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Transformada de Laplace - Parte 1
Prof. Artur Fassoni - IMC/UNIFEI
20 semestre de 2019
1 O problema fundamental: ay′′^ + by′^ + cy = f (t)
Neste capítulo, veremos alguns modelos físicos diferentes que possuem a mesma representação matemática, a saber, a seguinte Equação Diferencial Ordinária de 2a^ Ordem, Linear, com Coeficientes Constantes, Não-Homogênea: ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = f (t) (1)
com condições iniciais y( 0 ) = y 0 , y′( 0 ) = y′ 0. Em particular, a descrição de problemas físicos diferentes por meio de um mesmo problema ma- temático nos mostra a força e poder unificador da Matemática Aplicada. Este será o problema fundamental tratado na primeira parte do curso, que será sobre Transforma- das de Laplace. Abordaremos questões matemáticas, sobre a resolução desta EDO, que em automati- camente se transformarão questões aplicadas, referentes aos problemas modelados por esta equação. Apesar de já sabermos resolver esta EDO para diversos casos da função f (t) (por meio dos méto- dos de coeficientes a determinar, e da variação dos parâmetros, vistos em MAT021), veremos como resolvê-la utilizando a técnica da transformada de Laplace, que tem várias vantagens sobre os mé- todos já vistos, entre as quais, destacamos: a resolução utilizando transformada de Laplace é mais rápida; resolve o problema quando a função f (t) é mais realista do ponto de vista de aplicações; e possibilita um interessante entendimento do problema sobre o ponto de vista de sistemas com dados de entrada e saída, e como estes sistemas podem ser controlados. Vejamos então alguns modelos físicos diferentes que são descritos pela mesma equação diferencial (1).
1.1 O Sistema Massa-Mola
Considere uma mola com sua extremidade esquerda conectada a uma parede e a extremidade direita conectada num carrinho de massa m. Vamos introduzir um sistema de coordenadas horizontal, considerando a orientação positiva apon- tando para a direita, e tendo como origem a posição de equilíbrio da mola (na qual ela não está esticada nem comprimida).
Seja x(t) a posição do carrinho, ou seja, a medida do desvio da mola em relação a sua posição de equilíbrio (x(t) > 0 para um desvio para a direita, e x(t) < 0 para um desvio para a esquerda). Pela segunda lei de Newton, temos m x′′(t) = FR(t), (2)
onde FR(t) é a força resultante atuando no carrinho no tempo t. Podemos descrevê-la como a soma de três forças diferentes: FR(t) = Fm + Fa + Fe,
onde Fm é a força de restauração da mola, Fa é a força de amortecimento do movimento, e Fe é uma força externa atuando no carrinho. Pela Lei de Hooke, temos que Fm = −kx(t). Observe que o sinal negativo em Fm é necessário para que Fm < 0 (força apontando para esquerda) quando x > 0 (mola esticada), e Fm > 0 (força apontando para direita) quando x < 0 (mola comprimida). A constante k é a constante da mola, algumas vezes chamada constante de rigidez, e depende do material usado. Quanto maior o valor de k, mais ‘dura’ é a mola e maior é a força de restauração da mola, contrária ao movimento, ou seja, a mola deve voltar mais rapidamente ao equilíbrio após pequenas pertubações. A força de amortecimento descreve a dissipação de energia devido a fatores como resistência do ar, deformação na mola, atrito das rodas do carrinho com o chão, etc. Pode ser também devida à um dispositivo amortecedor introduzido no sistema (um cilindro com óleo viscoso) - veja figura abaixo. Ela pode ser modelada de diversas formas. A mais simples e clássica, é supor que o amortecimento depende apenas da velocidade escalar da massa, e é proporcional à mesma (chamado amortecimento viscoso), dado por Fa = −γx′(t). Este é conhecido como o caso ‘linear’, e é uma aprximação de vários outros casos, não-lineares, que serão vistos posteriormente. Observe que quando a velocidade é positiva (x′(t) > 0), a mola está indo para a direita, e Fa < 0 aponta para a esquerda, direção contrária ao movimento. Para x′(t) < 0, a mola está indo para a esquerda e Fa > 0 aponta para a direita. A constante γ > 0 é a constante de amortecimento; quanto maior o valor de γ, maior é a força de amortecimento.
