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Notas de Aula - Probabilidade USP
Tipologia: Notas de aula
Compartilhado em 23/11/2017
1 / 136
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Não perca as partes importantes!
Este livro destina-se a estudantes de cursos de probabilidade em nível de Gradua-
ção e Mestrado. Os temas abordados são: Análise Combinatória, Probabilidade, Variá-
veis Aleatórias, Esperança e Teoremas Limites. No começo de cada capítulo, visando à
recordação da matéria, reúnem-se em forma de tópicos as principais definições e resulta-
dos. Para mais detalhes e demonstrações, sugerimos ao leitor que consulte as referências
bibliográficas. Ao final de cada capítulo, enunciam-se os exercícios correspondentes à
teoria exposta, alguns dos quais têm a solução apresentada.
Cumpre-nos salientar que, por fins didáticos, decidimos definir os principais modos
de convergência para tratar dos teoremas limites. As seções e os tópicos marcados com
um asterisco correspondem a assuntos mais avançados, que podem ser omitidos em uma
primeira leitura. Os exercícios que envolvem esses assuntos também estão assinalados.
Aceitaremos, com prazer, as críticas e sugestões que nos permitam aperfeiçoar o livro.
Gostaríamos de expressar nosso agradecimento aos professores com os quais con-
vivemos nos anos de formação acadêmica, assim como aos autores e docentes cujos livros,
listas de exercícios e provas nos serviram de fonte. Agradecemos também ao Departa-
mento de Estatística e à Comissão dos Cursos de Verão do IME–USP, à CAPES-PROEX
e à FAPESP, pelo apoio recebido.
Novembro de 2008. Os autores.
Capítulo 1
Análise Combinatória
1.1. Princípio multiplicativo: Uma tarefa deve ser executada em uma seqüência de
r etapas. Existem n 1 maneiras de realizar a primeira etapa; para cada uma dessas n 1
maneiras, existem n 2 maneiras de realizar a segunda etapa; para cada uma dessas n 2
maneiras, existem n 3 maneiras de realizar a terceira etapa, e assim por diante. Então, o
número total de maneiras de efetuar a tarefa completa é dado por n 1 n 2_... nr_.
Observação. Ao usar o princípio multiplicativo, é fundamental que o número de manei-
ras de realizar uma determinada etapa não seja influenciado por nenhuma das etapas
predecessoras.
1.2. Princípio aditivo para partes disjuntas: Se A 1 ,... An são conjuntos dois a dois
disjuntos, então ∣∣ ∣∣ ⋃^ n i =
Ai
∣∣ ∣∣ = ∑^ n i =
| Ai |.
Princípio da Inclusão-Exclusão: Em geral, devemos usar
∣∣ ∣∣ ⋃^ n i =
Ai
∣∣ ∣∣ = ∑ i
| Ai | −
∑ _i 2 Análise Combinatória
Observação. Uma fórmula muito importante quando se trata de fatoriais foi obtida por
Stirling (1730):
n! ∼ nne − n
2 πn,
onde o símbolo ∼ indica que a razão entre os dois lados tende a 1 quando n → ∞.
1.6. Permutações circulares: O número de maneiras de dispor n objetos distintos em
torno de um círculo é ( n − 1)!.
Nessa contagem, interessa apenas a posição relativa dos objetos entre si, ou seja, duas
disposições são consideradas indistinguíveis se uma pode ser obtida a partir da outra por
uma rotação conveniente dos objetos.
1.7. O número de palavras de comprimento k que podem ser compostas com n elementos
dados é nk.
1.8. Arranjos: O número de k -subconjuntos ordenados de um n -conjunto é
( n ) k = n ( n − 1)... ( n − k + 1).
1.9. Combinações: O número de k -subconjuntos de um n -conjunto é ( n k
n! k! ( n − k )!
que é chamado um coeficiente binomial. Estes números podem ser arrumados em uma
disposição triangular, o famoso Triângulo de Pascal.
1.10. Teorema Binomial: Para quaisquer n ≥ 0 inteiro e x, y ∈ R,
( x + y ) n^ =
∑^ n k =
( n k
) xk^ yn − k.
1.11. O número de divisões possíveis de n objetos distintos em r grupos distintos de
tamanhos respectivos n 1 , n 2 ,... , nr ( n 1 + n 2 + · · · + nr = n ) é ( n n 1 , n 2 ,... , nr
n! n 1! n 2!... nr!
Esta fórmula também fornece o número de anagramas de uma palavra com n letras que
contém n 1 vezes a letra _ 1 , _n_ 2 vezes a letra _ 2 ,... , nr vezes a letra `r ( n 1 + n 2 +· · ·+ nr = n ).
