Transformações Lineares e Matrizes: Exemplos e Cálculos, Notas de aula de Engenharia Civil

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Álgebra Linear

Transformações Lineares Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello

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Prof. Carlos Alexandre Mello

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Transformações Lineares

-^ Funções lineares descrevem o tipo mais simplesde dependência entre variáveis•^ Muitos problemas podem ser representados portais funções •^ Definição:

Sejam

V^ e

W^

dois espaços vetoriais.

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-^ Definição:

Sejam

V^ e

W^

dois espaços vetoriais.

Uma

transformação linear

é uma função de

V^ em

W , F:

V^ →

W^

que satisfaz as condições:

^ i) Quaisquer que sejam

u^ e

v^ em

V : F(

u + v

)=F(

u )+F(

v )

^ ii) Quaisquer que sejam k

∈R e

v ∈

V : F(k.

v ) = k.F(

v )

• Princípio da Superposição

Guardem essenome!!

Transformações Lineares

-^ Exemplo 2: •^ F: R

R definida por

u^ →

2 u

ou F(

u ) =

2 u

-^ Solução:

^ F(

u^ + v ) = (

u^ +^

(^2) v )

(^2) = u

u.v^

(^2) + v ≠^ u

2 + v

2 = F(

u )+F(

v )

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4

^ F(

u^ + v ) = (

u^ +^

(^2) v )

(^2) = u

u.v^

(^2) + v ≠^ u

2 + v

2 = F(

u )+F(

v )

^ Logo, F não é linear!

Transformações Lineares

-^ Exemplo 3: •^ F: R

3 R

-^ (x,y)

→^

(2x, 0, x + y) ou F(x, y) = (2x, 0, x + y)

-^ Solução:
^ Dados

u^ e

v^ ∈

(^2) R, sejam

u =(x

,y^ ) e^ v

=(x^

,y^ ),

x^ ,y

∈R

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^ Dados

u^ e

v^ ∈

(^2) R, sejam

u =(x

,y 11 ) e^ v

=(x^2

,y),^2

x,yi

∈Ri

^ F(

u + v

)=F((x

,y 11 ) + (x

,y 22 )) = F(x

• x 1

, y 21

• y

= (2x

• 2x 1

, 0, x 2

• x 1

• y 2

• y 1

= (2x

, 0, x 1

• y 1

) + (2x 1

, 0, x 2

• y 2

) = F( 2

u ) + F(

v )

^ F(k.

u )=F(k.(x

, y 11 ))=F(k.x

, k.y 1

) = (2k.x 1

, 0, k.x 1

+k.y 1

= k(2x

, 0, x 1

• y 1

) = k.F( 1

u )^

Logo, F é linear!

Transformações Lineares

-^ OBS 2:

Uma transformação para ser linear não

implica que ela é derivada de uma função linear• Por exemplo: (x, y)

(x + 5, y) não é transf.

Linear, embora o mapeamento seja linear

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Verifique que essatransf. não é linear!!

Transformações Lineares

-^ Exemplo:

V^ = R

n^ e^

W^ = R

m

-^ Seja A uma matriz mxn. Definimos:•^ L

: RA

n^ →

m R

por

v^ →

A. v

-^ onde

v^ é tomado como vetor coluna:

v^ =

-^ L

( v

) = A.

x^1 … x

x^1

y^1

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-^ L

( v A

) = A.

=^

xn

x^1 … xn

y^1 … ym

Transformações Lineares

-^ Exemplo: •^ Suponha A =•^ L

:RA

3 R

x^

x^

2x

Cont.

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• •^ Então, L

(xA

, x 1

) = (2x 2

, 0, x 1

+ x 1

x^1 x^2

→^

.^

x^1 x^2

2x^10 x+ x 1

2

Transformações do Plano no Plano

-^ 1) Expansão (ou contração) uniforme:

^ T: R

2 R,

α∈

R,^ v

→^

α. v

^ Por exemplo, T: R

2 R,

α^ = 2,

v^ →

2. v

^ T(x, y) = 2(x, y)

v^

T( v )

T

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^ Na forma matricial:
^ Nesse caso, temos uma expansão. Se 0 <

α^ < 1,

x y^ teríamos uma contração

→^2

ou^

x y

x y

x y

Transformações do Plano no Plano

-^ 3) Reflexão na Origem:

^ T: R

2 R,

v^ →

• v^ ou T(x, y)

→^

(-x, -y)

^ Na forma matricial:^ x^ y

-^

-^1

→^

ou^

-x - y

x y

x y

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y^

-^1

• y^

y^

y

v^

T( v )

T

Transformações do Plano no Plano

-^ 4) Rotação de um ângulo

θ^ (sentido anti-horário)

y^

v α

Rθ^

y^

v α y’

R θ ( v )θ

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[email protected] α^ x

α^ x x’

x’ = r.cos(

θ^ +^

α) = r.cos

αcos

θ^ - r.sen

αsen

θ, onde r = |

v |

Mas, r.cos

α^ = x e r.sen

α^ = y

⇒^ x’ = x.cos

θ^ - y.sen

θ

Analogamente: y’ = y.cos

θ^ + x.sen

θ

Assim: R

(x,y) = (x.cosθ

θ^ - y.sen

θ, y.cos

θ^ + x.sen

θ)

Transformações do Plano no Plano

-^ 5) Cisalhamento Horizontal:
^ T(x, y) = (x +

αy, y),

α∈

R

^ Por exemplo: T(x, y) = (x + 2y, y)^ x^ y

→^

x+2y^ y

x y

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y^

y^

y

v^

T( v )

T

Transformações do Plano no Plano

-^ 6) Translação:
^ T(x, y) = (x + a, y + b), a, b

∈R

x y^

→^

+^

a b

x y

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Observe que, a menos que a = b = 0, essatransformação não é linear.

Conceitos e Teoremas

-^ Exemplo:

Qual a transformação linear T:R

3 R

tal que T(1, 0) = (2, -1, 0) e T(0, 1) = (0, 0, 1)?• Solução:^
^ e

e^

e = (0, 1)^2

^ w

e^

w = (0, 0, 1)^2

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^ w

e^

w = (0, 0, 1)^2

^ v = (x, y)
^ v = (x, y) = x.(1, 0) + y.(0, 1)
^ T(

v ) = T(x.(1, 0)) + T(y.(0, 1))
^ T(

v ) = x.T(

e ) + y.T(^1

e ) = x.(2, -1, 0) + y.(0, 0, 1)^2

^ T(

v ) = (2x, -x, y)

Conceitos e Teoremas

-^ Exemplo:

Qual a transformação linear T:R

3 R

tal que T(1, 1) = (3, 2, 1) e T(0, -2) = (0, 1, 0)? • Solução 1

^ T(1, 1) = (3, 2, 1)
^ T(0,

Não formam base canônica!!

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^ T(0,

^ Mas:
^ T(0,-2)=(0,1,0)

⇒^

-2.T(0,1)=(0,1,0)

⇒^

T(0,1)=(0,-½,0)

^ T(1,1)=T(1,0) + T(0,1) = (3,2,1)
^ ⇒

T(1,0) + (0,-½,0) = (3, 2,1)

⇒^

T(1,0) = (3,5/2,1)

^ Logo: T(1,0) = (3, 5/2, 1) e T(0,1) = (0, -½, 0)

• Agora formam uma base canônica!

base canônica!!