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Baixe Mecânica A - Kaminsky e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
ORA EDGARD BLÚCHER LTDA a € 2000 Paulo Carlos Kaminski Fº edição - 2000 É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios sem autorização escrita da editora EDITORA EDGARD BLUCHER LTDA. Rua Pedroso Alvarenga, 1245 - cj. 22 O4SIHAIZ-S, Paulo — SP — Brasil Fax: (0x1) 3062-2707 e-mail: cblucher(Ginerneicom coin. be Impresso no Brasil Printed in Bracil SS Gore meve BAR “o meo PÉ EDITORA AFILIADA Prefácio Prezado Leitor, antes de mais nada gostaria de destacar que houve várias contribuições na elaboração deste livro. Embora seja bastante difícil de referenciar especificamente as contribuições individuais : por tópicos, devido a uma autêntica mistura de contribuições gostaria de agradecer a disponibilização das notas de aulas dos Professores Ronaldo Salvagni. Linilson Padovese, Eduardo Tambor e Clóvis Martins, referenciadas no final do livro, das quais muito foi incorporado neste texto. Mais especificamente desejo agradecer ao Prof Decio Donha, co-autor da monografia Dinâmica do Ponto, que deu origem quase que na íntegra, ao capítulo VI de mesmo nome. * Também ao Prof. Francisco Nigro, autor das notas de aula referenciadas das quais foi extraído . o ítem VII.5 - Balanceamento, Aconselho o leitor a ter contato com ambas as obras que estão referenciadas no final do livro. É digno de nota ainda que o item sobre Baricentro (item C.1) foi adaptado da apostila do Prof. Albanese e do Prof. Amadeu Matsumura e o item sobre Sistemas de Unidades (item 1.1) foi adaptado do trabalho do Prof. Giorgio Giacaglia e do Prof, Hubert Alqueres, Ou seja, o presente texto, tem por objetivo principal juntar um pouco do material de- senvolvido por todos estes professores, de forma integrada e coerente, com notação vetorial e padronizada, segundo a ótica do autor. para propiciar uma opção de livro de mecânica para ser utilizado no primeiro ano dos cursos de engenharia. Gostaria ainda de tembrar a tradição e cultura do ensino de mecânica no Estado de São Paulo, em particular na Escola Politécnica e no Instituto Mauá de Engenharia, onde vários de nossos mestres atuaram ao longo de suas carreiras. Gostaria também de tembrar de mestres importantes, cuja oportunidade de assistir as suas aulas, foram de suma importânica para a minha formação como Prof. Amadeu Matsumura, Prof.Luis França, Prof. Giorgio Giacagiia, Prof. Paulo Boulos entre outros. Contudo é na presente geração de professores que encontrei um meio de crescimento profissional e acadêmico, ao longo de mais de dez anos ministrando a disciplina de Mecânica. Foram anos de intensas discussões, trocas de notas de aula, substituições de aulas de professores em licença, etc. Gostaria de ressaltar que muito dos exemplos, exercícios, e comentários didáticos apresentados neste livro foram extraídos e elaborados a partir de apostilas dos antigos mestres e de todas estas discussões, provas e listas de exercício elaboradas pelo Grupo de Mecânica Geral da EPUSP. Por fim gostaria de citar nominalmente o atual grupo de Mecânica Geral, cuja ajuda e compreensão foi de suma importância para a concretização real deste texto. Em ordem alfabética dos colaboradores: Celso Pupo Pesce, Clóvis de Arruda Martins, Decio Crisol Donha, Demétrio Cornilios Zachariadis, Edilson Hiroshi Tamai, Emilio Carlos Nell Silva, Etore Apolonio de Barros, Ftávio Buiochi, Leandro Vieira da Silva Macedo, Linilson Rodrigues Padovese, Marcelo Massarani, Raúl González Lima, Ronaldo de