A força externa Fe(t) depende do problema, e pode ser nula (se simplesmente deixamos o sistema evoluir), pode ser descontínua (um “empurrão” de vez em quando no carrinho), pode ser periódica, etc. Substituindo as expressões das forças acima na equação (2), temos: mx′′(t) = −kx(t) − γx′(t) + Fe(t),
ou seja, mx′′^ + γx′^ + kx = Fe(t). (3)
Esta equação descreve a posição x(t) do carrinho, ou seja, o deslocamento da mola em relação a sua posição de equilíbrio. Para determinar unicamente as soluções, devemos especificar os valores da velocidade e deslocamento iniciais, dadas, respectivamente por x′( 0 ) = v 0 e x( 0 ) = x 0. Quatro sub-casos deste sistema massa-mola serão importantes e considerados mais adiantes: Oscilação livre, não-amortecida: mx′′^ + kx = 0 Oscilação livre, amortecida: mx′′^ + γx′^ + kx = 0 Oscilação forçada, não-amortecida: mx′′^ + kx = Fe(t) Oscilação forçada, amortecida: mx′′^ + γx′^ + kx = Fe(t)
A outra extremidade da barra está fixada num suporte horizontal. Consideramos que o movimento da barra se dá apenas no plano que contêm a barra e o suporte. A posição da massa é descrita pelo ângulo θ(t) entre a barra e a direção vertical para baixo. Portanto θ = 0 é a posição de equilíbrio. Consideramos a direção anti-horária como positiva. A massa se move apenas sobre um círculo de raio L, de modo que a distância da massa à posição de equilíbrio é Lθ(t). A velocidade tangencial instan- tânea da massa é Lθ′(t), e sua aceleração tangencial instantânea é Lθ′′(t). Consideramos duas forças agindo sobre a massa. A componente tangencial da força gravitacional é dada por PT = −mgsen θ (o sinal negativo é necessário para que PT < 0 quando θ > 0, e PT > 0 quando θ < 0). Além dela, temos uma força de amortecimento Fa, que pode ser causada por diversos fatores, a qual assumimos ser proporcional à velocidade angular, ou seja, Fa = −cθ′(t) (novamente o sinal de menos é necessário), c > 0. Assim, pela 2a^ Lei de Newton, temos
mLθ′′^ = −mgsen θ − cθ′,
ou, dividindo por mL e fazendo γ = c/mL e ω^2 = g/L,
θ′′^ + γθ′^ + ω^2 sen θ = 0. (6)
Esta é uma equação não-linear, devido a presença do termo sen θ, e difícil de resolver (trataremos dela na segunda parte do curso). Contudo, podemos aproximá-la por uma equação mais simples, linear, que vale sob determinadas condições. Sabendo que a série de Taylor de sen θ, centrada em θ = 0, é dada por
sen θ = θ −
θ^3 3!
θ^5 5!
podemos utilizar a aproximação sen θ ≈ θ, que é válida para θ ≈ 0, e é a linearização da função sen θ em torno de θ = 0. Assim, a equação do pêndulo linear (daí o nome) é
θ′′^ + γθ′^ + ω^2 θ = 0. (7)
Fisicamente, ela descreve bem o movimento do pêndulo para pequenos valores de θ, ou seja, para pequenas oscilações da massa. Se quisermos descrever o movimento levando em conta oscilações de qualquer amplitude, até mesmo voltas completas, devemos considerar a equação não-linear (6).
1.4 Um circuito RLC
Considere um circuito RLC simples, com resistência R, capacitância C, e indutância L constantes. Suponha que a tensão aplicada seja uma função do tempo E(t) conhecida. Queremos determinar a
função da corrente I(t) neste circuito, ou, equivalentemente, a carga total Q(t) no capacitor no instante t, já que dQdt = I.
Pela segunda Lei de Kirchhoff, a soma das quedas de tensão ao longo do circuito é igual a tensão aplicada E(t). As quedas de tensão no resistor, capacitor e indutor são, respectivamente, IR, Q/C e L dIdt. Logo,
RI +
Q
C
+ L
dI dt
= E(t).
Escrevendo esta equação em termos apenas de Q(t), obtemos a seguinte equação diferencial linear de 2a ordem com coeficientes constantes:
L
d^2 Q dt^2
+ R
dQ dt
C
Q = E(t).
