Baixe Introdução à Mecânica de Partículas: Projecção de Vetores e Operações Vetoriais e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Mecânica Clássica, somente na Docsity!
Mecânica I – Mecânica da Partícula Ensino à Distância i
Índice
Visão geral 1
Lição nº 1 9
Igualdade e Adição de Vectores ..................................................................................... 9
Introdução.............................................................................................................. 9
Sumário ........................................................................................................................... 12
Exercícios........................................................................................................................ 13
Lição nº 2 14
Propriedades da Adição e da Subtração de Vectores...................................................... 14
Introdução.............................................................................................................. 14
Sumário ........................................................................................................................... 16
Lição nº 3 19
Vector Unitário. Representação num sistema de eixos cartesianos e multiplicação de um
vector por um escalar ...................................................................................................... 19
Introdução.............................................................................................................. 19
Lição 4 20
Produto de Vectores........................................................................................................ 20
Introdução.............................................................................................................. 20
Unidade 2 67
Vectores .......................................................................................................................
Introdução..............................................................................................................
Sumário ...........................................................................................................................
Mecânica I – Mecânica da Partícula Ensino à Distância 1
Visão geral
Bem-vindo ao módulo de
Mecânica I- Mecânica da Partícula
O módulo de Mecânica da Partícula debruçar-se-á sobre os seguintes conteúdos: Introdução, unidades e medidas Fundamentos da Álgebra Vectorial Fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral de Vectores Cinemática do Ponto Material Dinâmica de uma partícula Trabalho e Energia
Esperamos que você nos acompanhe ao longo de todo o módulo.
Objectivos do módulo
Ao terminar o estudo do módulo de Mecânica I – Mecânica da Partícula você será capaz de:
Objectivos
Explicar e interpretar os fenómenos físico-mecânicos que ocorrem no seu meio usando os princípios e leis estudos na Física Aplicar os métodos de trabalho da Física durante o exercício de suas funções. Leccionar os conteúdos de Física, em particular da Mecânica no 1o^ e no 2º cíclos do ensino Secundário Geral ou no Ensino Técnico Profissional. Participar em tarefas directivas e organizacionais escolares Realizar actividades de investigação sobre o ensino e aprendizagem da Física escolar Aplicar os conhecimentos adquiridos durante a aprendizagem da
Mecânica I – Mecânica da Partícula Ensino à Distância 3
Ícones de actividade
Ao longo deste manual irá encontrar uma série de ícones nas margens das folhas. Estes ícones servem para identificar diferentes partes do processo de aprendizagem. Podem indicar uma parcela específica de texto, uma nova actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc. Acerca dos ícones Os ícones usados neste manual são símbolos africanos, conhecidos por adrinka. Estes símbolos têm origem no povo Ashante de África Ocidental, datam do século 17 e ainda se usam hoje em dia. Os ícones incluídos neste manual são... (ícones a ser enviados - para efeitos de testagem deste modelo, reproduziram-se os ícones adrinka, mas foi-lhes dada uma sombra amarela para os distinguir dos originais). Pode ver o conjunto completo de ícones deste manual já a seguir, cada um com uma descrição do seu significado e da forma como nós interpretámos esse significado para representar as várias actividades ao longo deste módulo.
Comprometimento/ perseverança
Actividade
Resistência, perseverança
Auto-avaliação
“ Qualidade do trabalho ” (excelência/ autenticidade) Avaliação / Teste
“ Aprender através da experiência ”
Exemplo / Estudo de caso
Paz/harmonia Debate
Unidade/relações humanas Actividade de grupo
Vigilância / preocupação Tome Nota!
“ Eu mudo ou transformo a minha vida ” Objectivos
[ Ajuda-me] deixa- me ajudar-te ”
Leitura
“ Pronto a enfrentar as vicissitudes da vida ” (fortitude / preparação) Reflexão
“ Nó da sabedoria ”
Terminologia
Apoio / encorajamento
Dica
4 Visão geral
Habilidades de estudo
Caro estudante! Para frequentar com sucesso este módulo terá que buscar através de uma leitura cuidadosa das fontes de consulta a maior parte da informação ligada ao assunto abordado. Para o efeito, no fim de cada unidade apresenta-se uma sugestão de livros para leitura complementar. Antes de resolver qualquer tarefa ou problema, o estudante deve certificar-se de ter compreendido a questão colocada. É importante questionar se as informações colhidas na literatura são relevantes para a abordagem do assunto ou resolução de problemas. Sempre que possível, deve fazer uma sistematização das ideias apresentadas no texto. Desejamos-lhe muitos sucessos!
Precisa de apoio?