Breyne Salvagni e Roberto Ramos Júnior. Agradeço ainda aos alunos de graduação Fabiano Armeilini, Frederico Leoni Franco Kawano, José Carlos Thomaz .Júnior, Rogério Eduardo Silva Santana e Vinícius Casagrande Canheu peio empenho e auxílio na execução desta empreitada. Paulo Carlos Kaminski formou-se em Engenharia Naval (1986) pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo — EPUSP, obtendo o Prêmio Marinha do Brasil e em Administração de Empresas (1991) pela Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo — FEA-USP obtendo o Prêmio Excelência Acadêmica conferido pelo Departamento de Administração FEA-USP ao melhor trabalho de formatura. Obteve ainda o titulo de Doutor em Engenharia (1992), e Livre Docente em Engenharia (1997), ambos pela EPUSP. Desde 1987 é docente do Departamento de Engenharia Mecânica da EPUSP, ministrando entre outras, a disciptina Mecânica Geral. Durante os anos de 1993 e 1994 foi bolsista da fundação Alexander von Humboldt a convite do governo alemão, onde participou de vários projetos de pesquisa e desenvolvimento. Durante sua vida profissional participou de inúmeros projetos de desenvolvimento como engenheiro consultor podendo-se citar produtos de sucesso no mercado dos mais variados como: geladeira, caixa d'agua, conexões hidráulicas, válvulas. submarino, chatas, componentes automotivos, embarcações de recreio, pontes rolantes, coberturas metálicas, carrocerias de caminhão, prensas, sistemas de freio, residências familiares, etc. Ainda profissionalmente é membro de diversas associações nacionais e internacionais como: Associação Brasileira de Ciências Mecânicas - ABCM, Associação Brasileira de Ensaios não Destrutivos - ABENDE, American Institute of Aeronautic and Astronautic - AAA, Associação de Engenharia Automotiva - AEA e Geselischaft flr Angewandete Mathematik und Mechanik — GAMM, entre outras, e membro da Câmara Júnior de Comércio e Indústria Brasil-Alemanha. Tem atuado ativamente como assessor técnico científico de instituições como a CAPES, CNPq e FAPESP e colaborador da FUVEST. sendo atualmente o vice-presidente da AEBA-SP (Associação dos Ex-bolsistas da Alemanha) e vice-presidente do Clube Humboldt do Brasil 1LB. LISTA DE EXERCÍCIOS . 11.8.1 Enunciado... 1.8.2 Respostas .... H1. Estática LA, EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS... 113.1,1 Diagrama de corpo livre H1.1.2 Graus de liberdade... 111,1.3 Vínculos.... [1.1.3.1 Vínculos — sistema de forças bidimensional 1.1.3.2 Vínculos — sistema de forças tridimensional 111.1.4 Eguilíbrio em sistemas bidimensionais. 4.1.5 Equilibrio em sistemas tridimensionai: 1,1.6 Classificação da estrutura quanto ao número de vínculos .. [[E.2. SISTEMAS ESTRUTURAIS H1.2.1 Treliças.. 111.2,1.1 Método dos nós. N1.2.1.2 Método das barras .. 111.2.2 Polias e Fios ..... 11.3. FORÇA DE ATRITO... Hi.3.1 Atrito seco de escorregamento 111.3.1.1 Direção e sentido da força de atrito 113,3.1.2 Módulo da força de atrito 11.3.1,3 Lei de Coulomb 111.4, HIDROSTÁTICA . [1.4.1 Superfícies planas 01,4.2 Superfícies curvas... 1.4.3 Exemplos de resultantes de volumes de pressão [I1.5. EXEMPLOS COMPLEMENTARES RESOLVIDOS [11.6, LISTA DE EXERCÍCIOS HL6.1 Enunciado 1.6.2 Respostas IV. Cinemática do Ponto IVA. INTRODUÇÃO [V.2. CINEMÁTICA ESCALAR IV.2.1 Funções horárias... 1.2.1.1 Velocidade escalar médi 1V.2.2 Velocidade e aceleração .. 7.2.3 Equações da cinemática em função da posição 1.2.3.1 Relacionando vís) e a(s)... 79 1V.3, CINEMÁTICA VETORIAL ... 4.3.1 Trajetória, velocidade e aceleração ... 