Se quisermos escrever a equação para I, basta derivar esta equação, e obtemos
L
d^2 I dt^2
+ R
dI dt
C
I = E′(t). (8)
1.5 Resolvendo o Problema Fundamental
Vamos agora rever rapidamente como eram obtidas, com os métodos já vistos, as soluções do nosso problema fundamental ay′′^ + by′^ + cy = f (t) (9) com condições iniciais y( 0 ) = y 0 , y′( 0 ) = y′ 0.
Solução da equação homogênea associada
Para resolver o problema fundamental, inicialmente, devemos considerar uma equação um pouco mais simples que ela. Considere a Equação Homogênea Associada à equação fundamental (9), dada por ay′′^ + by′^ + cy = 0. (10) Esta é uma equação de segunda ordem, e o conjunto de todas as soluções possui dimensão dois, isto é, todas as soluções podem ser escritas como combinação linear de apenas duas soluções linearmente independentes, que chamaremos de soluções fundamentais. Ou seja: depois de encontrarmos duas soluções fundamentais y 1 (t) e y 2 (t), a solução geral da homogênea, yH (t), é formada fazendo-se uma combinação linear das duas: yH (t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t),
É possível mostrar que a solução geral da não homogênea é dada por
y = yp + yH ,
onde yH = c 1 y 1 + c 2 y 2 é a solução geral da homogênea, e yp é uma solução particular da equação não-homogênea. Portanto, como já sabemos encontrar a solução geral da equação homogênea, nosso problema agora se resume a encontrar apenas uma solução particular yp. Dois dos métodos para encontrar a solução particular são o Método dos Coeficientes a Deter- minar e o Método da Variação dos Parâmetros. Para relembrá-los, consulte um livro de equações diferenciais, por exemplo, as seções 3.5 e 3.6 do livro do Boyce e DiPrima. O Método dos Coeficientes a Determinar é usado quando o termo não homogêneo f (t) é uma combinação de funções exponenciais, senos e cossenos, e polinômios. Ele se baseia em admitir que a solução particular yp possui uma certa forma, dependendo da forma de f (t), com alguns coeficientes a determinar. Substituindo a expressão de yp na equação, estes coeficientes são determinados.
- Se o termo não homogêneo é da forma f (t) = Pn(t) := a 0 tn^ + a 1 tn−^1 + ... + an− 1 t + an, então devemos assumir que yp(t) é da forma
yp(t) = ts(A 0 tn^ + A 1 tn−^1 + ... + An− 1 t + An), onde s é o número de vezes que r = 0 é raiz da equação característica (s = 0 , 1 ou 2).
- Se o termo não homogêneo é da forma f (t) = Pn(t)eat^ , então devemos assumir que yp(t) é da forma
yp(t) = ts(A 0 tn^ + A 1 tn−^1 + ... + An− 1 t + An)eat^ , onde s é o número de vezes que r = a é raiz da equação característica (s = 0 , 1 ou 2).
- Se o termo não homogêneo é da forma f (t) = Pn(t)eαt^ cos βt (ou sen βt), então devemos assumir que yp(t) é da forma
yp(t) = ts^
[
(A 0 tn^ + A 1 tn−^1 + ... + An)eαt^ cos βt + (B 0 tn^ + B 1 tn−^1 + ... + Bn)eαt^ sen βt
]
onde s é o número de vezes que r = α + iβ é raiz da equação característica (s = 0 , 1 ou 2).
Em cada caso, após determinar a expressão para yp, substituímos a mesma na equação diferencial e obtemos um sistema linear para os coeficientes A 0 , A 1 , ..., An.
