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Índice
- 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
- 1.1 Conceito de Matriz
- 1.2 Exemplos de Matrizes Simples
- 1.3 Operações com Matrizes
- 1.3.1 Transposição. Matrizes simétricas e matrizes ortogonais
- 1.3.2 Conjugação. Matrizes transconjugadas e matrizes hermíticas
- 1.4 Independência Linear e Característica de uma Matriz
- 1.4.1 Independência linear das linhas e colunas de uma matriz
- 1.4.2 Característica de uma matriz
- 1.5 Condensação de Gauss
- 1.6 Inversa de uma Matriz
- 1.6.1 Cálculo da inversa de uma matriz usando a condensação
- 1.7 Equações Matriciais
- 1.8 Sistemas de Equações Lineares
- 1.8.1 Definição e classificação
- 1.8.2 Método de eliminação de Gauss
- 1.8.3 Discussão de sistemas de equações lineares
- 1.8.4 Método da matriz inversa para a resolução de sistemas de equações lineares
Texto de apresentação
Estas notas incluem uma síntese dos assuntos que são abordados nas disciplinas de Álgebra Linear e de
Álgebra Linear e Geometria Analítica (ALGA) dos cursos de Engenharia da Escola Superior de Tecnologia e
Gestão (ESTG) de Leiria.
Com estas notas pretende-se fornecer um elemento de apoio ao estudo dos alunos e, em particular, contribuir
para o aperfeiçoamento da clareza de raciocínio e aquisição de um conjunto de ferramentas que facilitem a
progressão dos alunos nos respectivos cursos. Não se pretende, de modo algum, substituir um conjunto numeroso
de bons manuais de Álgebra Linear e de Geometria Analítica já existentes. Pelo contrário, as presentes notas
pretendem apenas fornecer uma ideia da estrutura e da sequência dos assuntos abordados nestas disciplinas que
deverão, sempre que possível, ser acompanhadas com consultas bibliográficas, para um maior aprofundamento
dos conhecimentos.
O texto de apoio resulta da colaboração, ao longo de muitos anos, dos docentes da ESTG que leccionaram nas
disciplinas de Álgebra Linear e de ALGA, e também de inúmeras sugestões sugeridas pelos alunos. Tão amável
colaboração permitiu fazer uma estruturação bastante profunda e corrigir muitas imperfeições dos textos que
anteriormente foram fornecidos aos alunos. Aproveitou-se a oportunidade para a inclusão de um vasto conjunto
de exemplos com exercícios resolvidos.
Estas notas não se encaram como um trabalho final, mas sim como um trabalho que está em constante
mutação, não só devido aos erros que fatalmente persistem, mas também às sucessivas alterações curriculares
que foram, e estão a ser efectuadas não só no Ensino Secundário mas também nos cursos da ESTG. Os actuais
docentes agradecem desde já e ficam, por isso, receptivos a quaisquer sugestões que possam melhorar o conteúdo
desta sebenta.
A sequência escolhida para abordar os assuntos deve-se à tentativa de satisfazer as necessidades dos diferentes
cursos de Engenharia da ESTG. Por outro lado, as diversas e sucessivas experiências pedagógicas levam-nos a
crer que a sequência apresentada é a mais adequada para a aprendizagem dos conceitos que fazem parte das
disciplinas de Álgebra Linear e de ALGA, não esquecendo jámais que estas são a base necessária para muitas
outras disciplinas posteriores dos respectivos cursos.
Exemplo 1.2.
Considere a matriz A =
Os elementos da diagonal principal são { 1 , 6 , 11 , 16 } e os da diagonal secundária são { 4 , 7 , 10 , 13 }.
Definição 1.2.6 (Matriz triangular)
Uma matriz An = (aij ) designa-se por matriz triangular superior (inferior) quando todos os seus elemen-
tos abaixo (respectivamente acima) da diagonal principal são nulos, isto é, i > j ⇒ aij = 0 (i < j ⇒ aij = 0).
Definições 1.2.7 (Matriz diagonal e escalar)
Uma matriz An = (aij ) designa-se por matriz diagonal quando todos os seus elementos que não pertencem à
diagonal principal são nulos, isto é, i 6 = j ⇒ aij = 0, e representa-se por
An = diag (a 11 , a 22 ,... , ann).