1.3.2 Estudo do movimento em outros sistemas de coordenadas . 1.3.2.1 Coordenadas cilíndricas .... 1.3.2.2 Coordenadas polares... 1.3.2.3 Coordenadas esféricas. 1.3.3 Componentes Intrínsecas IV.4. EXEMPLOS RESOLVIDOS IV.5. LISTA DE EXERCÍCIOS . 1.5.1 Enunciado 1.5.2 Respostas. V. Cinemática do Corpo Rígido V.1. INTRODUÇÃO ... V.2. TIPOS DE MOVIMENTO . V.2.1 Translação . V.2.2 Rotação em torno de um eixo fixo V.2.3 Movimento roto-translatório . V.2.4 Movimento plano geral V.2.5 Movimento ao redor de um ponto fixo V.2.6 Movimento helicoidal V.2.7 Atos de movimento .. V.3, TEOREMA DO MOVIMENTO RÍGIDO .. V.4. VETOR ROTAÇÃO ................ V.5. FÓRMULA DE POISSON .... V.5.1 Propriedades do vetor de rotação V.6, TEOREMA DO MOVIMENTO GERAL V.6.1 Eixo helicoidal instantâneo V.7. MOVIMENTO PLANO V.7.1 Centro instantâneo de rotação (CIR)... V.7.1.1 Determinação gráfica do CIR V.8. COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS... V.8.1 Leis de composição de velocidades ...... 4.8.2 Lei de composição de acelerações v8.3 Lei de composição de rotações. Y.9. EXEMPLOS COMPLEMENTARES RESOLVIDOS... V.10, LISTA DE EXERCÍCIOS V.10.1 Enunciado .. V.10.2 Respostas...... Au VI. Dinâmica do Ponto Material vil, VI.1. INTRODUÇÃO ..... VL.2. LEIS DA DINÂMICA VL2.1 Primeira lei de Newton ou lei da inércia VI.2.2 Segunda lei de Newton ou lei fundamental da dinâmica V2.3 Terceira lei de Newton ou princípio da ação e da reação V1.2.4 Referencial fixo à Terra . VL.2.5 Equações do movimento V1.2.5.1 Equações intrínsecas do movimento... V1.3. TEOREMAS GERAIS DA DINÂMICA DO PONTO MATERIAL VI.3.1 Teorema da quantidade de movimento linear .. V1.3.2 Teorema da energia cinética ..... Vi.3.3 Expressões do trabalho para alguns casos particulares . VL3.3.1 Trabalho de várias forças concorrentes .... 146 V1,3.3.2 Trabalho de uma força constante VL.3.3.3 Trabalho da força peso . V1,3.3.4 Trabalho da força elástica V1,3.4 Teorema do momento angular VL.3.5 Integral da energia .. VI.4. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UM PONTO MATERIAL V1.4.1 Força dependente do tempo VL.4.2 Força dependente da posição . VI,4.3 Força dependente da velocidade ....... V1.5. MOVIMENTO RESULTANTE DE UM CAMPO CENTRAL VL5.1 Leis de Kepler. VL.5.2 Lei da gravitação... V1.6. MOVIMENTO VINCULADO . V1.7, EXEMPLOS COMPLEMENTARES RESOLVIDOS VLB, LISTA DE EXERCÍCIOS 167 V1.8.1 Enunciado... vL8.2 Respostas... Dinâmica do Corpo Rígido VIi.1 SISTEMAS DE PONTOS MATERIAIS .. VI1,1.1 Resultantes e momentos em relação a um pólo ... Vil.2 TEOREMA DO MOVIMENTO DO BARICENTRO (TEOREMA DA RESULTANTE) VI1.3 TEOREMA DA ENERGIA CINÉTICA VIL3.1 Energia cinética de um corpo rígido .. vII.3.2 Energia cinética no movimento plano... VI1.4 MOMENTO ANGULAR... VII,4.1 Teorema do momento angular . VIL4.2 Cálculo do momento angular de um sistema material rígido Vil,4,3 Teorema do momento angular para movimento plano VIL.4.4 Casos particulares... VILS BALANCEAMENTO .... VIL5,1 O princípio do balanceamento . VII.5.2 Sistema geral... VI1.6 BINÁRIO GIROSCÓPICO VIL.6.1 Precessão estacionária de um giroscópico VI1.7 EXEMPLOS COMPLEMENTARES RESOLVIDOS VIL.B LISTA DE EXERCÍCIOS . VI1.8.1 Enunciado... VIL.8.2 Respostas .... Apêndice À - Vetores A.1. INTRODUÇÃO A.2. VETORES... A.2,1 Segmentos orientados e segmentos equipolentes .... A.2.2 Definição de vetor A.2.3 Adição de vetores. A.2.4 Módulo, direção e sentido A.2.5 Produto de um escalar por um vetor A.3. DEPENDÊNCIA LINEAR E BASE... A.3.1 Base... A.3,2 Base ortonormal «222 «222. A.3.3 Base ortonormal positiva A.4. PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL A.4,1 Produto escalar A4.2 Projeção de um vetor sobre uma reta dada . A.4.3 Produto vetorial. A.5. EQUAÇÕES VETORIAIS A.5.1 Equação vetorial da reta .. A.5.2 Equação vetorial do plano 4.5.3 Produto escalar com incógnita vetorial. A.5.4 Produto vetorial com incógnita vetorial... . VETORES VARIÁVEIS, LIMITES E DERIVADAS A.6.1 Limite das funções vetoriais A.6.2 Derivada de funções vetoriais... A.6.3 Derivada de vetor de módulo constante A. a = Grandezas Mecânicas e Sistemas de Unidades 1.1 E SISTEMAS DE UNIDADES * As grandezas físicas são representadas sempre por um número e uma dimensão. O valor do número depende das unidades utilizadas para a dimensão em questão. Em mecânica, para definir qualquer grandeza, são necessárias três unidades fundamentais: tempo, comprimento, e massa ou força. Uma unidade derivada é escolhida levando em conta relações de dependência entre as grandezas físicas envolvidas. Por exemplo: escolhida a unidade de comprimento e de tempo (fundamentais), resulta a unidade de velocidade (derivada). Notar que se forem escolhidas as unidades de tempo. comprimento e massa como funda- mentais a unidade de força torna-se derivada. Reciprocamente se a unidade de força for escolhida como fundamental, a unidade de massa torna-se derivada. Em virtude de algumas grandezas apresentarem valores extremamente diversos, conforme o fenômeno em estudo, é conveniente usar, além das unidades, seus múltiplos e submúkiplos para evitar números exageradamente grandes ou pequenos, como por exemplo, km (quilômetro) para medir distâncias entre cidades e mm (milímetro) para medir diâmetros de cabos de aço. 1.1.1 55 Sistemas coerentes Para obter um sistema de unidades simples é conventente escolher as unidades derivadas levando em conta a relação de dependência da grandeza física estudada com as grandezas físicas fundamentais. Por exemplo, a potência de um motor é uma grandeza que mede o trabalho realizado por um dado tempo. Assim, potência = a (trabalho/tempo). Ao usar um sistema coerente o. = 1. No Sistema Internacional, S] (a ser visto adiante) a unidade de potência é o watt, que é a potência corres- pondente a 1 joule (trabalho) por segundo (tempo). As fórmulas da mecânica são simplificadas e sem coeficientes numéricos quando são utili- zados sistemas de unidades coerentes. Disto resuita a necessidade, antes de se iniciar um cálculo, de escolher tal sistema. “Adaptação de Giacaglia, G.E.0. e Alquéres, H. (1985) == Grandezas mecânicas e sistêmi Pi: 1.1.2 3% Dimensões das unidades A alternativa natura! de grandezas fundamentais, em mecânica, é dada por: Comprimento Tempo Massa A partir das grandezas fundamentais de dimensão L. T, M derivadas utilizadas no estudo da mecânica. obtêm-se as seguintes grandezas GrândezasDeriv Dimensionalmel St = So + Yot nte: UU = [+ [LT] [= (+ IL) Sistemas de Unidas de 3 A condição de coerência dimensional é apenas necessária e não suficiente para uma expressão estar correta, Existem momentos em que uma lei fisica pode ser obtida através da coerência dimensional. Por exemplo, supondo que se admita que o espaço percorrido por um móvel dependa de sua aceleração (a) e do tempo (t), isto é, s= qa” onde o é um coeficiente numérico e adimensional. A dimensão da fórmula fornece L= (113 qo = po quo Para que seja coerente deve-se ter n = 1,m=2n. Logo: Superfície Volume s= at? Ângulo (adimensionat) Notar que não é possivel obter o valor de «x, que sabe-se igual a meio (1/2) para movimento Densidade em Massa ML uniformemente acelerado. Entretanto, dimensionalmente a expressão