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Transformações Lineares: Conceitos, Propriedades e Aplicações, Notas de estudo de Metodologia

Universidade Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA)Metodologia

metodologia científica e projetos

Tipologia: Notas de estudo

2020

Compartilhado em 16/03/2023

may-16
may-16 🇧🇷

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Transformação Linear
Transformação Linear
Definição: Sejam dois espaços
vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação)
é denominada Transformação Linear de
se:
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a)
1 2 1 2 1 2
, ,T u u T u T u u u U
b)
1 1 1
, ,T u T u u
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Obs: Se então a transformação
linear é chamada de Operador Linear.
U V
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Baixe Transformações Lineares: Conceitos, Propriedades e Aplicações e outras Notas de estudo em PDF para Metodologia, somente na Docsity!

Transformação LinearTransformação Linear

Definição: Sejam dois espaços vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é denominada Transformação Linear de se:

U e V

U em V

a) (^)       1 2 1 2 1 2

T u  u  T u  T u ,  u , u  U

b) (^)     1 1 1

T  u  T u ,   R ,  u  U

Obs: Se então a transformação linear é chamada de Operador Linear.

U  V

ExemplosExemplos

  1. Transformação Linear Nula
  2. Operador Linear Identidade
  3. tal que
  4. dada por
  5. definida por T : UV

T u     u ,   R fixo,  u  U

2 3

T : R  R

T (^)  x y , (^)   2 ,0, x xy  : (^)     n n T P RP R  ^  ´^  f T f x f x x    

PropriedadesPropriedades

Sejam dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles. Então: P1) T^ ^0  ^0 P2) T^  ^ u^  ^ T u ^  ,  u^ ^ U P3) (^) T u   v (^)   T u (^)  (^)   T (^)  v (^)  ,  u v ,  U

PropriedadesPropriedades

P4) Se é um subespaço de , então a imagem de pela transformação linear é um subespaço vetorial de , isto é, é subespaço vetorial real. P5) U W (^) U W T (^)  W    1 1 n n i i i i i i TuT u           

Núcleo e ImagemNúcleo e Imagem

Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Núcleo da Transformação o subconjunto do domínio da função dado por: ker( T )  N T ( )   uU T u ( )  (^0) 

Núcleo e ImagemNúcleo e Imagem

Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Imagem da Transformação o subconjunto do contra- domínio da função dado por: Im( T )   vV   u U onde T u ( )  v

Núcleo e ImagemNúcleo e Imagem

Proposição: Dada uma transformação linear, temos que:

  1. O núcleo da transformação é um subespaço vetorial do domínio da função.
  2. A imagem da transformação é um subespaço vetorial do contra-domínio da função.

RecordandoRecordando

Definição: Uma função do conjunto A no conjunto B é dita:

  1. Injetora se: 1 2 1 2  a , aA a ,  a então 1 2 F a ( )  F a ( ) ou seja,  a 1 (^) , a 2 (^)  A F , (^)  a 1 (^)   F (^)  a 2 (^)   a 1 (^)  a 2  bB ,   a A tal que F^  a^   b ou seja, Im (^)  F (^)   B.
  2. Sobrejetora se:

TeoremasTeoremas

Proposição : Uma transformação linear é

injetora se e somente se N T ^   0 .

Teorema do Núcleo e da Imagem: Dados dois espaços vetoriais reais de dimensão finita. Dada uma transformação linear entre eles, então: dim (^)  U  dim (^)  N T  (^)  dim Im  T 

Resultados ImportantesResultados Importantes

Proposição: Dada uma transformação linear, temos que se           1 2 1 2 , ,..., então Im , ,..., n n u u u T T u T u T u       U

IsomorfismoIsomorfismo

Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo entre eles se é uma transformação bijetora (isto é, injetora e sobrejetora). Notação: U^  V~

AutomorfismoAutomorfismo

Definição: Dizemos que um isomorfismo entre espaços vetoriais reais é um automorfismo se os espaços são iguais, ou seja, T é um isomorfismo de um espaço nele mesmo. Proposição: Dado um isomorfismo sua transformação inversa é também um isomorfismo.

Resultados ImportantesResultados Importantes

Teorema: Dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se e somente se dim (^)  U  (^) dim VExercícios: Transformações Lineares