mecânica aplicada ELEEM, Exercícios de Mecânica Aplicada

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1

MECÂNICA APLICADA

Ricardo Nuno F. do Carmo

Instituto Superior de

Engenharia de Coimbra

Departamento de

Engenharia Mecânica

2

Deformação das estruturas

Efeitos de 2ª ordem

3

Determinar o valor da força resultante e o

ângulo que faz com a linha horizontal.

Exemplo 1

A 20º

*)

*) Figura do livro “Vector mechanics for enginners. Statics.” De Ferdinand P. Beer, E. Russell

Johnston Jr, Elliot Eisenberg

Resolução

1. Gráfica: regra do paralelograma de forças ou

regra do triângulo de força

b b

2. Trigonometria:

60.sen25º = 25,

60.cos25º = 54,

a

Calcular o ângulo a:

tga =[25,35/(40+54,38)]  a = 15,03º

b = 20º+15,03 = 35,03º

Valor da força resultante = (94,38)

2 +(25,35)

2 = 97,73 N

4

Momento de uma força em relação a um ponto

*) Imagens da internet

7

Momento de uma força em relação a um eixo

Resolução

Componente em xx: Fx = 30.cos60º = 15 N

Componente em yy: Fy = 30.cos60º = 15 N

Componente em zz: Fz = 30.cos45º = 21,21 N

M

aa

= 15x150 +21,21x100 = 4371 N.mm

Determine o momento da força F em

relação ao eixo aa.

A projecção do vector do momento da força Fy no eixo aa é nula (esse vector é

perpendicular ao eixo aa) mas os momentos correspondentes às componentes Fx

e Fz já têm projecção nesse eixo.

8

Sistema de forças equivalente

P P e

c.g.

P

A c

sup

P.e

w

w inf

P.e

Diagrama de tensões na secção de betão (^)  c

c.g.

contra-flecha

Deformada

Força aplicada com uma excentricidade ‘e’ em relação ao c.g. da secção da viga

P

M = F. e

P

M = F. e

9

Exemplo 2

*)

Determinar as components em xx e em yy

da força resultante, o valor da força

resultants e o ângulo que faz com a linha

horizontal.

*) Figura do livro “Vector mechanics for enginners. Statics.” De Ferdinand P. Beer, E. Russell

Johnston Jr, Elliot Eisenberg

Resolução

Componentes em xx:

F1x=2,4.cos50º = 1,54 kN

F2x=1,85.cos20º = 1,74 kN

F3x=1,4.cos35º = 1,15 kN

Rx = 4,43 kN

Componentes em yy:

F1y=2,4.sen50º = 1,84 kN

F2y=1,85.sen20º = 0,63 kN

F3y=-1,4.sen35º = - 0,80 kN

Ry = 1,84+0,63-0,80 = 1,67 kN

R

2 = Rx

2 +Ry

2

R = 4,73 kN

tga = 1,67/4,43 

a = 20,66º

Ou

sena = 1,67/4,

*) Figuras do livro “Vector mechanics for enginners. Statics.” De Ferdinand P. Beer, E. Russell 10

Johnston Jr, Elliot Eisenberg

Representação das forças desconhecidas - reacções

13

A força de atrito deve-se às rugosidades da

superfície e do objeto

Reacção é normal à superfície de contacto

Plano inclinado com atrito

*) Imagens da internet

Reacções em superfícies polidas ou rugosas

14

Exemplos de apoios

*) Imagens da internet

15

Exemplos de apoios

*) Imagens da internet

16

Equilíbrio de sistemas planos

Estruturas hipostáticas

Não são estruturas estáveis, há pelo menos um movimento que não está restringido

Geralmente têm um número de reacções de apoio inferior ao nº de equações de

equilíbrio estático, depende do problema em causa, mas pode haver casos em que a

reacções de apoio são superiores ao nº de equações de equilíbrio estático (só que não

estão “correctamente” definidas)

Grau de liberdade Grau de liberdade

Grau de liberdade:

rotação

19

Tipo de estruturas

Estruturas hipostáticas

Estrutura isostática

*) Imagens da internet

20

Tipo de estruturas

NOTA: a hiperestaticidade da estrutura não depende das acções aplicadas, depende da

geometria da estrutura, das ligações internas e externas (apoios).

