa dos estados f´ısicos de neutrinos.................................. 28 4 Probabilidade de sobrevivˆencia Pe→e e as probabilidades de transi¸c˜ao Pe→μ e Pe→τ para o estado eletrˆonico em fun¸c˜ao do parˆametro ∆m 21 t/ 2 p........ 29 5 Probabilidade de medir um estado misto gen´erico de dois sabores como um estado eletrˆonico e como um estado muˆonico.................... 32 6 Esquematiza¸c˜ao da expans˜ao do universo..................... 34 7 Diferen¸ca normalizada entre as densidades de energia calculada com a utiliza¸c˜ao da massa efetiva de um sabor e das energias dos estados de massa em fun¸c˜ao do redshift para as hierarquias normal e invertida................ 42 8 Densidade de energia normalizada dos neutrinos Ων em fun¸c˜ao do menor auto- valor de massa para os procedimentos utilizando a massa efetiva de um sabor e com os autovalores de massa para as hierarquias normal e invertida....... 43 9 Desvios no c´alculo da densidade de energia ∆ρν /ρν em fun¸c˜ao do redshift para os diferentes procedimentos de c´alculo de energia apresentados.......... 50 10 Densidade de energia normalizada dos neutrinos cosmol´ogicos em fun¸c˜ao do menor autovalor de massa para as diferentes procedimentos de c´alculo de energia apresentados..................................... 51 11 Erro relativo para as predi¸c˜oes da massa dos neutrinos em fun¸c˜ao do menor autovalor de massa para os diferentes procedimentos de c´alculo de energia apre- sentados........................................ 52 12 Probabilidades de sobrevivˆencia no formalismo de pacotes de ondas para os sabores eletrˆonico, muˆonico e taˆonico........................ 58
Lista de Tabelas
1 Valores fenomenol´ogicos para os parˆametros de mistura.............. 24 2 Aproxima¸c˜ao tribimaximal para os ˆangulos de mistura.............. 24
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1 Introdu¸c˜ao
A utiliza¸c˜ao de conceitos de informa¸c˜ao quˆantica em diversas ´areas da f´ısica tem se tornado cada vez mais comum, como no estudo de oscila¸c˜ao entre k´aon e anti k´aon atrav´es da desi- gualdade de Bell [1]. Por lidar com fundamentos intr´ınsecos a teoria quˆantica, a teoria de informa¸c˜ao encontra diversas aplica¸c˜oes fora da ´area da computa¸c˜ao quˆantica, levando a des- cri¸c˜oes e pontos de vista diferentes sobre fenˆomenos f´ısicos nas mais diversas instˆancias. Nesta disserta¸c˜ao utilizaremos de ferramental e ideias oriundas da teoria da informa¸c˜ao quˆantica na descri¸c˜ao de fenˆomenos associadosa f´ısica de neutrinos em dois cen´arios: em cosmologia e no estudo da descoerˆencia entre autoestados de massa atrav´es do formalismo de pacotes de ondas. Os primeiros trabalhos importantes em teoria de informa¸c˜ao foram publicados na d´ecada de 1920. O primeiro deles, por H. Nyquist, lidava com transmiss˜ao de sinal por tel´egrafos e apresentava uma ideia seminal sobre velocidade de linha e inteligˆencia, aspectos ligados `a informa¸c˜ao [2]. O segundo trabalho seminal, de autoria de R. Hartley, apresentava pela primeira vez o conceito de informa¸c˜ao de uma maneira mais t´ecnica quantificando-a atrav´es de uma fun¸c˜ao logar´ıtmica de possibilidades [3]. Estes trabalhos serviram de base ao mais importante artigo da teoria da informa¸c˜ao cl´assica publicado em 1948 e escrito por C. Shannon [4]. Utilizando conceitos de probabilidade relativamente novos, Shannon quantificou a incerteza em uma mensagem atrav´es da Entropia de Shannon, quantidade que assumiu certa relevˆancia em teoria de informa¸c˜ao. A teoria da informa¸c˜ao estuda a transmiss˜ao, armazenamento e processamento de in- forma¸c˜ao e abrange as mais diversas ´areas do conhecimento. Com o desenvolvimento da teoria quˆantica, a teoria de informa¸c˜ao sofreu um grande desenvolvimento, em particular devido ao estudo e implementa¸c˜ao de recursos quˆanticos em tarefas como criptografia. A teoria da in- forma¸c˜ao quˆantica, portanto, se ocupa da implementa¸c˜ao de recursos quˆanticos em processos de informa¸c˜ao [5]. Por lidar com diversas quest˜oes fundamentais da teoria quˆantica, o estudo da teoria de in- forma¸c˜ao fora de seu escopo usual proporciona nova vis˜ao e novos pontos de vista de fenˆomenos f´ısicos. Em particular o estudo de correla¸c˜oes, principalmente o emaranhamento, e sua perda