2 O Oscilador Harmônico
Sabendo resolver o problema fundamental, voltemos agora às aplicações, buscando entender os fenômenos descritos pela equação fundamental
ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = f (t), y( 0 ) = y 0 , y′( 0 ) = y′ 0. (12)
Chamaremos de oscilador harmônico qualquer sistema físico que seja descrito por esta equação, o que é o caso de todos os modelos vistos na última aula. Afim de fixar os conceitos físicos envolvidos e relacioná-los com as soluções matemáticas obtidas, vamos abordar a equação acima na notação do problema massa-mola:
mx′′^ + γx′^ + kx = f (t), x( 0 ) = x 0 , x′( 0 ) = x′ 0 (13)
2.1 Vibrações Livres Não-amortecidas: mx′′^ + kx = 0
Suponhamos que o oscilador harmônico não esteja sujeito à forças externas (oscilação livre, f (t) = 0), e que não haja amortecimento, γ = 0. Então a equação (12) se reescreve como mx′′^ + kx = 0. (14)
Sua equação característica é mr^2 + k = 0, e tem raízes complexas conjugadas
r 1 = i
k m
e r 2 = −i
k m
A solução geral se escreve como
x(t) = c 1 cos ω 0 t + c 2 senω 0 t,
onde ω 0 =
k m é chamada a^ frequência natural do sistema. Porque este nome? Substituindo os valores iniciais x( 0 ) = x 0 e x′( 0 ) = x′ 0 , obtemos as constantes c 1 e c 2 :
c 1 = x 0 e c 2 =
x′ 0 ω 0
Uma importante maneira de reescrever a solução é a seguinte. Escrevendo c 1 e c 2 em coordenadas polares, c 1 = A cos δ e c 2 = Asen δ,
temos A =
c^21 + c^22 e δ = arctan c c^21. Utilizando uma identidade trigonométrica para cos(a + b), a
solução geral pode ser escrita como
x(t) = A cos δ cos ω 0 t + Asen δ senω 0 t = A cos(ω 0 t − δ).
Escrevendo A e δ em termos de x 0 , x′ 0 , k e m, temos
A =
x^20 +
m k
x′ 0
e δ = arctan
x′ 0 x 0
m k
Assim,
x(t) = A cos(ω 0 t − δ) =
x^20 +
m k
x′ 0
cos
ω 0 t − arctan
x′ 0 x 0
m k
é a solução do problema com as condições iniciais x 0 e x′ 0. É importante destacar cada componente desta fórmula:
- ω 0 =
k m
é a frequência natural na qual ocorre a vibração, e depende apenas de propriedades intrínsecas da mola, m e k.
- T =
2 π ω 0
= 2 π
m k
é o período do movimento, i.e., o tempo para que se complete uma oscilação completa.
- A =
x^20 + mk
x′ 0
é a amplitude do movimento. O movimento será periódico, sempre com esta amplitude constante. Ela depende da posição inicial x 0 , da velocidade inicial x′ 0 , e também de m e k.
- δ = arctan
x′ 0 x 0
√m k
é o ângulo de fase do movimento, e mede o deslocamento horizontal da onda em relação à onda A cos ω 0 t na qual δ = 0. Observe que a solução obtida, que descreve um movimento periódico, reflete o fato de havermos eliminado o termo de amortecimento da equação diferencial, pois a amplitude não sofre nenhum decaimento.
frequência destas oscilações é determinada pelo parâmetro μ, e chamada de quase-frequência. Para compararmos μ com a frequência natural ω 0 =
k m do caso sem amortecimento, escreva- mos
μ =
4 mk − γ^2 4 m^2
k m
γ^2 4 m^2
k m
= ω 0.
Logo, a presença de um amortecimento, por menor que seja (que é este caso), além de levar a amplitude das oscilações a zero, diminui a frequência das mesmas.
2.3 Vibrações Forçadas Amortecidas: mx′′^ + γx′^ + kx = f (t)
Suponhamos agora que o oscilador harmônico esteja sujeito à uma força externa periódica, que assumiremos da forma f (t) = F 0 cos ωt, onde F 0 é o módulo máximo da força externa, e ω é sua frequência. Supondo também que há amortecimento, a equação fica
mx′′^ + γx′^ + kx = F 0 cos ωt. (19)
Pelo que vimos, a solução geral desta equação é da forma
x(t) = xH (t) + xp(t),
onde xH é a solução geral da homogênea associada, que acabamos de ver no item anterior, e xp é uma solução particular que devemos encontrar. Para utilizarmos o método dos coeficientes a determinar, é necessário conhecer as raízes da equação característica, e saber se são iguais a ±iω (estamos no caso 3 do método, onde f (t) = Pn(t)eαt^ cos βt, com Pn(t) = 1, α = 0 e β = ω). Cada caso a respeito do sinal de ∆ = γ^2 − 4 mk reflete um comportamento diferente das soluções. Entre os três possíveis casos para as raízes da equação característica, vamos supor que ∆ = γ^2 − 4 mk < 0, ou seja, estamos no caso de Sub-Amortecimento. Neste caso, as raízes são complexas com parte real não nula, portanto diferentes de ±iω. Assim, a forma de solução particular sugerida pelo método dos coeficientes a determinar é
xp(t) = A 0 cos ωt + B 0 sen ωt.