Estrutura hipostática Estrutura isostática

Estrutura hiperestática a =1 Parte da estrutura é hipostática

Estrutura isostática Estrutura hiperestática a =1 Estrutura hiperestática a =3 e parte da

estrutura é isostática

21

Equilíbrio de sistemas planos

• Os sistemas isostáticos no plano podem ter 3 reacções desconhecidas que podem ser

determinadas usando o sistema de equações de equilíbrio (estática)

• Para resolver o sistema de 3 equações e com 3 incógnitas devem escolher com

cuidado as equações a usar para ser possível determinar as soluções

R

2

P

O

Y

X





















0

0

0

O

y

x

M

F

F

R

1

R

3

É possível

determinar as

reacções R1,

R2 e R

2

1

O

O

x

M

M

F

O

1

O

2

É possível

determinar as

reacções R1,

R2 e R

O

3 P

O

4

4

3

O

O

x

M

M

F

É possível determinar as

reacções R1 e R3 mas

não a R





















0

0

0

3

2

1

O

O

O

M

M

M

É possível

determinar as

reacções R1,

R2 e R

22

Equilíbrio de sistemas planos

R

2

1m

O

y

x

M

F

F

R

1

R

3

100 kN

3m

50 kN

Fx = 0; R 1

- 50 = 0  R

1

= 50 kN

Fy = 0, R 2

+ R

3

- 100 = 0  R

2

= 75 kN

M

A

= 0; 100x1 - 4R 3

=0  R

3

= 25 kN

A

B

C

Determine as reacções usando o seguinte sistema de equações

25

Exemplo 1

A barra AB está suportada no ponto A e por

um cabo no ponto B. A força que o painel de

sinalização exerce nas correntes são: DE 225

N e FH 135 N. O valor de d é 0.39 m,

Determine a força de tracção no cabo BC e as

forças de reacção no apoio A.

225N

135N

VA

H A

V H B B

Resolução

Usar as equações de equilíbrio de um corpo no

plano: são 3 equações e existem 3 incógnitas.

tg a = 0,39/2,52  a = 8,8º

H

B

= T

BC

.cos8,8 e V B

= T

BC

.sen8,

1º M

A

= 0; 225x0,66+135x2,16-T BC

.cos8,8x(0,75-0,39)-T BC

.sen8,8x2,52=0  T BC

=593,8N

2º Fx = 0; H A

- T

BC

.cos8,8 = 0  H A

= 586,8N

3º Fy = 0, V A

+ T

BC

.sen8,8 -225 -135 = 0  V A

= 269,2N

a

a

*) Figuras do livro “Vector mechanics for enginners. Statics.” De Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr, Elliot

Eisenberg

26

Exemplo 2

A barra AB está apoiada nos pontos A e B em

blocos que se movimentam livremente nas

guias. A mola não exerce força quando  = 0º.

Despreze o peso dos blocos. Determine a

equação que satisfaz o equilíbrio da barra AB

em função de W, k (rigidez da mola), L e .

Resolução

Força exercida pela mola

F = k.L = k.(L-L.cos)

w

H B

F  L

0,5L.cos

V^ L.sen A

M

A

= 0; 0,5L.cos.w –k.L.(1-cos).Lsen = 0 

0,5.cos.w = k.L.(1-cos).sen 

0,5.cos.w = k.L.sen - k.L. cos.sen 

0,5.w /(k.L) = tg - sen

*) Figuras do livro “Vector mechanics for enginners. Statics.” De Ferdinand P. Beer, E. Russell

Johnston Jr, Elliot Eisenberg

27

Exemplos de sistemas reticulados

*) Figuras do livro “Vector mechanics for enginners. Statics.” De Ferdinand P. Beer, E. Russell

Johnston Jr, Elliot Eisenberg

28

Grau de hiperestaticidade

a = nº de barras + ligações exteriores – 2.(nº de nós)

válido para treliças planas

a = 0  treliça isostática

a < 0  treliça hipostática

a > 0  treliça hiperestática

treliça hipostática

Treliça isostática

Treliça hiperestática

31

2 m (^) 2 m 2 m

Exemplo 2

Determine os esforços axiais nas barras AB, BF e FG.