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sabor pode ser descrito como uma superposi¸c˜ao quˆantica dos chamados estados de massa. Tal ideia ´e baseada na explica¸c˜ao da oscila¸c˜ao entre k´aon e antik´aon dada por M. Gell-Mann e A. Pais na qual um n´umero quˆantico, chamado estranheza, oscilava [15]. No caso dos neutrinos, o car´ater quˆantico de sabor oscila durante a propaga¸c˜ao livre do estado, de modo que um neutrino inicialmente produzido em estado eletrˆonico pode ser detectado como outro sabor. Este fenˆomeno ´e chamado oscila¸c˜ao quˆantica de sabores e explica a deple¸c˜ao no fluxo de neutrinos solares. Neste contexto, o neutrino possui massa muito pequena, mas n˜ao nula, sendo sua medida precisa um dos maiores desafios da f´ısica de neutrinos experimental. Os neutrinos tamb´em s˜ao importantes no contexto do modelo cosmol´ogico padr˜ao [16]. Em tempos cosmol´ogicos primordiais toda a energia estava concentrada em um volume menor, de modo que todas as part´ıculas elementares estavam em equil´ıbrio t´ermico. O universo evoluiu, tornando-se cada vez maior. Eventualmente, a taxa de crescimento do universo torna- se maior do que a taxa de intera¸c˜ao entre uma part´ıcula e o plasma constitu´ıdo de todas as outras part´ıculas. Quando isso ocorre a part´ıcula em quest˜ao deixa de interagir com o resto das part´ıculas do universo, ou seja, ela se desacopla. Tal fenˆomeno ocorreu com os f´otons primordiais levando a forma¸c˜ao da radia¸c˜ao c´osmica de fundo, exaustivamente medida por diversos experimentos [16]. Os neutrinos, por sua vez, se desacoplam de maneira semelhante aos f´otons e tamb´em formam um ”mar”de part´ıculas de fundo. Os neutrinos desacoplados s˜ao chamados de neutrinos cosmol´ogicos e tˆem profunda influˆencia em processos importantes em cosmologia, como o crescimento de estruturas de larga escala [17, 18]. Neste trabalho, iremos aplicar o ferramental de teoria de informa¸c˜ao em dois aspectos da f´ısica de neutrinos. O c´alculo da densidade de energia dos neutrinos cosmol´ogicos ´e importante n˜ao apenas como input em c´alculos de cosmologia, mas tamb´em para extrair dados relativosa massa dos neutrinos de dados cosmol´ogicos [17]. Descrevendo o processo de desacoplamento como uma medida quˆantica no sistema constitu´ıdo pelos neutrinos cosmol´ogicos, e utilizando a teoria geral das medidas quˆanticas, podemos definir energias m´edias e ponderadas, resolvendo ambiguidades presentes no c´alculo da densidade de energia dos neutrinos. A solu¸c˜ao dos
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problemas decorrentes destas ambiguidades constitui o primeiro resultado importante de nosso trabalho. Em uma segunda etapa, no contexto do estudo de correla¸c˜oes quˆanticas entre autoestados de massa, outro aspecto da f´ısica de neutrinos foi abordado. Em particular, pressupondo a descri¸c˜ao de um estado de sabor como uma superposi¸c˜ao de pacotes de ondas associados aos estados de massa. Como cada um destes pacotes possui massa diferente, h´a diferen¸ca na velocidade de propaga¸c˜ao, levando a perda de interferˆencia entre os pacotes de ondas e ao fim da oscila¸c˜ao de sabor. Tal fenˆomeno ´e bem conhecido e quantificado de maneira fenomenol´ogica em diversos cen´arios [19, 20, 21]. Observando que um estado de sabor pode ser descrito como um sistema quˆantico composto e identificando-o como um estado emaranhado, iremos quantificar este efeito atrav´es do estudo das correla¸c˜oes entre os modos de massa descritos como pacotes de ondas Gaussianos, determinando a rela¸c˜ao entre probabilidade de medir um estado de sabor e a quantidade de correla¸c˜ao no estado quˆantico que, como veremos, depende da largura do pacote de ondas. A disserta¸c˜ao ´e estruturada em dois blocos, o primeiro composto pelos segundo e terceiro cap´ıtulo, introduzem as ferramentas b´asicas a serem utilizadas. No segundo cap´ıtulo iremos apresentar o ferramental b´asico da teoria da informa¸c˜ao, desenvolvendo alguns conceitos de teoria de medidas e estudo e quantifica¸c˜ao de correla¸c˜oes e emaranhamento. No terceiro cap´ıtulo apresentaremos a descri¸c˜ao da oscila¸c˜ao quˆantica de sabores segundo a mecˆanica quˆantica de uma part´ıcula descrevendo um estado de sabor como uma superposi¸c˜ao quˆantica de estados de massa e estudando a dinˆamica livre deste sistema. O segundo bloco da disserta¸c˜ao apresenta as aplica¸c˜oes da ferramenta nos cen´arios de f´ısica de neutrino. O quarto cap´ıtulo ocupa-se da aplica¸c˜ao da teoria das medidas para determinar o c´alculo da densidade de energia dos neutrinos cosmol´ogicos e a poss´ıvel influˆencia deste estudo na determina¸c˜ao da massa dos neutrinos e no c´alculo de algumas quantidades relevantesa cosmologia. No quinto cap´ıtulo apresentamos o estudo sistem´atico da descoerˆencia entre os autoestados de massa e como a perda de correla¸c˜ao ´e relacionada ao fim da oscila¸c˜ao de sabores no formalismo de pacotes de ondas. Por ´ultimo apresentaremos as conclus˜oes encerrando a disserta¸c˜ao.