4 Análise Combinatória
B está imediatamente antes da letra A , obtemos um total de 2. 5! = 240 permutações diferentes.
(b) Sejam A o conjunto das permutações que começam por A e F o conjunto das permuta- ções que terminam em F. Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o número de permutações que começam por A ou terminam em F é
|A ∪ F| = |A| + |F| − |A ∩ F| = 5! + 5! − 4! = 216_._
(c) Existe um total de 6! = 720 permutações possíveis, e existem tantas com A antes de B quantas com B antes de A , logo a resposta é 360.
(d) Existem 5! permutações em que a letra E é a última, portanto 6! − 5! = 600 permu- tações em que E não é a última letra.
2. Numa prova, um estudante deve responder exatamente 7 questões de um total de 10 questões. Quantas escolhas ele tem? Quantas escolhas ele tem se entre as 7 questões deve responder pelo menos 3 das primeiras 5 questões?
Solução. O estudante deve escolher um subconjunto de tamanho 7 de um conjunto com 10 elementos, logo tem
( 10 7
) = 120 escolhas.
No caso em que entre as 7 questões deve responder pelo menos 3 das primeiras 5 questões, o estudante possui três opções (disjuntas):
Assim, o total de escolhas que tem é ( 5 3
)( 5 4
)
( 5 4
)( 5 3
)
( 5 5
)( 5 2
) = 110_._
Outra resposta para a segunda pergunta: 120 −
( 5 2
)( 5 5
) = 110.
3. Um pai compra 7 presentes diferentes (entre os quais, um videogame e um relógio) para dar a seus três filhos.
(a) De quantas maneiras ele pode dividir os 7 presentes entre os filhos, se decide dar 2 presentes ao filho mais velho, 2 presentes ao filho do meio e 3 presentes ao mais novo? (b) De quantas maneiras ele pode dividir os 7 presentes, se, além da divisão 2 ao mais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, ele resolve dar pelo menos um entre o videogame e o relógio ao filho mais velho? (c) De quantas maneiras ele pode dividir os 7 presentes, se, além da divisão 2 ao mais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, ele decide dar exatamente um entre o videogame e o relógio ao filho mais velho?
Exercícios 5
Solução. (a) O número de divisões possíveis de n objetos distintos em r grupos distintos de tamanhos respectivos n 1 , n 2 ,... , nr ( n 1 + n 2 + · · · + nr = n ) é ( n n 1 , n 2 ,... , nr
n! n 1! n 2!... nr!
Assim, a resposta é (^) ( 7 2 , 2 , 3
Outras respostas: • O pai dispõe os presentes numa fila, os dois primeiros destinados ao filho mais velho, os dois seguintes ao filho do meio e os três últimos ao mais novo. Existem 7! maneiras de ordenar os presentes, porém fixada uma ordenação entre os presentes, a ordem dos presentes de cada um dos filhos pode ser alterada, sem mudar a distribuição.
Dessa forma, o pai tem
= 210 maneiras de distribuir os presentes.
( 7 2
) = 21
modos; em seguida, deve escolher 2 dos 5 presentes restantes para o filho do meio (
( 5 2
) = 10 modos); os 3 presentes que sobram são do mais novo. A resposta é 21_._ 10 = 210.
(b) Sejam
nv = Número de maneiras de dividir os presentes, sendo 2 ao filho mais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, com o mais velho ganhando o videogame;
nr = Número de maneiras de dividir os presentes, sendo 2 ao filho mais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, com o mais velho ganhando o relógio;
nvr = Número de maneiras de dividir os presentes, sendo o videogame e o relógio ao filho mais velho, 2 outros presentes ao do meio e 3 ao mais novo.
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, a resposta é dada por:
nv + nr − nvr = 2_._
Outra resposta: 210 −
( 5 2
)( 5 2
) = 110.
(c) Sejam
N 1 = Número de maneiras de dividir os presentes, sendo 2 ao filho mais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, com o mais velho ganhando o videogame porém não o relógio;
N 2 = Número de maneiras de dividir os presentes, sendo 2 ao filho mais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, com o mais velho ganhando o relógio porém não o videogame.
Uma forma de obter N 1 é observar que o pai tem
( 5 1
) = 5 escolhas para o outro presente
para o filho mais velho e
( 5 2
) = 10 maneiras de dividir os 5 presentes restantes entre os filhos menores, logo N 1 = 5_._ 10 = 50. (Outro modo seria notar que N 1 = nv − nvr ). Analogamente, temos que N 2 = 50. Visto que N 1 e N 2 se referem a opções disjuntas, o número de maneiras é N 1 + N 2 = 100_._
Exercícios 7
(b) Contemos os números:
Começados por Quantidade Acumulado 1 4! = 24 24 2 4! = 24 48 41 3! = 6 54 42 3! = 6 60 46 3! = 6 66
Assim, o 66º número é o último (maior) que começa com 46, portanto o 46721.