Para encontrar os coeficientes A 0 e B 0 substituímos xp na equação (19), de onde obtemos
[(k − mω^2 )A 0 + γωB 0 ] cos ωt + [(k − mω^2 )B 0 − γωA 0 )]sen ωt = F 0 cos ωt,
donde, (k − mω^2 )A 0 + γωB 0 ] = F 0 (k − mω^2 )B 0 − γωA 0 )] = 0.
Resolvendo o sistema, e escrevendo ω 0 =
k/m (a frequência natural do sistema sem força externa e sem amortecimento), obtemos
A =
F 0 m(ω^20 − ω^2 ) m^2 (ω^20 − ω^2 ) + γ^2 ω^2
, B =
F 0 γω m^2 (ω^20 − ω^2 ) + γ^2 ω^2
Agora, reescrevendo a solução xp de forma mais conveniente, fazendo, como sempre, A 0 = R cos φ e B 0 = Rsen φ, obtemos xp = R cos(ωt − φ),
onde
R =
F 0
m^2 (ω^20 − ω^2 )^2 + γ^2 ω^2
e φ = arctan
γω m(ω^20 − ω^2 )
Assim, utilizando a solução da homogênea, encontrada anteriormente, dada em (18), obtemos a solu- ção geral de (19), dada por
x(t) = xH (t) + xp(t) = e
−γt 2 m (^) A cos(μt − δ) + R cos(ωt − φ).
A primeira parcela é a solução da equação homogênea, e depende apenas dos coeficientes m, γ e k da equação e dos dados iniciais x 0 e x′ 0. Ela é chamada de resposta natural do sistema, pois é a resposta do mesmo quando não introduzimos forçamento externo. Esta parcela se anula quando t → ∞, e por isto é chamada também de solução transiente. Assim, no movimento amortecido, a energia fornecida pelos dados iniciais é dissipada e deixa de fazer efeito sobre o sistema, pois as oscilações devidas à parcela xH se tornam imperceptíveis após alguns instantes. Sem amortecimento, o efeito das condições iniciais permaneceria para sempre. A segunda parcela não desaparece quando t aumenta. Ela é chamada resposta forçada do sistema, e é devida ao termo de forçamento f (t) = F 0 cos ω. Observe que a frequência das oscilações é a mesma que a frequência do termo forçante. A fase φ e amplitude R das oscilações dependem da amplitude F do forçamento, da frequência ω e também dos coeficientes m, γ e k do sistema. Esta resposta é a mais importante do ponto de vista de aplicações, pois ela é que descreve o com- portamento permanente do sistema. Após algum tempo, duas soluções que começam com condições iniciais diferentes se tornam indistinguíveis, pois a solução transiente desaparece. Por isto, esta par- cela é chamada de solução de estado estacionário. Em muitos casos, o interesse é saber que tipo de resposta xp(t) será gerada por cada tipo de entrada f (t).
2.4 Vibrações Forçadas Não-amortecidas: mx′′^ + kx = f (t)
Novamente vamos supor que o oscilador harmônico esteja sujeito à uma força externa periódica da forma f (t) = F 0 cos ωt, onde F 0 é o módulo máximo da força externa, e ω é sua frequência. Supondo que não há amortecimento, temos mx′′^ + kx = F 0 cos ωt. (20) Sabemos que a solução da homogênea associada é da forma
x(t) = A cos(ω 0 t − δ), onde ω 0 =
m k
Assim, a resposta natural é uma oscilação com frequência ω 0 , e estamos aplicando uma força externa com frequência ω. O comportamento da solução depende se estas frequências são iguais ou diferentes.
Batimento - ω 6 = ω 0 :
Quando estimulamos o sistema com uma frequência diferente da sua frequência natural, ele apre- senta batimento, uma espécie de oscilação não muito organizada. É possível mostrar que a solução neste caso é x(t) =
2 F 0
m
ω^20 − w^2
) sin
(ω 0 − ω) 2
t
sin
(ω 0 + ω) 2
t
ou seja, temos uma oscilação rápida de frequência ω 0 + ω envolvida por uma oscilação mais lenta de frequência ω 0 − ω.