Uma matriz diagonal designa-se por matriz escalar quando todos os seus elementos principais são iguais, isto
é,
An = diag (λ, λ,... , λ).
Definição 1.2.8 (Matriz identidade)
Uma matriz diagonal de ordem n com todos os elementos principais iguais a 1 designa-se por matriz identidade
de ordem n e representa-se por In = diag (1, 1 ,... , 1).
Exemplos 1.2.
Considere as seguintes matrizes:
A =
B =
C =
0 6 i 0 0
0 0 0 −i
D =
−i 0 0 0
0 −i 0 0
0 0 −i 0
0 0 0 −i
I 3 =
A é uma matriz triangular superior, B é uma matriz triangular inferior, C = diag (1, 6 i, 0 , −i) é uma matriz
diagonal, D = diag (−i, −i, −i, −i) é uma matriz escalar e I 3 é a matriz identidade de ordem 3.
Definição 1.2.10 (Igualdade de matrizes)
Diz-se que Am×n = (aij ) é igual a Bm×n = (bij ) e escreve-se A = B quando os elementos homólogos das duas
matrizes forem iguais, isto é, ∀i, j : aij = bij.
Exemplo 1.2.
As matrizes complexas A =
a + bi 2 − i
− 2 c + 2i
e B =
1 − 3 i x + yi
− 2 2 i
só serão iguais quando
a + bi = 1 − 3 i
2 − i = x + yi
c + 2i = 2i
a = 1 ∧ b = − 3
x = 2 ∧ y = − 1
c = 0
Exemplo 1.2.
Considere a matriz real A =
a
2 b 0
0 c
2 − 9 0
d + 1 0 e − 2
Determine os valores das constantes reais de forma que a matriz A seja uma:
(a) matriz nula;
(b) matriz triangular superior;
(c) matriz triangular inferior;
(d) matriz diagonal;
(e) matriz identidade.
Resolução:
(a) A = O 3 ⇔
a
2 = 0
b = 0
c 2 − 9 = 0
d + 1 = 0
e − 2 = 0
a = 0
b = 0
c = 3 ∨ c = − 3
d = − 1
e = 2
(b) Para a matriz ser triangular superior tem-se que aij = 0 para i > j. Assim, d + 1 = 0 ⇔ d = − 1.
Portanto, d = − 1 ∧ a, b, c, e ∈ R.
(c) Para a matriz ser triangular inferior tem-se que aij = 0 para i < j. Assim, b = 0 ∧ a, c, d, e ∈ R.
- é associativa: (A + B) + C = A + (B + C);
- admite a existência de elemento neutro: A + O = O + A = A;
- para cada matriz existe uma matriz A 0 tal que A + A 0 = A 0 + A = O, isto é,
∀Am×n = (aij ) , ∃A 0 = −A = (−aij ) : A − A = −A + A = O.
Portanto, o conjunto Mm×n (K) de todas as matrizes m × n, tem a estrutura de grupo abeliano ou grupo
comutativo para a adição de matrizes.
Definição 1.3.4 (Multiplicação de um escalar por uma matriz)
A multiplicação de λ ∈ K pela matriz Am×n = (aij ), que se denota por λA, é uma matriz Cm×n = (cij )
que se obtém multiplicando todos os elementos da matriz A pelo escalar λ, isto é,
Cm×n = λAm×n ⇔ (cij ) = (λaij ).
Exemplo 1.3.
Se A =
1 2 + i
3 −i
(^) então i × A = i ×
1 2 + i
3 −i
i × 1 i × (2 + i)
i × 3 i × (−i)
i −1 + 2i
3 i 1
Propriedades 1.3.
Sejam Am×n e Bm×n duas quaisquer matrizes, λ e μ dois quaisquer elementos do corpo K e (^1) K o elemento
neutro da multiplicação do corpo K, vulgarmente designado por unidade do corpo K.