está certa. velocidade LTr! Os três sistemas coerentes que utilizam as unidades fundamentais comprimento, tempo e ; massa, são os sistemas: CGS, MKS e SI. Nas unidades da Mecânica, não há diferença entre o Aceleração Ur MkKSeosI. Velocidade Angular T'! Uma ses i j : Aceleração Angular T2 gunda alternativa usual para as grandezas fundamentais, é dada por: Força MT Grandezas. assã 7-2 ES Pressão MUTT Comprimento L 27= Momento MET Tempo T : ma Trabalho, Energia MT] Força F Potência mito Momento de inércia de Massa ML? As dimensões geométricas e cinemáticas não se alteram, pois dependem apenas do com- Primento e do tempo. As grandezas derivadas são ligadas às fundamentais por teis geométricas, mecânicas. etc. Uma relação física deve sempre ser verificada quanto à sua coerência, isto é, as dimensões dos membros à esquerda e à direita de uma igualdade. ou das parcelas de uma soma, devem ser iguais. Por exemplo, a relação: energia cinética = massa x velocidade ao quadrado E=mvy2 é dimensionalmente correta, pois: E) = IMITA (mw2/2] = (MMLIT 2 = (MLTS] Um segundo exemplo pode ser a relação entre a posição ocupada por um corpo em função da posição inicial. da velocidade e do tempo para movimento uniforme. É Grandezas Derivadas :- : Dimensão Massa FTA Densidade FTA Pressão FL? Momento FL Trabalho, Energia FL Potência FUT! Momento de Inércia FTêL Precisão e Algarismos Significativos 7 1.2, E CONVERSÃO DE UNIDADES Ao se calcular alguma propriedade física ou desenvolver uma expressão que representa um fenômeno físico, deve-se escrever as unidades de cada parcela. Se, em algum estágio do de- É í senvolvimento, encontra-se uma expressão com unidades inconsistentes, isto significa - Comprimento m : que foi cometido um erro em algum lugar. s ; As propriedades algébricas das unidades proporcionam um procedimento conveniente para Tempo converter uma grandeza de uma unidade em outra. Basta usar a igualdade para representar a Força kgf ; mesma grandeza física em duas unidades diferentes. Para achar o número de segundos G L. : correspondente a 3 min, deve-se lembrar que: | : q= $0s nes min it F Superfície m : eos É 3 min= 3min x 1 =(3 mín = 1805 Volume m i (3 pi) To Massa UTM | ce 3 ' Peso Específico kgfim . . . mis i Analogamente, a conversão de 100 km/h (100 quilômetros por hora) em metros por Velocidade > segundo, é dada por: Aceleração Mis x 1900mY à Rad/s 100 km /h= sootÉ 278m/s Velocidade Angular , MN Tan 3600 Aceleração Angular Rad/s' 2 Pressão kgt/m E Momento kgixm o . Energia ou Trabalho kgf xm = kgm Í 13. E PRECISÃO E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Potência | kgm/s As medidas experimentais nunca são feitas com precisão absoluta, ou seja, tem a precisão - Lo. que o equipamento de medida utilizado permite. As medidas experimentais sempre apresentam incertezas. A precisão de uma medida com uma régua comum é de 1 mitimetro, enquanto um micrômetro pode medir distâncias de até 0,01 mm ou mesmo menores. A precisão de um número é frequentemente indicada com o simbolo + após o número principal e um segundo número indicando o erro máximo que é possível esperar. Se o diâmetro de uma barra de aço é dado como 25,4 + 0,2 mm (1), isto significa que o vator real está entre 25.2 mm e 25.6 mm. í” Onde: kgf = quilograma-força kgm = quilogrametro UTM = unidade técnica de massa Notar que quando se usam números com incertezas ou erros para calcular outros números. estes também serão imprecisos. isto é importante quando se deseja comparar um número Notar ainda que: através de medidas com um valor obtido por uma