Ressonância - ω = ω 0 :
Quando as frequências ω e ω 0 são muito próximas, estamos estimulando o sistema com uma frequência muito próxima à sua frequência natural. Assim, a oscilação rápida e a lenta tendem a
3 Oscilador Harmônico - Resumo
3.1 Vibrações Livres Não-amortecidas
EDO:
mx′′^ + kx = 0.
Solução: x(t) = A cos(ω 0 t − δ).
Gráficos:
5 10 15 20 25 30
0
5
10
m=1, k=1, x 0 = 3
v 0 = 6 v 0 =- 4
3.2 Vibrações Livres Amortecidas
EDO:
mx′′^ + γx′^ + kx = 0.
Solução no caso de superamortecimento - ∆ = γ^2 − 4 mk > 0 :
x(t) = c 1 er^1 t^ + c 2 er^2 t^ , r 1 , r 2 < 0
Gráficos no caso de subamortecimento - ∆ = γ^2 − 4 mk > 0 :
2 4 6 8 10 12 14
0
5
10
m=1, k=1, x 0 =5, v 0 = 10
γ= 3 γ= 5
Solução no caso de subamortecimento - ∆ = γ^2 − 4 mk < 0 :
x(t) = e
−γt 2 m (^) A cos(μt − δ)
Gráficos no caso de subamortecimento - ∆ = γ^2 − 4 mk < 0 :
5 10 15 20
0
5
10
m=1, k=1, x 0 =3, v 0 = 10
γ=0. γ=0.
3.3 Vibrações Forçadas Amortecidas
EDO:
mx′′^ + γx′^ + kx = F 0 cos ωt.
Solução no caso de subamortecimento - ∆ = γ^2 − 4 mk < 0 :
x(t) = xH (t) + xp(t) = Ae
−γt 2 m (^) cos(μt − δ) + R cos(ωt − φ).
Gráficos no caso de subamortecimento - ∆ = γ^2 − 4 mk < 0 :
5 10 15 20 25 30
0
5
10
m=1, k=1, x 0 =3, w=2, F 0 = 8
v 0 =10, γ=0. v 0 =-4, γ=0. x (^) p (t)
4 Transformada de Laplace: Definição
Vamos agora apresentar a definição da Transformada de Laplace. Posteriormente veremos de onde vem a motivação para esta definição.
Definição 1 (Transformada de Laplace). Seja y(t) uma função definida para t ≥ 0. A transformada de Laplace de y(t) é a seguinte função de s
L{y(t)} = Y (s) =
∫ (^) ∞
0
y(t)e−st^ dt. (21)
Seu domínio é o conjunto de todos os valores de s para os quais a integral imprópria converge.
Observação 1. Iremos denotar a transformada de y(t) tanto por Y ou Y (s) quanto por L{y(t)}, ou
L{y(t)}(s), conforme for conveniente. Usaremos sempre letras minúsculas para as funções com
domínio no espaço dos t, e letras maiúsculas para suas transformadas, com domínio no espaço dos s. Assim, a transformada de Laplace de uma função f (t) será denotada por F(s).
Observação 2. Lembremos que uma integral imprópria é um limite. Se F′(t) = f (t), então:
∫ (^) ∞
a
f (t)dt = lim M→∞
∫ (^) M
a
f (t)dt = lim M→∞
[F(t)]tt==Ma = lim M→∞
F(M) − F(a),
que corriqueiramente escreveremos da seguinte maneira simplificada
∫ (^) ∞
a
f (t)dt = [F(t)]∞ t=a = F(∞) − F(a).
Nem sempre uma integral imprópria converge. Sua convergência depende do limite
F(∞) = lim M→∞
F(M)
existir ou não. Assim, podem existir funções que não possuem transformada de Laplace. Veremos a seguir condições bastante gerais que garantem a existência da transformada de uma função.
Observação 3. Dizemos que L é um operador funcional, pois L transforma uma função y(t) em
outra função, Y (s). Esta mudança entre os espaços t e s é um caminho de ida e volta, sendo possí- vel recuperar uma função qualquer g(t) se conhecermos sua transformada G(s). A essência do uso
da transformada de Laplace L está no fato de que ela transforma equações diferenciais (difíceis de
resolver) no espaço t em equações algébricas (fáceis de resolver) no espaço s. Assim, sendo capazes de resolver o problema fácil no espaço s, e de retornar ao espaço t, poderemos encontrar a solução de várias equações diferenciais.