Atendendo à forma como foi definida a multiplicação de um escalar por uma matriz
- é distributiva em relação à adição de matrizes: λ (A + B) = λA + λB;
- é distributiva em relação à adição de escalares: (λ + μ) A = λA + μA;
- é associativa em relação à multiplicação de escalares: λ (μA) = (λμ) A;
- admite a existência de elemento neutro da multiplicação por um escalar: (^1) KA = A. (1R = 1C = 1)
Definição 1.3.7 (Multiplicação de matrizes)
O produto ou a multiplicação da matriz Am×n = (aij ) pela matriz Bn×p = (bjk), que se denota por AB, é
uma matriz Cm×p = (cik) que se obtém multiplicando as linhas da matriz A pelas colunas da matriz B, isto
é, o elemento cik do produto é a soma algébrica dos produtos dos elementos da linha i pelos correspondentes
elementos da coluna k, ou seja,
Cm×p = Am×n × Bn×p ⇔ (cik) = (ai 1 b 1 k + ai 2 b 2 k +... + ainbnk) ⇔ cik =
n X
j=
aij bjk
A partir da definição do produto de duas matrizes é fácil verificar que este só está definido quando o número
de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz, isto é, Am×n Bn×p = Cm×p.
Uma vez Am×n Bn×m = Cm e Bn×m Am×n = Dn então para que AB = BA é necessário que A e B sejam
matrizes quadradas da mesma ordem, mas não é suficiente conforme é ilustrado no exemplo que se segue para
as matrizes A e D.
Exemplo 1.3.
Considere as matrizes A 2 =
, B
2 × 3 =
, D
(^) e E 2 =
i 0
0 i
Então:
• C 2 × 3 = AB =
2 × 1 + 1 × 0 2 × 2 + 1 × 1 2 × 0 + 1 × 1
0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 0 + 1 × 1
- B 2 × 3 A 2 × 2 não está definido, porque o número de colunas da matriz B é diferente do número
de linhas da matriz A.
• C 2 = AD =
2 × 0 + 1 × (−1) 2 × 1 + 1 × 0
0 × 0 + 1 × (−1) 0 × 1 + 1 × 0
• DA =
= AD.
• EA =
i 0
0 i
2 i i
0 i
i 0
0 i
= AE.
As matrizes E e A verificam a igualdade EA = AE.
No exemplo verificou-se que AD 6 = DA, o que permite concluir que:
O produto de matrizes não é comutativo.
Definição 1.3.9 (Matrizes comutáveis)
Duas matrizes An e Bn dizem-se permutáveis, comutáveis ou que comutam entre si quando AB = BA.
Propriedades 1.3.
Sejam A, B, C e O quaisquer matrizes de dimensões apropriadas (O é a matriz nula) e λ ∈ K. Atendendo à
forma como foi definida, a multiplicação de matrizes
- é associativa: (AB) C = A (BC);
- é distributiva à esquerda, em relação à adição de matrizes: A (B + C) = AB + AC;
- é distributiva à direita, em relação à adição de matrizes: (B + C) A = BA + CA;
- é associativa em relação à multiplicação por um escalar: (λA) B = A (λB) = λ (AB);
- verifica (^) Am×nIn = Am×n e ImAm×n = Am×n;
- verifica (^) Am×nOn×p = Om×p e Op×mAm×n = Op×n.
Uma vez que InAn = An = AnIn, então qualquer matriz de ordem n é comutável com In.
0 − 2 3 − i
−3 + i − 4 0
é anti-simétrica pois B
T = −B.
cos (α) − sin (α)
sin (α) cos (α)
(^) é ortogonal. Efectivamente
CC
T
cos (α) − sin (α)
sin (α) cos (α)
cos (α) − sin (α)
sin (α) cos (α)
T
cos (α) − sin (α)
sin (α) cos (α)
cos (α) sin (α)
− sin (α) cos (α)
cos
2 (α) + sin
2 (α) cos (α) sin (α) − sin (α) cos (α)
sin (α) cos (α) − cos (α) sin (α) cos 2 (α) + sin
2 (α)
= I 2.
De forma análoga tem-se que C T C = I 2.
Observações 1.3.
- As matrizes simétricas de ordem 3 são da forma
a d e
d b f
e f c
. De facto,
A
T = A ⇔
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
a 12 = a 21
a 13 = a 31
a 23 = a 32
- As matrizes anti-simétricas de ordem 3 são da forma
0 a b
−a 0 c
−b −c 0
Propriedade 1.3.
Se A é uma matriz de ordem n então a matriz B = A + A
T é uma matriz simétrica.
Demonstração:
Com efeito,
B
T
A + A
T
T = A
T
A
T
T = A
T
T = B,
ou seja, A + A
T é uma matriz simétrica.
Propriedade 1.3.
Se A é uma matriz de ordem n então a matriz B = A − A T é uma matriz anti-simétrica.