previsão teórica ou analítica. Suponha que se 98N=1kgf + deseja medir o valor de x, a razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro da + atm = 10º kgfim? mesma. O valor correto (teórico), com dez algarismos, é 3,14/592654. Desenhando a Circunferência e medindo o diâmetro e a circunferência com precisão de um milimetro, obtém- se os valores 135 mm e 424 mm. respectivamente. Fazendo o quociente dos dois números, De forma análoga ao Sl a unidade de pressão é pequena no MK*S. Usualmente usa-se em obtém-se 3,140740741. kgf/emê. Notar que apenas os três primeiros algarismos do resultado encontrado têm significado. Notar que: Geralmente, nenhum resultado numérico deve ter mais algarismos significativos do que os Números que forem usados para calculá-to. Assim, O valor de x encontrado tem apenas três algarismos significativos (número de algarismos significativos das medidas) e deve ser escrito simplesmente 3,14. Dentro do limite de três algarismos significativos, 0 valor nhtido exnerimen- falmsace - | kgficmê = 10º kgttm? o Nos anmuezas icanicas é sistema qr tirante Notar que escrever um resultado com dez algarismos a partir de números com três algarismos significativos. é um erro que distorce a precisão dos resultados. Deve-se sempre colocar apenas o número de algarismos significativos. Em cálculos com números muito grandes ou muito pequenos, as considerações sobre alga- rismos são simplificadas pelo uso da notação em potências de dez, às vezes chamadas de notação científica. O raio equatorial médio da Terra é aproximadamente igual a 6.378.000 m. Em potência de 10 é 5,378 x 108 m. A forma mais adequada de apresentar o número está ligada com o número de algarismos significativos. Para este caso específico a medida provavelmente não foi feita com sete algarismos significativos, e sim com menos. Se a medida foi feita com quatro, a forma mais adequada de escrever é a segunda. Considerações semelhantes devem ser feitas quando números muito grandes ou muito pequenos são somados, subtraidos. multiplicados ou divididos. EXEMPLOS RESOLVIDOS Qual é a velocidade angular em rad/s do eixo de um motor elétrico com rotação nominal de 1.200 rpm? Lembrando que 1 rpm = 60 rpse 2x rad/s = 1 rps, rps 1.200 rem = 1.200 rpm x =20rps p ? 60 rpm P 20 rps= 20 rpsx 28 20/S = agp rad/s rps Resposta: 40xradis ii — - nm Exemplo 2: Qualéo valor em rad/s de uma vibração de um suporte metálico de frequência 50 Hz? Lembrando que 1 Hz = 1 rps 50 Hz=50 rps=50 rpsx Ex cad! iogrradis Ss 100x rad/s A lei da gravitação universal de Newton estabelece que a força entre dois corpos é proporcional às massas dos corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. a) Determine a dimensão da constante G de proporcionalidade da equação desta lei. b) Sabendo-se que o valor dessa constante G no SI é 6,67-10"!!, calcule seu valor no sistema C6S. Exemplos Resolvidos E) Solução: F=gMM Tê ML | Mê ML | E [dele eres = nom 3 S=867x108 E 6x0 Do y d0tem? kg x -g67x108. 0º q koxs mm gg * gxs? Resposta: a) [G] = [LM TS, D) G=8,67x10% cmg Exemplo 4: A equação dimensional de , c uma grandeza X. em função “grandezas fundamentais mecânicas L (comprimento), M (massa) e lero) gindezas EX] = [LIS IMPº IT]! Observa-se que: “ utilizando-se como unidades fund: segundo em vez do metro, : de X fica dividida por 108. À lamentais o centímetro, o quilograma e o quilograma e segundo respectivamente, a unidade utilizando-se o metro. grama e se É : gundo em vez do met; j i Segundo. a unidade de X fica multiplicada por 103: To, quilograma e utilizando-se o metro, quilo: ji . grama e minuto em v ' e segundo, a unidade de X não se alt “é de metro, quilograna era. a) Calcule os valores de a, Bey. b) Qual é a grandeza X7 Qual é sua unidade no str a) X=[myPlkgjPIgt = LMICTegpPIsg” 108 o O teme E rkot! Em]º x SA p = temp iá Jº x mé x [kg] Is)" ER gos X=[mj kgs] = Imp tos! x 107 a og Emi? x [kg xi =P AO spo X= Im toPs! = [mi tg min! a imin)* maia = Ingmar = p=0 kg db) X= s = densidade. m lensidade em massa, aIsuemnas ge rarças Aplicadas a Corpos Rígidos; Sistemas Equivalentes 13 CAPÍTULO ''«.. Forças e Momentos Figura 2 — Representação gráfica do momento io Jt.1 E FORÇAS COMO GRANDEZA VETORIAL i Observação: [1.1 Força * Se0ert > Nyx : Mg não é um vetor aplicado (não tem ponto de aplicação). . j or À dies j - Uma força representa a ação de um corpo sobre quiro. sendo dao do ehcação ve + À distância do pólo O à reta r dá-se o nome de "braço do momento”. an á 5 ó e um poi - ã ; aplicado, isto é: uma direção, sentido, módulo (intensidade) Pp: Notar que não necessariamente a distância de P (| braço do momento, como ilustra à Fig.3. ponto de aplicação da força) ao ponto O é o Figura 1 Representação gráfica Figura 3 de uma força “Braço do Momento” A reta definida pelo ponto de aplicação (P) e pela direção é denominada de reta de ação da força, que pode ser expticitada por: Q=P+aF 2 SISTEMAS DE FORÇAS APLICADAS A CORPOS RÍGIDOS: A força é definida pelo vetor É e pelo ponto de aplicação P: (É, P). SISTEMAS EQUIVALENTES O conjunto de forças que agem num corpo será chamado "sistema de forças”. 11.2 Vetor momento de uma força Charna-se vetor momento de uma força (É, P) em relação a um ponto qualquer O (pólo) ao 2.1 -Resultante e momento de um sistema de forças vetor: Mo= (P-0)AÊ A resultante de um sistema de forças é um vetor livre o = (P- lt (sem ponto de aplicação). dado pela Soma vetorial de todas as *n” forças do sistema, isto é: Sistemas de Forças Aplicadas à Corpos Rígidos: Sistemas Equivalentes 15 14 Forças & Momentos - o Ma My = UP =A)-(P-B)JAB=(B-A)A 5, (=) En Mo MB-AJAR mm Notar que o vetor À não é uma força, pois ele não tem ponto de aplicação definido. i Por definição, o momento resultante de um sistemas de forças (Ê. P;), em relação 29 pólo A expressão resultante é a fórmula de mudanças de pólo. Qéovetor: Da análise da expressão de mudança de pólo obtêm-se algumas propriedades importantes a de um sistema de forças listadas a seguir: Mo= > (-0)4Ê | = a) Se R = Ô, o momento do sistema independe do pólo; b)Se = Mp. Vqueseja A. resulta (B-A)nR=Óparava =>R=Ô 1.2.2: Teorema de Varignon (forças concorrentes) 0) Se Re O, Ma = Mp é (B- AJ R . ' : d) Ma = My + (B— A) A É multiplicando-se escalarmente por R, obtém-se: Figura 4 Ma R= Mo: R= Forças concorrentes Ao escalar | dá-se o nome de “invariante escalar do sistema”. Assim sendo, é importante notar que para um sistema de forças qualquer a projeção do momento do sistema de forças em relação a um pólo qualquer na direção da resultante é constante. 1.2.4 - Momento em relação a um eixo Figura 5 Momento em relação a um eixo qualquer O teorema de Varignon pode ser enunciado como: *Q momento de um sistema de io concorrentes em relação a um pólo O qualquer é igual ao momento em relação a O da resultante do sistema suposta aplicada no ponto de concurso das forças”. De fato, seja (5. P) 0 sistema; então: Seja D o versor diretor da reta r e O um ponto qualquer desta reta. O momento do sistema Mas DU P-0),E=(P-OA A > Mo=(P-OA (F,. P;) em relação a este eixo é o escalar dado por: JA o = it Mu= Mod O momento M, mede a tendência de imprimir ao