(c) Visto que 166 = 5_._ 33 + 1, o 166º algarismo escrito é o primeiro do 34º número. Os 24 primeiros números começam por 1 e os 24 seguintes por 2, logo o 34º número começa por 2. Assim, o 166º algarismo escrito é 2.
(d) Iniciamos como se deve: somando as unidades dos números formados. Cada um dos algarismos 1, 2, 4, 6, 7 aparece como algarismo das unidades em 24 números, portanto a soma das unidades dos números é 24_._ (1 + 2 + 4 + 6 + 7) = 480_._ Analogamente, a soma das dezenas é 480 dezenas, isto é, 4800. A soma das centenas é 48000, a das unidades de milhar é 480000 e a das dezenas de milhar é 4800000. A soma total fica então
6. Quantos são os anagramas da palavra “PARAGUAIO” que não possuem consoantes adjacentes?
Solução. Arrumemos inicialmente as vogais, o que pode ser feito de 6! / 3! = 120 modos, e depois colocamos as consoantes de forma que não fiquem adjacentes. Arrumadas as vogais (digamos na ordem “AAUAIO”), temos 7 escolhas para a colocação do P, 6 para o R e 5 para o G. Assim, existem 120_._ 7_._ 6_._ 5 = 25200 anagramas de “PARAGUAIO” que não possuem consoantes adjacentes.
Outra resposta: Escolhida a ordem das consoantes, decidimos quantas vogais desejamos colocar nos quatro espaços disponíveis (de forma que não fiquem consoantes adjacentes) e finalmente permutamos as vogais. O total fica 3!
( 7 3
) 6! / 3! = 25200.
7. Quantos são os números inteiros positivos menores que 360 e primos com 360?
Solução. Notamos que 360 = 2^3_._ 32_._ 5 e definimos os conjuntos
A 1 = { x ∈ A : x é múltiplo de 2} ,
A 2 = { x ∈ A : x é múltiplo de 3} ,
A 3 = { x ∈ A : x é múltiplo de 5}.
8 Análise Combinatória
Desejamos calcular a cardinalidade do conjunto A \ ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ). Porém,
| A 1 | =
Portanto, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão,
| A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 | = 180 + 120 + 72 − 60 − 36 − 24 + 12 = 264_._
Assim, existem ao todo 96 números inteiros positivos menores que 360 e primos com 360.
8. Uma bolsa contém 8 moedas de 1 real, 7 moedas de 50 centavos, 4 moedas de 25 centavos e 3 moedas de 10 centavos. De quantos modos diferentes podemos retirar 6 moedas dessa bolsa?
Solução. Definimos
x 1 : número de moedas de 1 real , x 2 : número de moedas de 50 centavos ,
x 3 : número de moedas de 25 centavos , x 4 : número de moedas de 10 centavos_._
Queremos obter o número de soluções inteiras não-negativas da equação x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 6 , satisfazendo as condições x 1 ≤ 8 , x 2 ≤ 7 , x 3 ≤ 4 e x 4 ≤ 3. Sejam os conjuntos
A = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ N^4 : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 6} , A 1 = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ A : x 1 ≥ 9 } ,
A 2 = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ A : x 2 ≥ 8 } ,
A 3 = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ A : x 3 ≥ 5 } , A 4 = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ A : x 4 ≥ 4 }.
Então, o número pedido é y = | A | − | A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 |. No entanto,
| A | =
( 9 3
) = 84 , | A 1 | = | A 2 | = 0 , | A 3 | =
( 4 3
) = 4 , | A 4 | =
( 5 3
) = 10 ,
| Ai ∩ Aj | = 0 , 1 ≤ i < j ≤ 4 ,
| Ai ∩ Aj ∩ Ak | = 0 , 1 ≤ i < j < k ≤ 4 e
| A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 | = 0_._
Usando o Princípio da Inclusão-Exclusão, obtemos que y = 84 − 4 − 10 = 70.
10 Análise Combinatória
Determine o número total de sinais que podem ser transmitidos.
21. Suponha que João vai participar de uma reunião na qual estarão mais 4 homens e 6 mulheres. Ele sabe que há 4 casais, porém não conhece ninguém.
(a) De quantas formas poderia João imaginar que estão formados os casais? (b) E se sabe que há exatamente 3 casais?
22. (a) De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas, deno- minados Esporte, Tupi e Minas?