Dúvidas e problemas são comuns ao longo de qualquer estudo. Em caso de dúvida numa matéria tente consultar os manuais sugeridos no fim da lição e disponíveis nos centros de ensino a distância (EAD) mais próximos. Se tiver dúvidas na resolução de algum exercício, procure estudar os exemplos semelhantes apresentados no manual. Se a dúvida persistir, consulte a orientação que aperece no fim dos exercícios. Se a dúvida persistir, veja a resolução do exercício. Sempre que julgar pertinente, pode consultar o tutor que está à sua disposição no centro de EAD mais próximo. Não se esqueça de consultar também colegas da escola que tenham feito a cadeira de Mecânica I – Mecânica da Partícula, vizinhos e até estudantes de universidades que vivam na sua zona e tenham ou estejam a fazer cadeiras relacionadas com Mecânica.
Unidade 2
Vectores
Introdução
Bem-vindo ao estudo desta unidade. Muitas vezes, você vai deparar com situações em que precisará de trabalhar com grandezas físicas que possuem tanto propriedades numéricas, quanto propriedades direccionais. Como foi notado na unidade-1 grandezas desse tipo são representados por vectores. Nesta unidade vamos discutir aspectos relacionados com fundamentos da álgebra vectorial e algumas propriedades gerais de grandezas vectoriais. Em particular, vamos discutir a adição e subtracção de vectores, juntamente com algumas aplicações comuns no contexto da Física.
Ao completar esta unidade, você será capaz de:
Objectivos
Definir o conceito de igualdade de vectores; Adicionar e subtrair vectores; Definir vector unitário e componente de um vector; Multiplicar um vector por um escalar; Definir projecção de um vector; Determinar projecção dum vector sobre um eixo; Representar um vector em coordenadas rectangulares.
Mecânica I – Mecânica da Partícula Ensino à Distância 6
2
Terminologia
Vector, componente de um vector, projecção de um vector, vector unitário, direcção, versor ou vector unitário, adição/subtracção de vectores, sistema de eixos coordenadas.
Tempo de estudo da Unidade: 08:00 Horas
Esta unidade comporta 4 lições. São necessárias cerca de 8 horas lectivas para completar esta Unidade.
7 Unidade
Igualdade de vectores:
Dois vectores a eb
r r
são iguais ( a b )
r r
= se tiverem módulos, direcções e
sentidos iguais. ( a b seesosea be a b
r r r r r r
Fig.2.
Esta propriedade permite-nos mover um vector, num diagrama, para uma posição paralela a si mesmo sem afectar as suas propriedades essenciais.
O oposto de um vector
Seja dado um vector a^ r^. Um vector com o sentido oposto ao de a^ r^ , mas
com a mesma direcção e módulo, denota-se por ( − a r).
Fig.2.
Adição de Vectores
Sejam dados dois vectores a e b
r r
. A soma dos vectores a eb
r r
é um 3º
vector c^ r^ , c ( a b )
r r r
= + , obtido aplicando a origem de b
r
à extremidade de
a^ r^ e, unindo a origem de a^ r^ à extremidade de b
r
. Este procedimento geométrico para adição de vectores chama-se regra de triângulo.
a^ r
b
r
a^ r
( − a^ r )
9 Lição nº 1
2 2 1
22.. .cos ⎟
c r^ =⎛^ a r + b r + a r b r θ onde o ângulo θ é o ângulo formado entre os dois vectores. (2.1) 1 A direcção dum vector é dada pelo ângulo que este forma com uma direcção tomada como referência. Assim, a direcção do vector soma é dada pela regra de senos:
θ β sen α
b
sen
a
sen
c
r r^ r
Exemplo
Um amador de passeios à pé, percorre 5 km em direcção ao norte, seguidamente faz 12 km na direcção leste. Qual é o seu deslocamento total em relação a origem?
Dados:
2
1
d
Pede se
d km
d km
r
r
r
Como os vectores dados são perpendiculares entre si, então, o vector
d d 1 d 2
r r r
= + terá as seguintes características:
km km
d d d dd o km km 169 13
12 22 2.^1. 2 .cos^90521222.^5.^12.^025144 = =
= + + = + + = + =
r
(^1) Em qualquer fórmula o primeiro número indica a unidade e o segundo o número da fórmula na unidade (trata-se da formula 1 na unidade 2)
Mecânica I – Mecânica da Partícula Ensino à Distância 10
Na regra do triângulo, o vector soma obtém-se unindo a origem do primeiro vector com a extremidade do último vector.
Exercícios
Você precisará de 15 minutos para completar esta tarefa
Auto-avaliação nº 5
Tempo de realização: 00:15 minutos
- Um pedestre desloca-se 6,0 km para Leste e, seguidamente faz 13, km para Norte. Usando o método gráfico, determine o módulo e direcção do deslocamento resultante.
( 205 km , direcção: tg ϕ =^136 )
- Um avião voa 200 km para Oeste a partir duma cidade A para a cidade B. Depois, voa 300 km na direcção Noroeste formando um ângulo de 30º com Oeste a partir da cidade B para C. a. A que distância se encontre a cidade C , a partir de A? ( R: 484 km) b. Em relação a cidade A , em que direcção se encontra a cidade C? ( R: 18,1º na direcção Noroeste)
Mecânica I – Mecânica da Partícula Ensino à Distância 12
Lição nº 2
Propriedades da Adição e da
Subtração de Vectores
Introdução
Seja bem-vindo ao estudo desta lição. Nela vai aprender a subtrair
vectores e a discutir aspectos da adição de vectores que lhe permitirão manipular a ordem em que eles se apresentam, bem como agrupá-los da maneira que você entender.
