Mecânica dos fluidos Aplicada, Notas de estudo de Mecânica dos fluidos

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Mecânica dos Fluidos

Aplicada

Capítulo 2

Análise Dimensional

Dimensões e Unidades

• Dimensão é uma medida de uma grandeza física (sem valores numéricos) e Unidade é uma

forma de atribuir valores numéricos às dimensões.

𝑫𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔ã𝒐

൨ 𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

• As dimensões podem ser divididas em Dimensões Primárias ou Fundamentais,

arbitrariamente definidas, e Dimensões Secundárias ou Derivadas, que são derivadas

a partir das dimensões fundamentais, utilizando as equações da física..

Dimensões

Primárias

Homogeneidade Dimensional

• O princípio da homogeneidade dimensional nos diz que “todo termo aditivo de uma equação

deve ter as mesmas dimensões”. Esta é uma condição necessária, porém não suficiente, para

que uma equação física seja verdadeira.

Exemplo: Verifique a homogeneidade da Equação de Bernoulli para fluido Ideal e sem máquina:

− 1

− 2

− 2

− 2

2

− 1 2

− 2

2

− 2

− 2

Todos os termos aditivos têm dimensão de comprimento ( L ). Portanto, a

equação é dimensionalmente homogênea.

𝟏

𝟏

𝟏

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

Grupos Adimensionais

• Grupos Adimensionais, também chamados de Números Adimensionais, são grupos de

grandezas físicas que são independentes das dimensões primárias, ou seja, apresentam

expoente zero para as dimensões primárias: ( 𝑴

𝟎

, 𝑳

𝟎

, 𝑻

𝟎

• Como exemplo de um grupo adimensional, bastante comum na engenharia, podemos citar o

número de Reynolds ( Re ), usado para definir o regime de escoamento (laminar ou turbulento)

• Vamos substituir a dimensão de cada uma das grandezas do número de Reynolds, usando as

dimensões obtidas nos exercícios anteriores:

−𝟑

−𝟏

−𝟏

−𝟏

𝟏−𝟏

−𝟑+𝟏+𝟏+𝟏

−𝟏+𝟏

𝟎

𝟎

𝟎

• Portanto, confirmamos que número de Reynolds é um grupo sem dimensões. Desta forma o valor do

número de Reynolds para um dado escoamento, independe do sistema de unidades utilizado.

Aplicação da Análise Dimensional

• A aplicação mais nobre e mais importante da Análise Dimensional em Mecânica

dos Fluidos é viabilizar a análise experimental de escoamentos complexos,

diminuindo o número de variáveis do problema.

• Como exemplo, considere o fluxo constante de um fluido incompressível através

de um tubo horizontal e circular, de paredes lisas (sem rugosidade) e

comprimento unitário ( 1 m, 1 ft etc.), em escoamento turbulento.

• Uma característica importante deste sistema, que seria de interesse para um

engenheiro que projeta esta tubulação, é a queda de pressão ( ∆P ) que se

desenvolve ao longo o tubo devido ao atrito.

• Embora isso pareça ser um fluxo relativamente simples, este problema não pode

ser resolvido analiticamente, mesmo com a ajuda de grandes computadores,

sem o uso de dados experimentais.

Aplicação da Análise Dimensional

• O primeiro passo no planejamento de um experimento seria decidir quais

fatores, ou variáveis, afetam a queda de pressão ( ∆P ).

• O conhecimento prévio de mecânica dos fluidos ou a realização de experimentos

nos indica que a lista inclui:

• Neste ponto a função é desconhecida e o objetivo dos experimentos a serem

realizados é determinar esta função.

• Assim, podemos expressar esta relação como:

∆𝑷 = 𝒇 𝝆, 𝒗, 𝑫, 𝝁

✓ o diâmetro do tubo ( D ),

✓ a massa específica do fluido ( ρ ),

✓ viscosidade do fluido ( μ ), e a

✓ velocidade do fluido ( v ).

Aplicação da Análise Dimensional

• Felizmente, existe uma abordagem muito mais simples para esse problema que

eliminará as dificuldades descritas acima.

• Será demostrado mais a frente que, em vez de trabalhar com a lista original de 5

variáveis ( ∆P, ρ, v, D, μ ), podemos reuni-las em 2 grupos adimensionais que são

combinações das variáveis originais.

• Estes dois grupos adimensionais, para o caso das variáveis ∆P, ρ, v, D, μ são os

grupos ou números adimensionais de Euler ( Eu ) e Reynolds ( Re )

• Os experimentos agora consistiriam simplesmente em variar o grupo adimensional

Re e determinar o valor correspondente de Eu.

2

Aplicação da Análise Dimensional

• Os resultados destes experimentos poderiam então ser representado por uma única

curva universal.