Demonstração:
De facto,
B
T
A − A
T
¢T
= A
T −
A
T
¢T
= A
T − A = −
A − A
T
= −B,
pelo que se conclui que A − A
T é uma matriz anti-simétrica.
Observe-se que uma matriz A de ordem n pode escrever-se na forma A =
A + A
T
A − A
T
Tendo em conta as propriedades anteriores verifica-se que
A + A
T
é uma matriz simétrica e que
A − A
T
é uma
matriz anti-simétrica.
Propriedade 1.3.
Se A é uma matriz de ordem n então A pode ser decomposta na soma de uma matriz simétrica com uma matriz
anti-simétrica na forma A =
A + A
T
A − A
T
Demonstração:
Demonstração imediata, resultante das duas propriedades anteriores.
Propriedade 1.3.
Sejam An e Bn duas matrizes simétricas. A matriz AB é uma matriz simétrica se e só se A e B forem matrizes
comutáveis.
Demonstração:
Suponha-se que An e Bn são duas matrizes simétricas. Então, a matriz AB é simétrica se e só se
(AB)
T = AB ⇔ B
T A
T = AB ⇔ BA = AB,
pois A e B são simétricas, o que é equivalente a afirmar que A e B são matrizes comutáveis.
1.3.2 Conjugação. Matrizes transconjugadas e matrizes hermíticas
Definição 1.3.22 (Matriz conjugada)
Designa-se por conjugação a operação que consiste em substituir cada elemento da matriz pelo seu conjugado.
A matriz que se obtém de A realizando a operação de conjugação, designa-se por matriz conjugada de A e
representa-se por A, isto é, A = (aij ).
Se A for uma matriz real verifica-se que A = A, uma vez que o conjugado de um número real é o próprio
número.
Definição 1.3.23 (Matriz transconjugada)
Designa-se por matriz transconjugada de Am×n = (aij ), que se representa por A ∗ , a matriz definida por
A
∗
A
¢T
= (A
T ), isto é, a matriz que se obtém efectuando a operação de conjugação seguida da transposição
ou vice-versa.
Demonstração:
Efectivamente,
B
∗ = (A − A ∗ )
∗ = A ∗ − (A ∗ )
∗ = A ∗ − A = − (A − A ∗ ) = −B,
pelo que A − A ∗ é uma matriz anti-hermítica.
Exemplo 1.3.
Considere as seguintes matrizes
A =
, B =
2 i
, C =
2 + i i
3 − 3 i
, D =
(^) e E =
(a) Determine:
i. 2 A + D T ;
ii. (DA)
T − C;
iii. (1 + 3i) B
T AD.
(b) A matriz E é idempotente?
(c) A matriz CE é simétrica?
(d) As matrizes C e E são comutáveis?
(e) A matriz BB
T é anti-hermítica?
Resolução:
(a)
i. 2 A + D
T = 2
T
ii. (DA)
T − C =
T
2 + i i
3 − 3 i
T
2 − i −i
3 3 i
2 − i −i
3 3 i
13 + i −2 + i
15 − 5 − 3 i
iii. (1 + 3i) B T AD = (1 + 3i)
2 i
T
= (1 + 3i)
h
1 2 i 4
i
= (1 + 3i)
h
2 + 6i −7 + 8i
i
= (1 + 3i)
h
7 − 8 i 10 + 30i −12 + 22i
i
=
h
31 + 13i −80 + 60i − 78 − 14 i
i
.
(b) E 2 = EE =
(^) = E, logo a matriz E é idempotente.
(c) CE =
2 + i i
3 − 3 i
2 + i 4 + 2i
(^). Assim,
(CE)
T
2 + i 4 + 2i
T
2 + i 3
4 + 2i 6
2 + i 4 + 2i
(^) = CE, logo a matriz CE não é
simétrica.
(d) CE =
2 + i 4 + 2i
(^) pela alínea anterior,
EC =
2 + i i
3 − 3 i
8 + i − 5 i
Portanto, como CE 6 = EC então as matrizes não são comutáveis.