(b) De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas?
23. Quantos são os anagramas da palavra “ARARAQUARA” que não possuem duas letras A juntas? 24. Quantos são os anagramas da palavra “CONTADORIA”
(a) em que aparecem juntas, nesta ordem, as letras da palavra CONTO? (b) em que aparecem juntas, numa ordem qualquer, as letras da palavra CONTO? (c) em que as letras da palavra CONTO aparecem nesta ordem?
25. Considerando o alfabeto com 26 letras, existem quantas seqüências de 4 letras distin- tas com pelo menos uma vogal? 26. Dentre todos os números de 7 algarismos, quantos possuem exatamente três algaris- mos 9 e os quatro algarismos restantes todos diferentes? 27. Quantas são as permutações dos 10 números 0 , 1 ,... , 9 em que o primeiro dígito é maior do que 1 e o último dígito menor do que 7? 28. Representantes de dez países, incluindo a Rússia, França, Inglaterra e Estados Unidos, serão dispostos em uma fila. De quantas maneiras isso pode ser feito, se os representantes da França e da Inglaterra devem ficar um ao lado do outro, e o americano e o russo não devem? 29. Teresa pretende convidar 5 de 11 amigos para um jantar em sua casa.
(a) Quantas escolhas Teresa possui, se 2 dos 11 amigos são desafetos e não aceitam estar juntos? (b) Quantas escolhas Teresa tem, se 3 dos 11 amigos não aceitam participar do jantar a menos que juntos?
30. De quantos modos se podem repartir 27 livros diferentes entre Ana, Beto e Carla, de forma que Ana e Beto, juntos, recebam o dobro de livros de Carla e que ninguém fique sem livro?
Exercícios 11
31. Quantos números de 6 algarismos podemos formar com 3 pares distintos de algarismos iguais? 32. De quantas maneiras se podem pintar seis esferas iguais, usando-se apenas três cores diferentes? 33. De quantas maneiras podemos distribuir 30 laranjas para 4 crianças de forma que cada uma receba pelo menos duas laranjas? 34. Obtenha uma fórmula para o número de soluções inteiras não-negativas da inequação
x 1 + · · · + xn ≤ p ( p > 0 inteiro dado).
35. Obtenha uma fórmula para o número de soluções inteiras não-negativas da equação
x 1 + · · · + xn = p ( p > 0 inteiro dado)
satisfazendo xi ≥ ai para todo i = 1 ,... , n , onde a 1 ,... , an são inteiros não-negativos tais que a 1 + · · · + an ≤ p.
36. Quantos inteiros entre 1 e 100000 têm a propriedade de que cada dígito é menor ou igual ao seu sucessor? 37. Em um amigo secreto, dizemos que o sorteio é viável se nenhuma pessoa fica com seu próprio nome. Quantos sorteios viáveis existem em um amigo secreto com 4 pessoas? 38. Obtenha o número total de permutações de (1 , 2 ,... , 2 n ) em que nenhum número ímpar ocupa o seu lugar primitivo. 39. Se quatro americanos, três franceses e três ingleses são colocados em uma fila, deter- mine o número de maneiras de dispô-los de forma que nenhum grupo de mesma naciona- lidade fique todo junto. 40. Quantos inteiros entre 1 e 33000 não são divisíveis por 3, por 5 e nem por 11? 41. Quantos inteiros entre 1 e 1000000 não são quadrados perfeitos, cubos perfeitos e nem quartas potências perfeitas? 42. Quantos números de n algarismos ( n ≥ 3 ) podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3, de forma que em cada número figure cada um desses três algarismos pelo menos uma vez? 43. Quantos inteiros entre 1 e 10000 têm soma de seus algarismos igual a 23? 44. No elevador de um edifício entram seis pessoas. De quantas maneiras essas seis pessoas podem saltar no primeiro, segundo e terceiro andares, de forma que salte pelo menos uma pessoa em cada um desses andares?
Respostas 13
18. (a) 5852925 (b) 5846490 (c) 3755115 19. 2279881890 20. 656 21. (a) 360 (b) 480 22. (a) 756756 (b) 126126 23. 120 24. (a) 360 (b) 21600 (c) 15120 25. 215160 26. 99120 27. 2056320 28. 564480 29. (a) 378 (b) 84 30. ≈ 1 , 23_._ 1012 31. 9720 32. 28 33. 2300
34.
( p + n n
)
( p − a 1 −···− an + n −^1 n − 1
)
∑^ n k =
(−1) k
( n k
) (2 n − k )!
42. 3 n^ − 3_._ 2 n^ + 3 43. 480 44. 540
14 Análise Combinatória