5 Transformada de Laplace - Propriedades Fundamentais
Vamos ver agora, por meio de um exemplo, como a transformada de Laplace é utilizada para resolver um PVI (problema de valor inicial = equação diferencial + condições iniciais). Veremos que esta é uma ferramenta poderosa e rápida, cuja força vem das propriedades fundamentais que a transformada possui. Veremos também estas propriedades fundamentais. Por enquanto, vamos assumir que a trnsformada de Laplace de y(t) existe; posteriormente, daremos as condições para que isto ocorra.
Exemplo 1. Utilizando a transformada de Laplace vamos resolver o seguinte PVI:
y′′^ + 3 y′^ + 2 y = 0 , y( 0 ) = 1 , y′( 0 ) = 0.
Apliquemos a transformada de Laplace em ambos os lados desta equação, obtendo
L{y′′^ + 3 y′^ + 2 y} = 0 ,
ou, equivalentemente, (^) ∫ ∞ 0
e−st^
y′′(t) + 3 y′(t) 2 y(t)
dt = 0.
Sabemos que a integral da soma é a soma das integrais, e que a integral de uma função multiplicada por uma constante é a constante vezes a integral dessa função, ou seja, a integração é uma operação linear. Em linguagem matemática, temos ∫ (c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t))dt = c 1
∫ f 1 (t)dt + c 2
∫ f 2 (t)dt.
Assim, a transformada de Laplace também será uma operação (ou transformação) linear. A lineari- dade é a primeira propriedade fundamental, e a destacamos no seguinte teorema.
Teorema 2 (Propriedade Fundamental I - Linearidade). Sejam y 1 (t) e y 2 (t) duas funções cujas trans- formadas de Laplace existem. Então,
L{c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t)} = c 1 L{y 1 (t)} + c 2 L{y 2 (t)},
para quaisquer constantes c 1 e c 2 , reais ou complexas.
Voltando a equação diferencial e usando a linearidade, temos
L{y′′} + 3 L{y′} + 2 L{y} = 0.
Na terceira parcela do lado esquerdo, temos 2Y (s). Queremos encontrar Y (s), isto é, isolá-lo nesta
última equação. Para isto, vejamos o que podemos fazer com a transformada da derivada de y, L{y′}.
Utilizando integração por partes (
∫ udv = uv −
∫ vdu), com u = e−st^ e dv = y′(t)dt, obtemos
L{y′} =
∫ (^) ∞
0
e−st^ y′(t)dt = [e−st^ y(t)]∞ t= 0 −
∫ (^) ∞
0
y(t)(−s)e−st^ dt = lim t→∞
y(t) est
−y( 0 )+s
∫ (^) ∞
0
y(t)e−st^ dt.
Por enquanto, vamos supor que y(t) cresce menos que a função exponencial est^ , ou seja, y(t) satisfaz a condição de que o limite na última equação é zero:
lim t→∞
y(t) est^
Solução. Temos
L{eat^ } =
∫ (^) ∞
0
e−st^ eat^ dt =
∫ (^) ∞
0
e−(s−a)t^ dt =
[
e−(s−a)t −(s − a)
]∞
0
s − a
, para s > a.
Comparando a transformada de eat^ com Y (s) acima, não é imediato reconhecer qual a função y(t) que possui a transformada Y (s) dada acima. Contudo, vendo que o polinômio no denominador de Y (s) se escreve como (s + 2 )(s + 1 ), é interessante separar Y (s) em frações parciais:
Y (s) =
s^2 + 3 s + 2
(s + 2 )(s + 1 )
A
s + 2
B
s + 1
Multiplicando os últimos dois lados da equação acima pelo mínimo múltiplo comum entre os denominadores, podemos escrever
1 = A(s + 1 ) + B(s + 2 ).
Fazendo s = −1, obtemos B = 1 e, fazendo s = −2, obtemos A = −1. Assim, a transformada Y (s) se decompõe como Y (s) =
s + 1
s + 2
Agora sim, reconhecendo em cada parcela as transformadas de e^2 t^ e et^ , podemos escrever Y (s) como
Y (s) =
s + 1
s + 2
. = L{e−t^ } − L{e−^2 t^ } = L{e−t^ − e−^2 t^ }.