• A partir de, por exemplo, 10 experimentos, poderíamos calcular a curva de melhor

ajuste aos pontos (linear, exponencial, potência etc.) e obter a expressão

matemática para a função Eu = f( Re ).

• Esta função seria válida para qualquer combinação de tubo de paredes lisas e fluido

incompressível e escoamento turbulento

Aplicação da Análise Dimensional

• Considere que o experimento consistiu em variar a velocidade (v) e medir, com

manômetros, a queda de pressão.

• A tabela abaixo mostra a velocidade água em cada experimento e a queda de

pressão medida. Também na tabela abaixo, estão os valores calculados dos

adimensionais Euler (Eu) e Reynolds (Re)

2

EXPERIMENTOS CÁCULOS

Aplicação da Análise Dimensional

• Assim, os resultados dos experimentos podem então serem representados por uma

única curva universal, conforme figura abaixo.

• Na figura estão plotados os pontos relativos aos números de Euler ( Eu ) e Reynolds

( Re ), relativos aos 10 experimentos.

• Na figura também está plotada a curva de melhor ajuste aos pontos, que no caso é

do tipo “ potência ” no programa Excel.

• O Excel também calcula a função Eu = f( Re ) de melhor ajuste

𝑬𝒖 = 𝟐, 𝟎𝟗𝟖𝟏 × 𝑹𝒆

− 𝟎,𝟐𝟏𝟒

Regra dos Sete Passos

1º Passo – Liste todas as “ n ” variáveis envolvidas e suas dimensões em termos das dimensões primárias 𝑴, 𝑳, 𝑻 (“ r ”)

A determinação das variáveis deve ser realizada pelo conhecimento teórico e experimental do engenheiro sobre o

problema e a leis que regem o fenômeno.

2º Passo – Determine o número de adimensionais independentes 𝝅 ’s

Utilize a equação “ m = n – r “ e obtenha o número “ m ” de adimensionais independentes 𝝅 ’s

3º Passo – Defina uma base de repetição, selecionando da lista de variáveis, as variáveis que se repetem em cada um

dos 𝝅 ’s****.

A base [𝝆, 𝒗, 𝑫] é recomendada (casos estas variáveis estiverem presente no grupo de “ n ” variáveis).

4º Passo – Montar as equações dimensionais de modo a obter os grupos de adimensionais independentes 𝝅 ’s

Haverá “ n-m ” equações) do tipo 𝝅 = 𝒙

𝟏

. 𝒙

𝟐

𝒂

. 𝒙

𝟑

𝒃

. 𝒙

𝟒

𝒄

5º Passo – Determine os expoentes de cada equação dimensional de modo a obter os números de adimensionais

independentes 𝝅 ’s

Os expoentes, denominados por exemplo de a , b e c , podem ser positivos, negativos ou zero.

6º Passo – Verifique todos os termos 𝝅 ’s resultantes para certificar-se de que eles são adimensionais

Verificar se 𝜋 = 𝑀

0

. 𝐿

0

. 𝑇

0

7º Passo – Montar a equação final como uma relação entre os grupos 𝝅 ’s

Expresse a forma final como uma relação entre grupos 𝝅 ’s : 𝝅

𝟏

= 𝒇 𝝅

𝟐

, 𝝅

𝟑

…. , 𝝅

𝒎

Exemplo de Aplicação da

Regra dos Sete Passos

Atrito em um Tubo

Exercício R.2.

𝜇

− 1

𝐷 = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 →

− 1

− 1

𝝉

𝝁

: tensão de cisalhamento na parede

ρ : massa específica do fluido;

𝒗 : velocidade média do fluido;

D : diâmetro da tubulação;

μ : viscosidade dinâmica do fluido;

𝜺 : rugosidade da tubulação;

N° de Variáveis: n = 6

M: massa;

L : distância;

T : tempo;

N° de Dimensões: r = 3

𝝅

𝟏

, 𝝅

𝟐

, 𝝅

𝟑

N° de Adimensionais: m = 6–3 = 3

1 ° Passo 2 ° Passo

𝜏

= 𝑓 𝜌, 𝑣, 𝐷, 𝜇, 𝜀

𝜇

− 2

2

− 1

− 2

− 3

𝜀 = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 →

Exemplo

𝐵𝑎𝑠𝑒 = 𝜌, 𝑣, 𝐷

3 ° Passo

4 ° Passos

1

𝜇

𝑎

𝑏

𝑐

𝜏

= 𝑓 𝜌, 𝑣, 𝐷, 𝜇, 𝜀

2

𝑎

𝑏

𝑐

3

𝑎

𝑏

𝑐

Exemplo