Matriz jacobiana 1
Matriz jacobiana
A Matriz Jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas
derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua
derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa de ser diferenciável para a existência
da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam.
Definição
Seja . Tal função é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função
. As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é
denominada Matriz Jacobiana. Assim, a Jacobiana é definida como:
A Jacobiana é representada por ou
A k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de
Determinante Jacobiano
O Jacobiano é definido como sendo o determinante da Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de
variáveis em integrais múltiplas e no Teorema da Função Inversa.
Exemplos
Seja . A jacobiana de F é:
O Jacobiano é .
Vamos montar a Jacobiana da mudança de variáveis cartesianas para polares. A função que faz a transformação é:
A Jacobiana é dada então por:
O Jacobiano é . portanto poderá se feito de acordo com alguns métodos matemáticos