Imaginamos, então, que a solução procurada seja
y(t) = L−^1 {Y (s)} = e^2 t^ − et^ ,
pois esta é uma função cuja transformada é a Y (s) encontrada acima. De fato, o Teorema a seguir nos garante que não existem outras funções diferentes da y(t) acima que possuam a mesma transformada Y (s). Ou seja, a transformada inversa é unicamente determinada. Além disso, o Teorema também nos fala que, ao encontrar Y (s) como uma soma de parcelas, podemos inverter cada parcela e somar os resultados para obter a inversa y(t). Teorema 4 (Propriedade Fundamental III - Existência e Linearidade da Transformada Inversa). Se
f (t) e g(t) são funções contínuas para t ≥ 0 e possuem a mesma transformada, L{ f } = L{g}, então
f (t) = g(t) para todo t ∈ [ 0 , ∞). Ainda, se y(t), y 1 (t), · · · , yn(t) são tais que
Y (s) = c 1 Y 1 (s) + c 2 Y 2 (s) + · · · + cnYn(s),
então, y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) + · · · + cnyn(t). Resumindo: a Transformada de Laplace é um operador linear, que transforma um problema dife- rencial em um problema algébrico, fácil de ser resolvido. E, uma vez obtida a transformada Y (s) da solução de uma EDO, basta encontrarmos a função y(t) correspondente.
Exemplos: Repita o procedimento acima para resolver outras PVIs: Exemplo 3. Utilize a transformada de Laplace para resolver o PVI
y′′^ − y′^ − 2 y = 0 , y( 0 ) = 1 , y′( 0 ) = 1.
Exemplo 4. Utilize a transformada de Laplace para resolver o PVI
y′′^ − 5 y′^ + 6 y = 0 , y( 0 ) = − 3 , y′( 0 ) = 2.
6 Transformada de Laplace: Existência
Antes de ver como usaremos a transformada, é importante observar sob que condições ela existe. Inicialmente, precisamos de uma condição que simplesmente garanta a existência das integrais defi- nidas (finitas) (^) ∫ M 0
e−st^ y(t) dt.
Uma condição suficiente é que a função y(t) seja contínua para t ≥ 0. Resta obter uma condição para que a integral imprópria convirja. Uma pista é a seguinte. Observe que o integrando pode ser escrito como y(t) est^
Para a integral convergir, isto é, para que a área debaixo da curva seja finita, é necessário que este integrando convirja para 0 rapidamente quando t → ∞. Do contrário, a área sobre a curva irá explodir. Assim, podemos imaginar que uma boa condição talvez seja exigir que
lim t→∞
y(t) est^
De fato, esta condição será suficiente para que a transformada L{y} de uma função contínua y(t)
exista. Ela significa que o crescimento da função y(t) é dominado pelo crescimento de uma função exponencial da forma est^. A definição a seguir resume esta condição.
Definição 5 (Ordem Exponencial). Dizemos que uma função y(t) é de ordem exponencial c > 0 se
lim t→∞
y(t) ect^
Exemplo 1. 1. A função y(t) = eat^ é de ordem exponencial, basta tomar c > a.
- As funções y(t) = A cos bt e y(t) = Asen bt também são de ordem exponencial, tomando qual- quer c > 0.
- Toda função polinomial é de ordem exponencial, tomando qualquer c > 0
- Toda função y(t) contínua e limitada em [ 0 , ∞) é de ordem exponencial. Basta tomar qualquer c > 0.
- A função y(t) = et
2 não é de ordem exponencial, pois para qualquer c > 0 , a condição (25) não se verifica.
Exigindo estas duas condições (continuidade e ordem exponencial), podemos garantir a existência da transformada de Laplace de uma função y(t).
Teorema 6 (Existência da Transformada de Laplace). Seja y(t) uma função definida para t ≥ 0, contínua por partes e de ordem exponencial c > 0. Então, a transformada de Laplace Y (s) de y(t) existe para s > c.
Demonstração. Como y(t) é de ordem exponencial c, temos que
y(t) ect^
→ 0 quando t → ∞. Logo, para
t suficientemente grande, digamos t > T , temos y e(ctt) < 1, o que implica que
y(t) ≤ ect^ , para t > T.
