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Máximos e Mínimos
1. Introdução No contexto do estudo de derivadas, resolvemos problemas de funções quadráticas onde se pretendia encontrar o valor ótimo que estas assumiam, ou seja, o seu valor máximo. O ponto máximo, onde o coeficiente angular é zero, geralmente era único, o que nos permitia igualar a derivada da função a zero e, em seguida, resolve-las em x. Um exemplo é a função lucro, representada por L ( x )= − 400 x^2 + 6800 x − 12000 ,a qual você deve esboçar o gráfico e constatar as informações acima. Entretanto nem sempre é tão simples assim, pois, de maneira geral, nem todo ponto da função no qual a derivada é nula é o pico do gráfico. y = x³ y = x² fig. 1 fig. 2 Temos duas funções cujas derivadas em x = 0 são nulas. Ambas possuem tangentes horizontais em (0;0), mas a função y = x² alcança seu valor mínimo em (0;0), enquanto que a função y = x³ não possui máximo nem mínimo neste ponto. A situação torna-se mais complicada com a existência de funções que possuem máximos e mínimos em pontos nos quais as derivadas nem sequer são definidas, como ilustramos nas figuras 3 e 4.
x se x x se x y^3 2 y = x fig. 3 fig. 4 Vemos então uma forma sistematizada de locação e identificação de máximos e mínimos de funções diferenciáveis. Neste processo você também aprenderá como usar derivadas que o ajudarão a construir gráficos de funções.
2. Máximos e Mínimos Relativos Um máximo relativo de uma função é um “pico”, o ponto máximo do gráfico em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele no gráfico. Um mínimo relativo é um “fundo de vale”, o ponto mínimo do gráfico em relação a qualquer outro ponto vizinho. A função representada na figura 5 possui um máximo relativo em x = b , e mínimos relativos em x = a e x = c. Note que o máximo relativo não precisa ser o ponto mais alto do gráfico, é máximo somente em relação aos pontos vizinhos. Da mesma forma, o mínimo relativo não é o ponto “mais baixo” do gráfico. a b c
fig. 5 Conhecendo-se os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente, pode-se facilmente identificar os máximos e mínimos relativos da função. O máximo relativo ocorre quando a função deixa de ser crescente e passa a ser decrescente. O mínimo relativo ocorre quando a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente.
3. Sinal da Derivada Pode-se reconhecer quando uma função é crescente ou decrescente através do sinal da sua derivada, porque a derivada é o coeficiente angular da reta tangente. Quando a derivada é positiva, o coeficiente angular da tangente é positivo e a função é crescente. Caso contrário, quando a derivada é negativa, o coeficiente angular é negativo e a função é decrescente. A figura 6 ilustra essa situação. Y = f(x) Y = f(x)
fig. 6-a fig. 6-b a b a b Conclusão: Se f (x) > 0 , quando a < x < b , então f é crescente para a < x < b Se f (x) < 0 , quando a < x < b , então f é decrescente para a < x < b
4. Pontos Críticos Sendo x 0^ um ponto pertencente ao domínio de uma função f (x) , diz-se que x 0^ é abscissa de um ponto crítico se: A função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos pontos nos quais a função pode assumir máximos ou mínimos relativos são aquelas nos quais as derivadas são nulas ou indefinidas. O ponto crítico da função é aquele no qual a derivada é nula ou indefinida. Todo extremo relativo é um ponto crítico, mas nem todo ponto crítico é um extremo relativo. 1) f ( x 0^ ) = 0 2) f ( x 0^ ) não está definida Observe que: 1) Se o sinal da derivada for positivo à esquerda do ponto crítico e negativo à direita dela, o ponto é um máximo relativo. (fig. 7a). 2) Se o sinal da derivada for negativo à esquerda do ponto crítico e positivo à direita dela, o ponto é um máximo relativo. (fig. 7b). 3) Se o sinal da derivada for o mesmo em ambos os lados do ponto crítico, o ponto não é máximo nem mínimo relativo. (fig. 7c).
Extremos Absolutos em Intervalos Fechados: Uma função contínua num intervalo fechado alcança um máximo absoluto e um mínimo absoluto no intervalo. O extremo absoluto pode coincidir com o extremo relativo ou ocorrer no extremo x = a ou x = b. A figura 9 ilustra estas possibilidades.
