Baixe Lista de Exercícios de Cálculo 2: Valores Máximos e Mínimos e Integração Múltipla e outras Exercícios em PDF para Cálculo para Engenheiros, somente na Docsity!
Minist´erio da Educa¸c˜ao Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Campus Campo Mour˜ao Wellington Jos´e Corrˆea
Nome:
Lista de C´alculo 2 Valores M´aximos e M´ınimos e Integra¸c˜ao M´ultipla
- Determine os extremos relativos de f , se existirem.
(a) f (x, y) = x^3 + y^3 + 3y^2 − 3 x − 9 y + 2 (b) f (x, y) = ex y
- Quatro po¸cos de petr´oleo est˜ao localizados nos pontos (− 300 , 0), (− 100 , 500), (0, 0) e (400, 300) de um sistema retangular de coordenadas, no qual as distˆancias s˜ao medidas em metros. Em que ponto M (a, b) deve ser instalado um galp˜ao de manuten¸c˜ao para que a soma dos qua- drados das distˆancias entre o galp˜ao e os quatro po¸cos seja a menor poss´ıvel?
- Usando o m´etodo dos multiplicadores de Lagrange, ache os extremos relativos de f (supondo que eles existam), sujeito ao (s) v´ınculo (s) dado. (a) f (x, y) = x^2 + y com v´ınculo x^2 + y^2 = 9 (b) f (x, y) = x y z com v´ınculo x^2 + 2 y^2 + 4 z^2 = 4 (c) f (x, y) = x^2 + y^2 + z^2 com v´ınculos x + 2y + 3z = 6 e x − y − z = − 1.
- Ache trˆes n´umeros positivos cuja soma ´e 24, de modo que o produto deles seja o maior poss´ıvel.
- Ache trˆes n´umeros cuja soma ´e 100 e cuja soma de quadrados ´e m´ınima.
- Uma constru¸c˜ao retangular deve ser executada com materiais que custam R$ 31,00 o metro quadrado para o teto, R$ 27,00 o metro quadrado para os dois lados e o fundo e R$ 55, para a fachada. Se o volume ´e de 16.000 metros c´ubicos, quais devem ser as dimens˜oes para que o custo dos materiais usados seja m´ınimo?
- Um estudo realizado em um dep´osito de rejeitos revelou que o solo estava contaminado em uma regi˜ao que podia ser descrita aproximadamente como o interior da elipse x
2 4 +^
y^2 9 = 1, onde x e y est˜ao expressas em quilˆometros. O respons´avel pelo dep´osito pretende construir um muro circular para delimitar a ´area polu´ıda. Se o escrit´orio do dep´osito fica no ponto S(0, 0), qual ´e o raio da menor circunferˆencia de centro em S que cont´em toda a regi˜ao polu´ıda?
- Uma express˜ao emp´ırica que relaciona a ´area superficial de uma crian¸ca ao seu peso ´e
S(W, H) = 0, 0072 W 0 ,^425 H^0 ,^725 ,
onde W ´e o peso em quilogramas e H ´e altura em cent´ımetros. Suponha que durante um curto per´ıodo de tempo, Maria perca peso enquanto est´a crescendo, de tal forma que W + H = 160. Com tal restri¸c˜ao, quais devem ser o peso e altura para que a ´area superficial do corpo de Maria seja a maior poss´ıvel?
- Calcule o valor m´aximo da fun¸c˜ao f (x 1 , x 2 ,... , xn) = √nx 1 · · · xn com a restri¸c˜ao g(x 1 , x 2 ,... , xn) = x 1 +x 2 +.. .+xn = c. Em seguida, mostre que a m´edia geom´etrica entre os n´umeros x 1 ,... , xn ´e menor ou igual que a m´edia aritm´etica entre x 1 ,... , xn, ou seja, √ nx 1 · · · xn ≤ x 1 + x 2 +... + xn n. Quando a igualdade ser´a v´alida?
- Calcule a integral iterada.
(a)
1
∫ (^2) x 0 xy
(^3) dy dx (b)
0
0 |x^ −^ y|dy dx^
(c)
Q
ex+y^ dx dy; Q = {(x, y)/|x|+|y| ≤ 1 }
- Nos exerc´ıcios a seguir, ser´a preciso usar a f´ormula do valor m´edio: dada uma regi˜ao retan- gular R, o valor m´edio de f (x, y) na regi˜ao R ´e
V M = (^) ´area de^1 R =
R^ f^ (x, y)^ dA. De posse desta f´ormula, resolva os problemas abaixo: (a) Um mapa de um pequeno parque municipal ´e um quadriculado limitado pelas retas x = 0, x = 4, y = 0 e y = 3, no qual as distˆancias est˜ao em quilˆometros. A altitude de cada ponto (x, y) do parque em rela¸c˜ao ao n´ıvel do mar ´e dada por E(x, y) = 90(2x+y^2 ) metros. Determine a altitude m´edia do parque. (b) Um edif´ıcio deve ter um teto curvo acima de uma base retangular. Em rela¸c˜ao a um sistema de coordenadas retangulares, a base ´e a regi˜ao retangular − 30 ≤ x ≤ 30 , − 20 < y < 20 , onde x e y est˜ao em metros. A altura do teto acima de cada ponto (x, y) da base ´e dada por h(x, y) = 12 − 0 , 003 x^2 − 0 , 005 y^2. i. Determine o volume do edif´ıcio. ii. Determine a altura m´edia do telhado.
Respostas
- (a) m´aximos relativos: (-1,-3) e (1,3); m´ınimo relativo: (1,1); ponto de sela: (-1,1). (b) f n˜ao possuem extremos relativos.
- (0,200)
- (a) m´aximos relativos:
2 ,^
, m´ınimos relativos: (0, ± 3).
(b) f
13 ,^
13 ,^
=^3713 , m´ınimo relativo.
- x = y = z = 8
- x = y = z =^1003
- x ≈ 26 , 4 m; y ≈ 40 , 1 m; z ≈ 15 , 1 m.
- 4 km.
- W ≈ 59 , 13 kg e H ≈ 100 , 87 cm.
- Seu valor m´aximo ser´a em (^) nc. A igualdade ser´a v´alida quando f atingir seu valor m´aximo.
- (a) 42 (^) (b)^1 3 (c)
e^2 + 1 e
- (a)^32 π
(b)^4 π
3 3
(c) π (d) 4π (e) 8π
(f) (2^ −
√2)π 3 (g)^83 π
- (a) √ 6 (b) 9
- (a)^13
(b) 8π
(c) 8π
(d)^43 π(b^3 − a^3 )
(e)^329 (f)^45 π
- (a) 630 metros (^) (b) (i) 25.040 m (^3). (ii)^313 30 ≈^10 ,^43 m.
Bom Trabalho!!!