(e) BB T =
2 i
2 i
T
2 i
h
1 2 i 4
i
=
1 2 i 4
2 i − 4 8 i
4 8 i 16
BB
T
= BB
T
T
1 2 i 4
2 i − 4 8 i
4 8 i 16
T
1 − 2 i 4
− 2 i − 4 − 8 i
4 − 8 i 16
T
1 − 2 i 4
− 2 i − 4 − 8 i
4 − 8 i 16
−BB
T = −
1 2 i 4
2 i − 4 8 i
4 8 i 16
− 1 − 2 i − 4
− 2 i 4 − 8 i
− 4 − 8 i − 16
De (1) e (2) conclui-se que
BB
T
= −BB
T , pelo que a matriz BB
T não é anti-hermítica.
Para as propriedades que se seguem considere-se, sem perda de generalidade, Am×n = (aij ) uma matriz
fraccionada por linhas, L 1 , L 2 ,... , Lm.
Propriedade 1.4.
Se algum subconjunto das linhas L 1 , L 2 ,... , Lm for linearmente dependente então todas as linhas o são.
Demonstração:
Seja { 1 ,... , k,... m} uma outra ordenação dos índices das linhas de modo que as primeiras k linhas
sejam linearmente dependentes. Então existem escalares λ 1 , λ 2 ,... , λk não todos nulos tais que
k X
i=
λiLi = O 1 ×n. Tomando λk+1 =... = λm = 0, pode escrever-se
k X
i=
λiLi +
m X
i=k+
λiLi = O 1 ×n ⇔
m X
i=
λiLi = O 1 ×n, (∗)
donde se conclui que as linhas são linearmente dependentes pois existem λ 1 ,... , λk, λk+1,... , λm
não todos nulos que verificam a equação (∗).
Propriedade 1.4.
Se alguma das linhas L 1 , L 2 ,... , Lm for a linha nula, então as linhas são linearmente dependentes.
Demonstração:
Sem perda de generalidade, suponha-se que a linha Lk é a linha nula, isto é, Lk = O 1 ×n.
Então pode escrever-se
m X
i=
λiLi = O 1 ×n, considerando λk 6 = 0 e os restantes λi = 0.
Portanto, as linhas L 1 , L 2 ,... , Lm são linearmente dependentes.
Propriedade 1.4.
As linhas L 1 ,... , Lk,... , Lm são linearmente dependentes (linearmente independentes) se e só se as linhas
L 1 ,... , αLk,... , Lm com α 6 = 0, forem linearmente dependentes (linearmente independentes).
Demonstração:
Suponha-se que as linhas L 1 ,... , Lk,... , Lm são linearmente dependentes.
Então existe, pelo menos um, escalar λi (i = 1,... , m) não nulo tal que
λ 1 L 1 +... + λkLk +... + λmLm = O 1 ×n.
Tendo em conta que α 6 = 0, a igualdade anterior poderá ser ainda rescrita da seguinte forma:
λ 1 L 1 +... +
λk
α
(αLk) +... + λmLm = O 1 ×n, para algum λi 6 = 0.
Pode assim concluir-se que, para α 6 = 0, as linhas L 1 ,... , αLk,... , Lm são linearmente dependentes.
Suponha-se que as linhas L 1 ,... , αLk,... , Lm são linearmente dependentes, com α 6 = 0.
Então existem escalares λ 1 ,... , λk,... , λm, não todos nulos, tais que
λ 1 L 1 +... + λk (αLk) +... + λmLm = O 1 ×n.
Donde λ 1 L 1 +... + (λkα) Lk +... + λmLm = O 1 ×n, para algum λi 6 = 0.
Assim as linhas L 1 ,... , Lk,... , Lm são linearmente dependentes.
Propriedade 1.4.
As linhas L 1 ,... , Lj ,... , Lk,... , Lm são linearmente dependentes (linearmente independentes) se e só se as
linhas L 1 ,... , Lj + Lk,... , Lk,... , Lm forem linearmente dependentes (linearmente independentes).
Demonstração:
Suponha-se que as linhas L 1 ,... , Lj ,... , Lk,... , Lm são linearmente dependentes.
Então existem escalares λ 1 ,... , λj ,... , λk,... , λm, não todos nulos, tais que
λ 1 L 1 +... + λj Lj +... + λkLk +... + λmLm = O 1 ×n.
Tem-se então
λ 1 L 1 +... + λj (Lj + Lk) +... + (λk − λj ) Lk +... + λmLm = O 1 ×n, para algum λi 6 = 0.