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sistema a ser medido como um estado puro | ψi〉. Em termos da ideia de ensembles de sistemas quˆanticos, em um estado puro todos os sistemas pertencentes ao ensemble s˜ao preparados no mesmo estado. Da defini¸c˜ao geral (2) temos ρ†^ = ∑ i
pi | ψi〉〈ψi |= ρ, (3)
portanto, o operador densidade ´e um operador hermitiano. Como um vetor de estado ´e suposto normalizado 〈ψi | ψi〉 = 1 → T r[ρ] = 1. (4)
E poss´´ ıvel provar tamb´em que T r[ρ^2 ] ≤ 1 , (5)
sendo a igualdade v´alida somente no caso em que ρ descreve um estado puro. Atrav´es da decomposi¸c˜ao espectral de ρ temos que
〈φ | ρ | φ〉 ≥ 0 (6)
para qualquer estado | φ〉, ou seja, todo o operador densidade ´e positivo. O valor m´edio de um operador A associado a um observ´avel ´e 〈A〉 = T r[Aρ]. (7)
Como a energia m´edia do sistema ´e obtida atrav´es do valor m´edio do operador Hamiltoniano H temos E = 〈H〉 = T r[Hρ]. (8)
A evolu¸c˜ao temporal da matriz densidade pode ser determinada em termos do operador de evolu¸c˜ao temporal U (t 2 , t 1 ) [5]:
ρ(t 2 ) = U (t 2 , t 1 )ρ(t 1 )U †(t 2 , t 1 ). (9)
A evolu¸c˜ao temporal de um operador densidade associado a um sistema fechado ´e obtida atrav´es de uma transforma¸c˜ao unit´aria. Uma maneira equivalente de escrever (9) ´e em termos
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da equa¸c˜ao de Liouville-von Neumann [5, 11]:
∂ρ(t) ∂t =^
Hρ(t) − ρ(t)H i¯h =
i¯h[H, ρ].^ (10)
2.1.1 Teoria quˆantica das medidas
Em mecˆanica quˆantica as medidas realizadas em um sistema desempenham papel importante em diversas situa¸c˜oes. Descrevendo uma medida por uma cole¸c˜ao de operadores de proje¸c˜ao {Mm}, cada operador associado a um poss´ıvel resultado m, ´e postulado que imediatamente ap´os realizada uma medida em um sistema descrito pelo estado ρ com resultado m, o sistema passar´a a ser descrito por um novo estado ρm dado por [11]:
ρm =| ψm〉〈ψm |= (^) T rMm[MρMmρm]. (11)
A express˜ao acima ´e conhecida como o postulado de proje¸c˜ao de von Neumann-L¨uders e define a chama medida seletiva [11]. O ensemble inicial descrito por ρ ´e, neste tipo de medida, divido em sub-ensembles, cada um condicionado a um resultado m com probabilidade
P (m) = T r[Mmρ]. (12)
E poss´´ ıvel descrever uma medida em um arranjo experimental no qual os diferentes sub- ensembles resultantes de medidas seletivas em um estado ρ s˜ao misturados com respectivos pesos (12), gerando um novo estado descrito pelo operador densidade
ρ′^ = ∑ m P (m)ρm, (13)
com ρm dado por (11). Esse tipo de medida ´e chamada de medida n˜ao seletiva. Desta maneira, o postulado de von Neumann-L¨uders introduz dois tipos de medidas, as seletivas, descritas por (11), e as n˜ao seletivas descritas por (13). As medidas descritas pelo postulado de von Neumann-L¨uders s˜ao muito restritas e conside- radas ideais. E suposto que qualquer medida possa ser descrita por um operador de proje¸´ c˜ao, o que n˜ao ´e verdade no caso mais geral. Existem diversos esquemas de medidas que diferem das medidas ideais, por exemplo aquelas incluindo efeitos de resolu¸c˜ao finita do detector. A
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