corpo um movimento de rotação em . . relação ao eixo definido pelo versor à. Será mostrado que o momento M, do sistema em relação H.2.3 :3 Mudança de pólo ao eixo OU independe do pólo O pertencente a este eixo. De fato: Sejam A e B, dois pontos distintos, o momento de um sistema (F;, P;). em relação a estes me= Rod o pólos é: utilizando a fórmula de mudança de pólo, vem: “> M, =D e-naE Mj= ho + (0-0) A BJ-6= Mo 6 - o . Pois (O — 0')//0, daí: 2 Mie My Mo =D (P-BAR Notar que se uma força for paralela a um eixo, seu momento em relação a este eixo será nulo. El0=o My, =HP-0)nF)-0=0 Subtraindo as expressões anteriores obtém-se: 18 Forças e Momentos Ri=Re-R Mal = MZ = My Sejam Mg e Mg. onde B é um outro pólo qualquer: Mi=tl+(A-B)A = Ma +(A-BJAR Analogamente: Mi=ME+(A-B)nRo= Ma + (A-BJAR logo: M) = MÊ Mostrou-se, portanto, que S' e S? terão momentos iguais em relação a qualquer pólo. Assim sendo, dois sistemas de forças aplicadas a um corpo rigido são equivalentes se tiverem mesma resultante e mesmo momento com relação a um mesmo pólo. soficê = 02 Observações: * Dois binários são equivalentes se tiverem mesmo momento. * Toda força pode deslizar sobre sua linha de ação: Figura 10 Vetor deslizante Ou seja. toda força é equivalente a outra que possua a mesma reta de ação, mesmo sentido e mesma intensidade (pontos de aplicação distintos). Devido a esta propriedade pode-se chamar o vetor F de "vetor deslizante”. UE DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA EM UMA FORÇA E UM BINÁRIO O objetivo deste item é a mudança de aplicação da força F que atua em um corpo rígido no ponto À (como indica a Figura) para um ponto O genérico, sem alterar o sistema de forças (sistemas equivalentes). Não se pode simplesmente mover a força F para o ponto O, já que ele está fora da linha de ação de F. Porém. pode-se aplicar duas forças iguais e opostas É e -F em O (ver Figura), de modo a não ocorrer qualquer alteração nas forças externas que atuam no corpo. Após essa transformação a força F está aplicada em O e as outras duas forças restantes formam um binário de momento Mo = (À — 0) A F. Conclui-se que a força aplicada em um corpo rígido pode ser deslocada para um ponto O fora de sua linha de ação, desde que seja adicionado um binário de momento cuia eirerão e módulo são determinados pela exoressão anterior. Decomposição de uma Força em uma Força e um Binário 19 Figura 14 — Mudança da ponto de aplicação 11,4 E REDUÇÃO A UM SISTEMA DE DUAS FORÇAS “Um sistema S qualquer de forças aplicadas a um sólido é equivalente a um sistema S' de duas únicas forças.” Para demonstrar tal afirmação considere um sistema de forças qualquer aplicado em um sólido, como ilustra a Fig. 12. Figura 12 Sistema de forças qualquer Sejam A, Be € pontos não alinhados. Figura 13 Decomposição de cada força Observa-se que cada força do sistema pode ser decomposta nas direções definidas por A-P, B-P,e C-P, conforme mostrado na Fig. 13. Deslocando as parcelas assim obtidas para os pontos À, Be €, respectivamente, obtém-se o sistema equivalente mostrado na Fig. 14. Figura 14 Deslocamento das parcelas Somando as componentes concorrentes em A, Be C obtém-se um sistema de 3 forças equivalentes. Figura 15 Sistema de 3 forças neuução a um sistema de uuas rorças “a Agora, sejam os planos B passando por A e By Y passando por A e À Sabe-se que; Bmy=r, uma reta que contém A Figura 16 Planos Be y | i Seja P um ponto genérico pertencente à reta . Decompondo É, nas direcô R F . as direções AB nas direções AC e PC. tem-se: ú Ê ' eme Figura 17 Decomposição de Re Re 
