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Equações de Ordem Superior Prof. Rogério Transformada de Laplace Seja uma função definida para t ≥ 0. A transformada de Laplace de f é dada por:
0 ∞ e − st f ( t ) dt , s > 0 desde que a integral seja convergente. Notação:
ℒ { f ( t )} = ∫
0 ∞ e − st f ( t ) dt = F ( s ) Exemplo 1: Calcular ℒ { 1 } :
0 ∞ e − st 1 dt → ℒ { 1 } = −
s
0 ∞ e u du → ℒ { 1 } = −
s e − s. ∞
s e − s. ℒ { 1 } = F ( s ) =
s Exemplo 2: Calcular ℒ^ { t }^ :
ℒ { t } = ∫
0 ∞ e − st t dt → ℒ { t } = − t. e − st s
∞
s
0 ∞ e − st dt ℒ { t } = −∞ e − s .∞ s
0 e − s. s
s
0 ∞ e − st dt ℒ { t } =
s
0 ∞ e − st dt (^) → ℒ^ { t }^ =^ 1 s
0 ∞ e − st^ dt ℒ { t } = F ( s ) =
s 2
ℒ é uma transformação linear:
ℒ { t } = ∫
0 ∞ t. e − st dt
ℒ { t } = α∫
0 ∞ e − st
f ( t ) dt + β∫
0 ∞ e − st g ( t ) dt
ℒ { t } = α∫
0 ∞ e − st
f ( t ) dt + β∫
0 ∞ e − st g ( t ) dt α F ( s ) + β G ( s ) Exemplo 3: Calcule ℒ { 1 + 5 t } Resolução: se : ℒ { 1 } =
s e ℒ { t } =
s 2 , então: ℒ { α f ( t ) + β g ( t )} = α ℒ { f ( t )} + β ℒ { g ( t )} ℒ { 1 + 5 t } =
s
s
Exemplo 4: Calcule ℒ { sen 2 t }. Exemplo 5: Calcule (^) ℒ { e −^3 t^ }. Exemplo 6: Calcule ℒ { 4 e − 3 t − 10 sen 2 t }. TABELA