Resolução

Método de Ritter

M D

= 0  N BF

.4 + N AB

.0 + N FG

.0 -20x2-10x1 = 0  N BF

= 12,5kN

M G

= 0  N BF

.2 + N AB

.1 + 20x2 +10x1 = 0  N AB

= -75 kN

M B

= 0  20x2 - 10x1 + 20x4 – 2xN FG

.cos26,56 = 0

 N FG

= 61,5 kN

10 kN

20 kN

A B C

D

E

F

G 10 kN

20 kN

10 kN

1 m^ 20 kN

1 m

1 m

tga = ½  a = 26,57º

10 kN

20 kN

B C

D

F

G 10 kN

20 kN

10 kN

20 kN

a

32

Exemplo 3

*) Imagens da internet

V

A

= V

B

= 40 kN

A: F

x

= 0  N

AF

= N

BH

= 131,25 kN

H

A

= 0 kN

A: F

y

= 0  N

AC

= N

BE

= -134,6 kN

Ritter, corte CD vertical: M A

= 0  N

FD

= N

HD

= 48,1 kN

F: F

y

= 0  N

CF

= N

HE

= -20 kN

F: F

x

= 0  N

FG

= N

HG

= 87,5 kN

C: F

x

= 0  N

CD

= N

DE

= -134,6 kN

G: F

y

= 0  N

GD

= 0 kN

33

Exemplo 5

Determine os esforços axiais

nas barras DF, DG e EG.

Resolução

Método de Ritter

NDF

N DG

N EG

M A

= 0  2x2+2x4+(N DG

.cos71,6)x4+(N DG

.sen71,6)x1,66 = 0

 N DG

= -4,23kN

tga = 1/6  a = 9,46º

a

tgb = 2.5/6  b = 22,6º

Ponto E: distância vertical em relação a A = (1/6)x4 = 0,666m

Ponto D: distância vertical em relação a A = (2,5/6)x4 = 1,666m

D

G

a 2 a 3

tga 3 = (1,66-1)/2  a 3 = 18,4º  a 2 = 71,6º

M G

= 0  6x6-1x6-2x4-2x2+(N DF

.cos22,6)x1,5= 0  N DF

= -13kN

6 kN

M D

= 0  6x4-1x4-2x2-(N EG

.cos9,46)x1,0= 0  N EG

= 16,22kN

*) Figura do livro “Vector mechanics for enginners. Statics.” De Ferdinand P. Beer, E. Russell

Johnston Jr, Elliot Eisenberg

34

 CAP 4 – GEOMETRIA DE MASSA

• Centro de gravidade de áreas e volumes
• Momentos estáticos
• Momentos de inércia
• Produto de inércia
• Eixos principais de inércia
• Raio de giração
• Círculo de Mohr

ÍNDICE

37

Exemplos

Determine o c.g. da área representada na figura ao lado

Resolução

Áreas A i

(cm

2 ) X i

(cm) y i

(cm)

1 353,4 0 28,

2 168,75 -5 15

3 337,5 7,5 11,

4 -44,2 11,82 3,

y

15 cm 7,

cm

7,

cm

7,

cm

15 cm

15 cm

x

20. 11 cm

21. 5

22. 8

A

y A

y

1. 43 cm

A

x A

x

i

i i

i

i i

  

  









38

Exemplos

24 cm 12 cm

16 cm

8 cm (^) 12 cm Determine o c.g. da área representada na figura

ao lado

Áreas A i

(cm

2 ) X i

(cm) y i

(cm)

1 576 12 12

2 72 28 8

3 144 30 18

4 -113,1 30,9 18,

5 -100,5 8 20,

x

y

12 cm

12 cm

10. 15 cm

11. 4

12. 1

A

y A

y

15. 47 cm

A

x A

x

i

i^ i

i

i i

  

  









39

1º Teorema de Guldin: exemplo

*) Imagens da internet

40

2º Teorema de Guldin: exemplo

V ay A

*) Imagens da internet