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sobre termodinâmica quântica, estudo.
Tipologia: Notas de estudo
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Porto Alegre - RS Brasil 2015
Agradecimentos i
Resumo iii
Abstract v
Agradeço à Professora Dra. Sandra Denise Prado pelas discussões referentes aos efeitos quânticos apresentados neste trabalho. Agradeço, também, ao Professor Dr. Roberto da Silva por sempre fazer perguntas e comentários importantes ao trabalho. Gostaria de agradecer o Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) por financiar este trabalho.
i
Our objective in this work is to elucidate some aspects about thermalization and decoherence in low dimensional quantum systems. To do so, we study some systems with different energy level structures. First we analyse a harmonic oscilator akin system, that is, a system without degenerescence. Then, we analyse a system of spins with and without interaction. Studing these systems, we were able to determine how and when a quantum system looses correlation between its energy levels and reaches a stationary state given by the Boltzmann distribution. We also discuss important concepts about the transition between a Classical Thermodynamics and its quantum counterpart. Some of these concepts are entropy, temperature and energy reservoir.
v
Capítulo 1. Introdução 2
teorias. Nos alicerces da Termodinâmica e,por continuidade, da Mecânica Estatística existe um princípio variacional, onde entropia e energia desempenham um papel importante. Em essência, uma vez que a entropia de um certo sistema é máxima, a energia média deste sistema deve ser mínima. A partir deste momento, dizemos que o sistema alcançou um estado de equilíbrio termodinâmico, ou seja, o sistema termalizou ou, em outras palavras, entrou em equilíbrio térmico. Tendo que a entropia deve ser maximizada a fim de determinarmos qual é o estado de equilíbrio do sistema em estudo, von Neumann [7] propôs o que é comumente denominado por “entropia de von Neumann”^2 ,
S = −T r (ρ log(ρ)) , (1.0.1)
onde ρ é a matriz densidade de um certo sistema, log(·) é a função logaritmo natural e T r(·) representa a função traço. Como, em geral, esta matriz densidade é não-diagonal, seu cálculo não é direto. Por outro lado, a função traço independe da base na qual a matriz se encontra. Desta forma, podemos simplesmente diagonalizar a matriz densidade ρ e proceder da seguinte forma:
S = −
k
λk log(λk), (1.0.2)
onde λk são os autovalores da matriz densidade. No apêndice A mostramos como o logaritmo natural e a exponencial de uma matriz diagonalizável podem ser calculados. Do ponto de vista quântico, esta equação é encarada como uma equivalente à entropia clássica de Gibbs. Algumas de suas principais propriedades são [13]:
Dado que a entropia de von Neumann é nula para estados puros [3, 4], mas maior que zero para sistemas interagentes, compreendemos seu significado: podemos interpretá- la como uma medida da mistura entre sistemas. Em outras palavras, se dois sistemas inicialmente puros passam a interagir, a entropia de ambos passará de zero para um certo valor finito. Zurek [14] propõe, inclusive, que exista uma associação entre esta definição de entropia e o processo de decoerência quântica. (^2) Definida sem a presença da constante de Boltzmann.
Dado o critério de equilíbrio termodinâmico, podemos usar a equação (1.0.1) para calcular a distribuição de probabilidades de equilíbrio de qualquer sistema sujeito a uma restrição de energia. Entretanto, antes é necessário determinar como uma matriz densi- dade ρ evolui no tempo. Dada a definição de matriz densidade [3, 15]
ρ(t) = |Ψ(t)〉 〈Ψ(t)| , (1.0.3)
podemos analisar sua evolução temporal a partir da equação de Schrödinger:
iℏ ∂ ∂t |Ψ(t)〉 = H |Ψ(t)〉 −iℏ ∂ ∂t 〈Ψ(t)| = 〈Ψ(t)| H. (1.0.4)
Tomando a derivada temporal de (1.0.3) e substituindo as correspondentes equações de Schrödinger, temos:
iℏ ∂ρ(t) ∂t = [H, ρ(t)]^.^ (1.0.5) Assumindo o estado de equilíbrio estacionário, isto é, ∂ρ∂t = 0, a matriz densidade e a Hamiltoniana deste sistema devem possuir uma base diagonal em comum, ou seja, [ρ, H] = 0. Desta forma, podemos maximizar a entropia de von Neumann com certa facilidade, tratando apenas das formas diagonais de ρ e H. Como a energia esperada do sistema em equilíbrio térmico deve ser constante e a matriz densidade deve estar normalizada, usamos o método de multiplicadores de Lagrange. Definindo a função a ser maximizada, temos
Ξ(λi, α 0 , α 2 ) = −
k
λk log(λk) + α 0
k
Ekλk − 〈E〉
k
λk − 1
onde λi são os autovalores da matriz densidade, Ei os autovalores de energia e αi os multiplicadores de Lagrange. Derivando e igualando a zero, podemos isolar a probabilidade de cada nível de energia. Obtemos
λk = α 1 eα^0 Ek^. (1.0.7) A fim de determinar as constantes acima, podemos substituir este resultado na entropia de von Neumann novamente e compararmos com a entropia de Gibbs^3 de equilíbrio para o ensemble canônico, onde a energia esperada do sistema é conservada:
S = log(Z) + β 〈E〉. (1.0.8) (^3) Neste trabalho tomamos a constante kB de Boltzmann igual a 1.
