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Funções de Duas Variáveis: Máximos e Mínimos Relativos
Definição: Uma função de duas variáveis tem um máximo local em ( a,b ) se quando ( x,y ) está próximo de ( a,b ). (Isso significa que para todo ponto ( x, y) em algum disco com centro ( a, b).) O número f ( a,b ) é chamado valor máximo local. Se quando ( x, y), então f ( a,b ) é um valor mínimo local. Se as inequações da definição acima valerem para todos os pontos ( x, y) do domínio de f tem um máximo absoluto (ou mínimo absoluto ) em ( a, b ).
Teorema: Se uma função f tem um máximo local ou um mínimo local em ( a, b ) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então e Um ponto ( a,b ) é dito ponto crítico (ou ponto estacionário) de f se e , ou se uma das derivadas parciais não existir. O teorema acima diz que se f tem um máximo ou mínimo local em ( a, b ), então ( a, b ) é um ponto crítico de f. Entretanto, como no cálculo de uma única variável, nem todos pontos críticos correspondem a um máximo ou mínimo. Num ponto crítico, a função pode ter um máximo local ou um mínimo local, ou ainda nenhum dos dois. Teste da segunda derivada: Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam contínuas num disco com centro ( a,b ), e suponha que e .[ou seja, ( a,b ) é um ponto crítico de f ]. Seja
a) Se D>0 e , então é um mínimo local. b) Se D>0 e , então é um máximo local. c) Se D<0 , não é nem mínimo local nem máximo local, o ponto ( a,b ) é chamado ponto de sela. Obs.: Se D = 0, o teste não fornece informação: f pode ter um máximo local ou um mínimo local em ( a,b ), ou ( a,b ) pode ser um ponto de sela de f. Para a determinação dos pontos críticos estacionários suaves de uma função de duas variáveis pode-se usar um procedimento semelhante ao conhecido para funções de uma variável:
Etapa 1: Determinar e Etapa 2: Determinar os pontos críticos de f, resolvendo Etapa 3: Determinar , , e e verificar se. Caso , o procedimento não se aplica. Etapa 4: Para cada ponto crítico (x (^) 0,y0) encontrado na Etapa 3, calcular D e concluir. EXEMPLO 1 : Determinar e classificar os pontos críticos estacionários de.
EXEMPLO 2 : Determinar e classificar os pontos críticos estacionários de.
EXEMPLO 3: Determinar e classificar os pontos críticos estacionários de.
PROBLEMA 1
Considere que uma caixa retangular fechada tem um volume de 20 decímetros cúbicos. O material usado nos lados custa R$ 1,00 por dm^2 , o material usado no fundo custa R$ 2,00 por dm 2 e o usado na parte superior custa R$ 3,00 por dm^2. Determine as dimensões da caixa mais barata e o correspondente custo mínimo. Resolução:
O custo da caixa é dado por: C(x,y,z) = (2xz + 2yz) (1) + (xy) (2) + (xy) (3) F 0D E C(x,y,z) = 5xy + 2xz + 2yz. Sendo o volume de 20 dm^3 , então: V = 20 F 0D E x y z = 20 F 0D E z = 20/xy.
Aplicando o valor de z na equação do custo C, temos:
C(x,y) = 5xy + 2x (20/xy) + 2y (20/xy) F 0D E C(x,y) = 5xy + 40/x + 40/y.
Assim, calculando as derivadas parciais de 1ª ordem de C, encontramos: C (^) x (x,y) = 5y – 40/x^2 e Cy (x,y) = 5x – 40/y^2. Para obter os pontos críticos de C, fazemos: F 0D E F 0D E F 0D E F 0D E x = 2 e y = 2 Assim, o único ponto critico da função de custo é (x,y) = (2,2). Calculando as derivadas de 2ª ordem de C , para testar a natureza do ponto crítico (2,2), encontramos: C (^) xx (x,y) = 80/x^3 ; Cxy (x,y) = 5 ; Cyx (x,y) = 5 ; Cyy (x,y) = 80/y^3.
Logo, temos:
det(x,y) = F 0D E det(2,2) = = 75, com Cxx > 0.
Portanto, (2,2) é ponto de mínimo, z = 20/xy = 5 e C(2,2,5) = 60.
Assim sendo, a caixa mais barata tem base quadrada com 2 dm de lado, altura medindo 5 dm e custa R$ 60,00.
EXERCÍCIOS
- Determine três números positivos cuja soma é 24, de modo que o produto deles seja o maior possível. Sol.: 8,8,
Suponha que a fabricação de um produto requer x horas por máquina e y horas por pessoa e o custo
Uma injeção de x mg da droga A e y mg da droga B causa uma resposta de R unidades, e R= onde c
é uma constante positiva. Determine a quantidade de droga que causará a resposta máxima: Resp.:mg de droga A e mg de droga B
Seja , determine seu(s) extremo(s). Resp.: Mínimo (1,3)
Determine os valores extremais de. Resp.: Não possui máximo nem mínimo, sela (0,0).
Uma companhia manufatureira produz dois produtos que são vendidos em mercados separados. Os economistas da companhia analisam os dois mercados e determinam que as quantidades q 1 e q (^2) demandadas pelos consumidores e os preços p 1 e p 2 de cada item são relacionados pelas equações em reais: P 1 = 600-0,3q 1 e P 2 = 500-0,2q 2 e a função custo é dada por : C =16 + 1,2q 1 + 1,5q 2 + 0,2q (^) 1q Se a companhia quiser maximizar seus lucros totais, quanto deveria produzir de cada produto? Qual seria o lucro máximo? Resp: q (^) 1=699 aprox, q 2 =897 aprox, Lucro = R$432.797,
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m 2 de papelão; determine o volume máximo da caixa. Resp: 4 m^3