Portanto, as linhas L 1 ,... , Lj + Lk,... , Lk,... , Lm são linearmente dependentes.
Suponha-se que as linhas L 1 ,... , Lj + Lk,... , Lk,... , Lm são linearmente dependentes.
Então existem escalares λ 1 ,... , λj ,... , λk,... , λm, não todos nulos, tais que
λ 1 L 1 +... + λj (Lj + Lk) +... + λkLk +... + λmLm = O 1 ×n.
Assim
λ 1 L 1 +... + λj Lj +... + (λk + λj ) Lk +... + λmLm = O 1 ×n, para algum λi 6 = 0.
Logo as linhas L 1 ,... , Lj ,... , Lk,... , Lm são linearmente dependentes.
Propriedade 1.4.
As linhas L 1 ,... , Lj ,... , Lm são linearmente dependentes (linearmente independentes) se e só se as linhas
L 1 ,... , Lj + α 1 L 1 +... + αj− 1 Lj− 1 + αj Lj+1 +... + αm− 1 Lm,... , Lm, com α 1 , α 2 ,... , αm− 1 ∈ K, forem
linearmente dependentes (linearmente independentes).
Demonstração:
Consequência imediata das propriedades 1.4.6 e 1.4.7.
Propriedade 1.4.
As linhas L 1 , L 2 ,... , Lm são linearmente dependentes se e só se existir pelo menos uma das linhas que seja
combinação linear das restantes.
Demonstração:
A demonstração fica como exercício.
Recorde novamente que as propriedades supracitadas são também válidas para as colunas da matriz.
Teorema 1.4.
A dependência ou independência linear das linhas (colunas) de uma matriz não é alterada por qualquer uma
das operações elementares.
Demonstração:
Consequência imediata das propriedades 1.4.6 e 1.4.8 da secção anterior (página 16).
O resultado seguinte é uma consequência imediata do teorema anterior.
Teorema 1.4.
Se B é uma matriz que se obtém de A usando operações elementares então car(B) = car(A).
1.5 Condensação de Gauss
Definição 1.5.1 (Condensação de uma matriz)
Designa-se por condensação de uma matriz, o processo que consiste em realizar sucessivas opera-
ções elementares sobre a matriz, de forma a obter a sua forma escalonada por linhas.
A condensação feita por linhas designa-se por condensação horizontal. A condensação feita por colunas
designa-se por condensação vertical.
Exemplo 1.5.
A condensação da matriz A =
pode ser efectuada do seguinte modo:
A =
L 1 ↔L 2
L 2 →L 2 − 2 L 1
L 3 →L 3 −L 1
L 4 →L 4 +L 1
1 2 − 1 0
L 3 →L 3 −L 2
L 4 →L 4 −L 2
Como a forma escalonada da matriz A tem 3 pivots então car(A) = 3.
No exemplo anterior a condensação foi realizada usando o primeiro elemento da primeira linha para eliminar
todos os elementos da primeira coluna abaixo dele, em seguida, foi usado o elemento não nulo da segunda linha
para anular todos os elementos da segunda coluna abaixo dele, e assim sucessivamente, até se obter a matriz
na sua forma escalonada por linhas.
Efectuar operações elementares sobre linhas de uma matriz corresponde a multiplicar à esquerda a matriz,
por determinadas matrizes especiais, designadas por matrizes elementares, conforme é mostrado nas seguintes
propriedades.
Para as propriedades que se seguem, considere-se Am×n = (aij ) definida por:
A =
a 11 · · · a 1 i · · · a 1 j · · · a 1 n
. . .
ai 1 · · · aii · · · aij · · · ain
. . .
aj 1 · · · aji · · · ajj · · · ajn
am 1 · · · ami · · · amj · · · amn
Propriedade 1.5.
Efectuar a troca das linhas Li e Lj (Li ←→ Lj ) é o mesmo que multiplicar à esquerda a matriz A pela matriz
Pij definida por:
Pij =
isto é, a matriz Pij é a matriz que obtém a partir da matriz In de ordem m (Im), trocando as suas linhas i e j.
Demonstração:
Com efeito,
Pij Am×n =
a 11 · · · a 1 i · · · a 1 j · · · a 1 n
. . .
aj 1 · · · aji · · · ajj · · · ajn
ai 1 · · · aii · · · aij · · · ain
. . .
am 1 · · · ami · · · amj · · · amn