Máximo absoluto coincide com máximo relativo Máximo absoluto ocorre numa extremidade Máximo absoluto coincide com mínimo relativo Mínimo absoluto ocorre numa extremidade fig. 9 Usando estas observações, podemos descrever uma técnica simples de localização e identificação dos extremos absolutos de funções contínuas em intervalos fechados. Como Calcular Extremos Absolutos de uma Função Contínua f num Intervalo Fechado [a;b]. 1 o^ Passo: Calcule as coordenadas x de todos os pontos críticos de f no intervalo a ≤ x ≤ b. 2 o^ Passo: Calcule f (x) nestes pontos críticos e nas extremidades x = a e x = b. 3 o^ Passo: Selecione os maiores e menores valores de f (x) conseguidos no 2o^ Passo. Você obterá, então, respectivamente, o máximo absoluto e mínimo absoluto. Extremos Absolutos em Intervalos não Fechados Quando o intervalo no qual desejamos maximizar ou minimizar a função não é da forma [a;b], precisamos modificar a técnica, porque, não é garantida a existência de extremos absolutos da função no intervalo em questão. Por outro lado, se um extremo absoluto existe e a função é contínua, o extremo absoluto coincidirá com o extremo relativo ou com uma extremidade contida no intervalo. A figura 10 ilustra algumas dessas possibilidades. fig. 10
Não possui máximo absoluto em x > 0 Não possui mínimo absoluto em x ≥ 0 Para calcular os extremos absolutos de uma função contínua num intervalo que não seja fechado, calculamos o valor da função nos pontos críticos e nas extremidades contidas no intervalo, pois a função possui extremos relativos neste intervalo.
7. Teorema do Valor Extremo Se f é contínua em [a;b], então possui um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto. Concavidade Diz-se que uma curva tem concavidade para baixo quando sua tangente se move no sentido dos ponteiros do relógio, ao percorre a curva da esquerda para a direita. Diz-se que uma curva tem concavidade para cima quando sua tangente se move no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, ao percorre a curva da esquerda para a direita.
Concavidade e Coeficiente Angular da Tangente Quando a curva tem concavidade para cima (como na fig. 6-a), o coeficiente angular de sua tangente cresce quando x aumenta de valor. Quando a curva tem concavidade para baixo (como na fig. 6-b) , o coeficiente angular da sua tangente decresce quando x aumenta de valor. Sinal da Derivada Segunda A relação entre concavidade e coeficiente angular da tangente determina uma caracterização simples de concavidade em termos de sinal da derivada Segunda. Suponha que a derivada Segunda f “ seja positiva num intervalo. Logo, a derivada Primeira f ‘ é crescente no intervalo. Mas f ‘ é o coeficiente angular da tangente, portanto, é crescente e a curva do gráfico de f tem concavidade para cima no intervalo. Por outro lado, se f “ é negativo no intervalo, então f ‘ é decrescente e a curva do gráfico de f tem concavidade para baixo no intervalo. Significado geométrico do sinal da derivada Segunda: a) se f “ (x) > 0 quando a < x < b , então, f tem concavidade para cima em a < x < b. b) se f “ (x) < 0 quando a < x < b , então, f tem concavidade para baixo em a < x < b. Pontos de Inflexão O ponto no qual ocorre a variação de concavidade da função denomina-se ponto de inflexão. Se a derivada Segunda é definida no ponto de inflexão, seu valor tem que ser zero. Os pontos de inflexão podem ocorrer onde a derivada Segunda é indefinida. Os pontos nos quais a derivada Segunda da função é nula ou indefinida denominam-se pontos críticos de Segunda ordem. Construção de Gráficos Devemos seguir os seguintes passos, para obter o gráfico da função f (x) : a) Explicite o domínio; b) Calcule a derivada Primeira e, em seguida, as coordenadas x dos pontos críticos de primeira ordem, igualando f ‘ (x) a zero e resolvendo a equação em x. Não esqueça de incluir também valores de x para os quais a derivada é indefinida. Substitua estes valores de x na função f (x) , obtendo as coordenadas y dos pontos críticos. c) Calcule a derivada Segunda f “ (x). Proceda como no passo anterior. d) Estude o sinal da Primeira derivada e determine onde f (x) é crescente ou decrescente. Destaque os pontos Máximo e Mínimo. e) Estude a concavidade de f (x) , verificando o sinal da Segunda derivada. Destaque os pontos de inflexão. f) Determine as equações das assíntotas verticais e obliquas e as interseções com os eixos coordenados... g) Construa o gráfico. Intervalos Sinal de f ‘ (x) Sinal de f “ (x) Crescente ou Decrescente Concavidade Formato de Curva
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Exercícios
1. Para as funções abaixo, pede-se: I. Domínio e imagem; II. Seus intervalos de crescimento ou decrescimento; III. Seus extremos relativos; IV. Seus pontos de inflexão; V. Assíntotas VI. Esboçar seus gráficos. a) f ( x )= x^3 + 3 x^2 + 1