Ao completar esta lição, você será capaz de:
Objectivos
Identificar e aplicar a propriedade comutativa da adição de vectores; Identificar e aplicar a propriedade associativa da adição de vectores. Determinar a diferença entre dois vectores.
Lembra-se das propriedades da adição de números reais? Em que consiste a propriedade comutativa da adição? Como se manifesta a associabilidade da adição de números? Será que tais propriedades se estendem à adição de vectores? Para esclarecermos algumas das nossas dúvidas voltemos ao diagrama da regra de paralelogramo:
13 Lição nº 2
A adição de vectores goza da propriedade associativa
Sumário
As grandezas vectoriais são caracterizadas pelo módulo, direcção e sentido, e também obedecem as leis da adição de vectores.
Dica
Quando dois ou mais vectores são adicionados, todos eles devem ser da mesma espécie e serem expressos nas mesmas unidades. Não faz sentido adicionar o vector velocidade (ex: 80 km/h para Este) com um vector deslocamento (ex: 400 km para Norte) porque representam grandezas físicas diferentes.
Você vai precisar de 10 minutos para completar esta tarefa
Actividade nº 2
Tempo de realização: 10 minutos
- Em que consiste a propriedade comutativa na adição de vectores?
- Caracterize a associabilidade na adição de vectores.
- Pode pensar em exemplos da vida diária em que essas propriedades são ou podem ser aplicadas?
15 Lição nº 2
Dica
Leia os resumos acima sobre propriedades na adição de vectores e
responda às questões acima.
Subtracção de vectores
1. A diferença de dois vectores a e b
r r
, representada por ( a^ b )
r r
− , é um
vector c^ r^ tal que adicionado ao vector b
r
vai dar como resultado o vector
a^ r^ ⇔ a b c r
r r
− = tal que a b c r
r r
- De outro modo pode-se aproveitar a definição de vector simétrico. Assim ( a b ) a ( b )
r r r r
− = + −. O que isso significa na prática?
Essa forma de exprimir a diferença de dois vectores como a soma do 1º vector com o simétrico do 2º, permite-lhe utilizar a regra de adição de
vectores , bastando para isso achar o simétrico do vector b
r
e adicioná-lo
ao vector a^ r^.
Regra-1. O vector c a b
r r r
= − terá origem na extremidade de b
r
e
extremidade na extremidade de a^ r^. Veja se há consistência com a regra
de triângulo na adição
Mecânica I – Mecânica da Partícula Ensino à Distância 16
Lição nº 3
Vector Unitário. Representação
num sistema de eixos cartesianos
e multiplicação de um vector por
um escalar
Introdução
Bem-vindo ao estudo desta lição, a qual lhe permite fazer operações com vectores usando suas projecções ou componentes ao longo dos eixos dum sistema de referência. Ao completar esta lição, você será capaz de:
Objectivos
Definir projecção dum vector sobre um eixo; Definir vector unitário; Definir componente dum vector; Multiplicar um vector por um escalar; Representar um vector através de suas componentes nos eixos; Adicionar ou subtrair vectores em coordenadas rectangulares; Identificar a diferença entre componente dum vector e projecção dum vector.
Chama-se vector unitário ou versor, ao um vector cujo módulo é igual a unidade. No sistema de eixos rectangulares os vectores unitários mais usados são
i
r
, j
r
e k
r
que indicam as direcções positivas dos eixos ox, oy e oz, respectivamente.
Mecânica I – Mecânica da Partícula Ensino à Distância 18
Qualquer vector pode ser expresso como o produto do seu módulo e o vector unitário que lhe é paralelo.
a ae^ a
a r^ = a^ r. a rr= r.r, onde
ea
r é o vector unitário na direcção e sentido do
vector a^ r^ , tal que e a aa r
r r
Projecção dum vector sobre um eixo : Chama-se projecção dum vector sobre o eixo à grandeza escalar igual ao produto do módulo do vector pelo co-seno do ângulo entre o sentido positivo do eixo e o vector.
Da figura você nota que a (^) x = prxa r^ = a^ r.cos α (2.6)
A partir dessa definição o que pode concluir quanto à projecção dum vector? Será que pode ser positiva? Negativa? Ou Nula? Observando a fórmula conclui que a projecção dum vector é uma grandeza algébrica, isto é, pode assumir valores positivos, negativos e nulos. Tudo depende do ângulo que o vector forma com o eixo.
α π α π
α α π
α α π
α
0 cos 0
0 cos 02
0 cos 0 0
.cos
a se
a se
a se
a a
x
x
x
x
r
19 Lição nº 3