em geral, em modificações estocásticas da equação de Schrödinger em uma aproximação Markoviana. Uma das primeiras abordagens fora proposta por Kossakowski e Lindblad. Supondo que o reservatório de energia já se encontra em um estado de equilíbrio no princípio da dinâmica, dada uma certa temperatura, ele induz um certo estado de equilíbrio ao sistema com o qual entra em contato. A equação de Lindblad é definida como:
∂ρA ∂t = i ℏ [HA, ρA] + γ
j
Lj ρAL† j − 1 2
L† j Lj , ρA
Como podemos observar, a equação (1.0.12) é bastante semelhante a equação de Schrö- dinger para matrizes densidade. Entretanto temos um termo extra que insere assimetrias no sistema A, onde Lj é um operador linear de mistura entre o sistema A e o reservatório, este último geralmente formado por uma superposição de bósons. Uma dedução formal – usando-se da teoria de semigrupos quânticos dinâmicos – da equação de Lindblad pode ser encontrada em [17]. Em [18] encontramos uma dedução simplificada desta equação.Embora está última não seja geral, os pré-requisitos são co- nhecimentos básicos de álgebra de operadores e matrizes densidade. Embora a equação de Lindblad-Kossakowski seja a mais conhecida, neste trabalho uti- lizamos o conceito de sistemas quânticos abertos (Open Quantum Systems) [9]. Considera- se um sistema quântico aberto qualquer sistema que interage com outro externo, neste caso um reservatório de energia. O conceito de sistemas abertos baseia-se no fato de que qualquer sistema observável esta contido em um outro maior fechado, em último caso o universo (supondo este fechado). Esta escolha foi feita em função do trabalho proposto por Gemmer, Michel e Mahler. Em [19], estes autores propõe um método de termalização para sistemas quânticos com poucos níveis. A princípio, este método pode ser aplicado a sistemas tão grandes quanto necessário, entretanto recaímos no mesmo problema partilhado pela hipótese apresentada no inicio deste capítulo. Embora este trabalho seja original em alguns aspectos, como o conceito de temperatura espectral, alguns pontos importantes relacionados ao surgimento de uma distribuição de probabilidades clássica em um sistema quântico são desprezados. Uma vez que o fenômeno de decoerência é desprezado, não podemos afirmar que a temperatura espectral é um candidato ao posto de temperatura no universo quântico. Desta forma, este trabalho tem por objetivo analisar alguns dos pontos remanescentes ao trabalho proposto por Gemmer e colegas. Entre estes, inserimos o conceito de decoe- rência quântica a partir de um ensemble de matrizes de interação. A fim de determinar o grau de decoerência, propomos um parâmetro que mede o quão quântico um sistema ainda é. Este parâmetro é, de modo geral, melhor do que os até então propostos, uma vez que este analisa a matriz densidade como um todo e não apenas termos isolados desta. Outro ponto de interesse neste trabalho está associado a estrutura de níveis e res-
Capítulo 1. Introdução 6
sonâncias de um sistema e seu respectivo reservatório de energia. Mostramos que nem todos os casos de ressonância geram como resultado uma distribuição de probabilidades de equilíbrio do tipo Boltzmann. Por fim, analisamos alguns pontos importantes da dinâmica de um sistema quântico assim como efeitos locais de termalização. No capítulo 2 descrevemos algumas ferramentas matemáticas que utilizamos no es- tudo da dinâmica destes sistemas de baixa dimensionalidade. Em suma, propomos um método onde dois sistemas puramente quânticos são postos em contato e evoluem para uma distribuição de probabilidades clássica. No capítulo 3 descrevemos algumas características que o reservatório deve apresentar a fim de obtermos um estado estacionário ditado por uma distribuição de Boltzmann. Estas propriedades estão, sobretudo, ligadas à degenerescência de cada nível do reservatório. No capítulo 4 analisamos o fenômeno de decoerência, isto é, o processo de perda das correlações entre os diversos níveis de energia do sistema em estudo. De modo geral, denominamos este tipo de correlação por correlação quântica neste trabalho. Nos capítulos 6 e 7 estudamos alguns sistemas simples. Primeiro um sistema de 3 níveis não degenerados. Depois analisamos um sistema de spins com e sem interação, onde mostramos o efeito de termalização sobre cada componente de uma cadeia de spins.
